第 83 題：二項式定理

原題與已知條件

commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":7}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — commutative coefficient setting與n in natural including zero。操作=binomial-expansion；資料={"n":7}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

n 是非負整數，x 與 y 可交換；n=0 使用多項式空乘積單位元。

• mko-binomial-theorem

逐步推導

n=7≥0; x,y commute

(x+y)^7 is a finite product of 7 factors

choose exactly 0 of 7 factors to contribute y

C(7,0)=5040/(1·5040)=1

C(7,0)=1; choose y 0 times

1·x^7·y^0

choose exactly 1 of 7 factors to contribute y

C(7,1)=5040/(1·720)=7

C(7,1)=7; choose y 1 times

7·x^6·y^1

choose exactly 2 of 7 factors to contribute y

C(7,2)=5040/(2·120)=21

C(7,2)=21; choose y 2 times

21·x^5·y^2

choose exactly 3 of 7 factors to contribute y

C(7,3)=5040/(6·24)=35

C(7,3)=35; choose y 3 times

35·x^4·y^3

choose exactly 4 of 7 factors to contribute y

C(7,4)=5040/(24·6)=35

C(7,4)=35; choose y 4 times

35·x^3·y^4

choose exactly 5 of 7 factors to contribute y

C(7,5)=5040/(120·2)=21

C(7,5)=21; choose y 5 times

21·x^2·y^5

choose exactly 6 of 7 factors to contribute y

C(7,6)=5040/(720·1)=7

C(7,6)=7; choose y 6 times

7·x^1·y^6

choose exactly 7 of 7 factors to contribute y

C(7,7)=5040/(5040·1)=1

C(7,7)=1; choose y 7 times

1·x^0·y^7

all k=0 through 7 have been accounted for

(x+y)^7=1·x^7·y^0 + 7·x^6·y^1 + 21·x^5·y^2 + 35·x^4·y^3 + 35·x^3·y^4 + 21·x^2·y^5 + 7·x^1·y^6 + 1·x^0·y^7

逐步反向核對

• S018 · premise_and_result_audit — 共有 n+1 個係數位置，k 的全範圍逐一保留。
• S017 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
• S016 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
• S015 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
• S014 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
• S013 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
• S012 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
• S011 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
• S010 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
• S009 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
• S008 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
• S007 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
• S006 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
• S005 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
• S004 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
• S003 · premise_and_result_audit — 原答案的欄序是 [k,係數,x指數,y指數]，不能交換指數欄。
• S002 · premise_and_result_audit — 可用 Pascal 遞迴的獨立整數運算回核係數，不用近似階乘。
• S001 · premise_and_result_audit — 此處不是非整數次方的無窮級數，也不套用到不可交換乘法。

結論

(7, [[0, 1, 7, 0], [1, 7, 6, 1], [2, 21, 5, 2], [3, 35, 4, 3], [4, 35, 3, 4], [5, 21, 2, 5], [6, 7, 1, 6], [7, 1, 0, 7]], complete_k_zero_through_n_coefficients)

完整展開如上述所有單項式；欄序表逐項對應。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-24

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。