第 22287 題：微分中值定理

原題與已知條件

f(t)=A*t^2+B*t+C、a<b、closed interval continuity與open interval differentiability。操作=mvt-secant-slope；資料={"A":2,"B":1,"C":122,"a":-13,"b":14}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — f(t)=A*t^2+B*t+C、a<b、closed interval continuity與open interval differentiability。操作=mvt-secant-slope；資料={"A":2,"B":1,"C":122,"a":-13,"b":14}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-mean-value-theorem

逐步推導

source operation=mvt-secant-slope;original snapshot and mathematics retained

explicit ordered source output fields=[value_at_a, value_at_b, interval_length, secant_slope, certificate]

ORIGINAL WHOLE f(t)=(2)t^2+(1)t+(122);a=-13<b=14;all endpoint[Ax,Axx,Bx,Axx+Bx,Axx+Bx+C] rows=[[-26, 338, -13, 325, 447], [28, 392, 14, 406, 528]]

English source ALL endpoint intermediate SAFE guards passed;polynomial continuous on CLOSED[a,b] and differentiable on OPEN(a,b),not inferred from finite samples

MVT endpointa ORIGINAL A times x := mul(2, -13)

MVT endpointa ORIGINAL A times x = -26

MVT endpointa A*x times x := mul(-26, -13)

MVT endpointa A*x times x = 338

MVT endpointa ORIGINAL B times x := mul(1, -13)

MVT endpointa ORIGINAL B times x = -13

MVT endpointa quadratic plus linear := sum(338, -13)

MVT endpointa quadratic plus linear = 325

MVT endpointa plus ORIGINAL constant := sum(325, 122)

MVT endpointa plus ORIGINAL constant = 447

MVT endpointb ORIGINAL A times x := mul(2, 14)

MVT endpointb ORIGINAL A times x = 28

MVT endpointb A*x times x := mul(28, 14)

MVT endpointb A*x times x = 392

MVT endpointb ORIGINAL B times x := mul(1, 14)

MVT endpointb ORIGINAL B times x = 14

MVT endpointb quadratic plus linear := sum(392, 14)

MVT endpointb quadratic plus linear = 406

MVT endpointb plus ORIGINAL constant := sum(406, 122)

MVT endpointb plus ORIGINAL constant = 528

MVT ORIGINAL endpoint f(b) minus f(a) := sub(528, 447)

MVT ORIGINAL endpoint f(b) minus f(a) = 81

MVT ORIGINAL ordered interval length := sub(14, -13)

MVT ORIGINAL ordered interval length = 27

MVT exact secant slope := div(81, 27)

MVT exact secant slope = 3

逐步反向核對

• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT exact secant slope，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT ORIGINAL ordered interval length，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT ORIGINAL endpoint f(b) minus f(a)，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointb plus ORIGINAL constant，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointb quadratic plus linear，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointb ORIGINAL B times x，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointb A*x times x，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointb ORIGINAL A times x，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointa plus ORIGINAL constant，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointa quadratic plus linear，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointa ORIGINAL B times x，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointa A*x times x，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointa ORIGINAL A times x，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(447, 528, 27, 3, exact_endpoint_secant_slope)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。