第 22281 題：微分中值定理

原題與已知條件

f(t)=A*t^2+B*t+C、a<b、closed interval continuity與open interval differentiability。操作=mvt-secant-slope；資料={"A":1,"B":-5,"C":26,"a":-7,"b":8}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — f(t)=A*t^2+B*t+C、a<b、closed interval continuity與open interval differentiability。操作=mvt-secant-slope；資料={"A":1,"B":-5,"C":26,"a":-7,"b":8}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-mean-value-theorem

逐步推導

source operation=mvt-secant-slope;original snapshot and mathematics retained

explicit ordered source output fields=[value_at_a, value_at_b, interval_length, secant_slope, certificate]

ORIGINAL WHOLE f(t)=(1)t^2+(-5)t+(26);a=-7<b=8;all endpoint[Ax,Axx,Bx,Axx+Bx,Axx+Bx+C] rows=[[-7, 49, 35, 84, 110], [8, 64, -40, 24, 50]]

English source ALL endpoint intermediate SAFE guards passed;polynomial continuous on CLOSED[a,b] and differentiable on OPEN(a,b),not inferred from finite samples

MVT endpointa ORIGINAL A times x := mul(1, -7)

MVT endpointa ORIGINAL A times x = -7

MVT endpointa A*x times x := mul(-7, -7)

MVT endpointa A*x times x = 49

MVT endpointa ORIGINAL B times x := mul(-5, -7)

MVT endpointa ORIGINAL B times x = 35

MVT endpointa quadratic plus linear := sum(49, 35)

MVT endpointa quadratic plus linear = 84

MVT endpointa plus ORIGINAL constant := sum(84, 26)

MVT endpointa plus ORIGINAL constant = 110

MVT endpointb ORIGINAL A times x := mul(1, 8)

MVT endpointb ORIGINAL A times x = 8

MVT endpointb A*x times x := mul(8, 8)

MVT endpointb A*x times x = 64

MVT endpointb ORIGINAL B times x := mul(-5, 8)

MVT endpointb ORIGINAL B times x = -40

MVT endpointb quadratic plus linear := sum(64, -40)

MVT endpointb quadratic plus linear = 24

MVT endpointb plus ORIGINAL constant := sum(24, 26)

MVT endpointb plus ORIGINAL constant = 50

MVT ORIGINAL endpoint f(b) minus f(a) := sub(50, 110)

MVT ORIGINAL endpoint f(b) minus f(a) = -60

MVT ORIGINAL ordered interval length := sub(8, -7)

MVT ORIGINAL ordered interval length = 15

MVT exact secant slope := div(-60, 15)

MVT exact secant slope = -4

逐步反向核對

• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT exact secant slope，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT ORIGINAL ordered interval length，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT ORIGINAL endpoint f(b) minus f(a)，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointb plus ORIGINAL constant，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointb quadratic plus linear，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointb ORIGINAL B times x，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointb A*x times x，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointb ORIGINAL A times x，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointa plus ORIGINAL constant，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointa quadratic plus linear，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointa ORIGINAL B times x，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointa A*x times x，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointa ORIGINAL A times x，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(110, 50, 15, -4, exact_endpoint_secant_slope)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。