第 22261 題：微分中值定理

原題與已知條件

f(t)=A*t^2+B*t+C、a<b、closed interval continuity與open interval differentiability。操作=mvt-polynomial-witness；資料={"A":1,"B":0,"C":101,"a":-12,"b":13}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — f(t)=A*t^2+B*t+C、a<b、closed interval continuity與open interval differentiability。操作=mvt-polynomial-witness；資料={"A":1,"B":0,"C":101,"a":-12,"b":13}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-mean-value-theorem

逐步推導

source operation=mvt-polynomial-witness;original snapshot and mathematics retained

explicit ordered source output fields=[c, strictly_interior, derivative_at_c, secant_slope, equal, certificate]

ORIGINAL WHOLE f(t)=(1)t^2+(0)t+(101);a=-12<b=13;all endpoint[Ax,Axx,Bx,Axx+Bx,Axx+Bx+C] rows=[[-12, 144, 0, 144, 245], [13, 169, 0, 169, 270]]

English source ALL endpoint intermediate SAFE guards passed;polynomial continuous on CLOSED[a,b] and differentiable on OPEN(a,b),not inferred from finite samples

MVT endpointa ORIGINAL A times x := mul(1, -12)

MVT endpointa ORIGINAL A times x = -12

MVT endpointa A*x times x := mul(-12, -12)

MVT endpointa A*x times x = 144

MVT endpointa ORIGINAL B times x := mul(0, -12)

MVT endpointa ORIGINAL B times x = 0

MVT endpointa quadratic plus linear := sum(144, 0)

MVT endpointa quadratic plus linear = 144

MVT endpointa plus ORIGINAL constant := sum(144, 101)

MVT endpointa plus ORIGINAL constant = 245

MVT endpointb ORIGINAL A times x := mul(1, 13)

MVT endpointb ORIGINAL A times x = 13

MVT endpointb A*x times x := mul(13, 13)

MVT endpointb A*x times x = 169

MVT endpointb ORIGINAL B times x := mul(0, 13)

MVT endpointb ORIGINAL B times x = 0

MVT endpointb quadratic plus linear := sum(169, 0)

MVT endpointb quadratic plus linear = 169

MVT endpointb plus ORIGINAL constant := sum(169, 101)

MVT endpointb plus ORIGINAL constant = 270

MVT ORIGINAL endpoint f(b) minus f(a) := sub(270, 245)

MVT ORIGINAL endpoint f(b) minus f(a) = 25

MVT ORIGINAL ordered interval length := sub(13, -12)

MVT ORIGINAL ordered interval length = 25

MVT exact secant slope := div(25, 25)

MVT exact secant slope = 1

MVT ORIGINAL endpoint sum := sum(-12, 13)

MVT ORIGINAL endpoint sum = 1

MVT midpoint c := div(1, 2)

MVT midpoint c = 1/2

MVT c minus ORIGINAL a := sub(1/2, -12)

MVT c minus ORIGINAL a = 25/2

MVT ORIGINAL b minus c := sub(13, 1/2)

MVT ORIGINAL b minus c = 25/2

MVT derivative coefficient twice ORIGINAL A := mul(2, 1)

MVT derivative coefficient twice ORIGINAL A = 2

MVT derivative linear term at c := mul(2, 1/2)

MVT derivative linear term at c = 1

MVT derivative plus ORIGINAL B := sum(1, 0)

MVT derivative plus ORIGINAL B = 1

ORIGINAL polynomial coefficients=[1, 0, 101];c=1/2,c-a=25/2>0,b-c=25/2>0

derivative2*A*c+B=1;exact secant=1;equal=是;A0 means ALL interior points work,not a unique midpoint

逐步反向核對

• S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT derivative plus ORIGINAL B，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT derivative linear term at c，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT derivative coefficient twice ORIGINAL A，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT ORIGINAL b minus c，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT c minus ORIGINAL a，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT midpoint c，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT ORIGINAL endpoint sum，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT exact secant slope，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT ORIGINAL ordered interval length，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT ORIGINAL endpoint f(b) minus f(a)，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointb plus ORIGINAL constant，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointb quadratic plus linear，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointb ORIGINAL B times x，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointb A*x times x，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointb ORIGINAL A times x，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointa plus ORIGINAL constant，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointa quadratic plus linear，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointa ORIGINAL B times x，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointa A*x times x，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MVT endpointa ORIGINAL A times x，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(1/2, 是, 1, 1, 是, quadratic_midpoint_witness)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。