第 22001 題：緊緻集的連續像

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原題與已知條件
定義與適用範圍
逐步推導
逐步反向核對
結論
本題覆核與來源綁定

R0043-22001 · q-20261014-advance-20261110-r03-continuous-image-of-compact-0026

原題與已知條件

compact K、完整來源與目標拓撲以及total continuous map。操作=compactimg-continuity-audit；資料={"source_n":3,"target_n":3,"source_topology":[[],[0],[0,1],[0,1,2],[0,2],[1],[1,2],[2]],"target_topology":[[],[0],[0,1],[0,1,2],[0,2],[1],[1,2],[2]],"map":[0,0,0],"subset":[0,1,2]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

G001 — compact K、完整來源與目標拓撲以及total continuous map。操作=compactimg-continuity-audit；資料={"source_n":3,"target_n":3,"source_topology":[[],[0],[0,1],[0,1,2],[0,2],[1],[1,2],[2]],"target_topology":[[],[0],[0,1],[0,1,2],[0,2],[1],[1,2],[2]],"map":[0,0,0],"subset":[0,1,2]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

mko-continuous-image-of-compact

逐步推導

S001 · implies

操作前

source operation=compactimg-continuity-audit;original snapshot and mathematics retained

操作後

explicit ordered source output fields=[open_preimage_rows, continuous, certificate]

條件：無

原題歷史介面標記保留，直接列來源有序欄位，不需JavaScript；MVT由原mode選欄序，不補空欄或看答案形狀猜。tag與固定No保原聲稱範圍。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

SOURCE:ORIGINAL carrier Fin(3);complete canonical opens=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 2], [1], [1, 2], [2]];open index=0,U=[]

操作後

ALL [other_open_index,union,intersection] rows=[[0, [], []], [1, [0], []], [2, [0, 1], []], [3, [0, 1, 2], []], [4, [0, 2], []], [5, [1], []], [6, [1, 2], []], [7, [2], []]];empty/full opens present;every result in SAME SOURCE topology

條件：無

先分清來源與目標carrier，逐全部open pair核union/intersection並含空／全集。有限family任意union可去重成有限union，不能因有限像就略過拓撲或連續性責任。

步驟識別與依賴

規則：compactimg_qualified_complete_source_or_target_topology · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

SOURCE:ORIGINAL carrier Fin(3);complete canonical opens=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 2], [1], [1, 2], [2]];open index=1,U=[0]

操作後

ALL [other_open_index,union,intersection] rows=[[0, [0], []], [1, [0], [0]], [2, [0, 1], [0]], [3, [0, 1, 2], [0]], [4, [0, 2], [0]], [5, [0, 1], []], [6, [0, 1, 2], []], [7, [0, 2], []]];empty/full opens present;every result in SAME SOURCE topology

條件：無

先分清來源與目標carrier，逐全部open pair核union/intersection並含空／全集。有限family任意union可去重成有限union，不能因有限像就略過拓撲或連續性責任。

步驟識別與依賴

規則：compactimg_qualified_complete_source_or_target_topology · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

SOURCE:ORIGINAL carrier Fin(3);complete canonical opens=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 2], [1], [1, 2], [2]];open index=2,U=[0, 1]

操作後

ALL [other_open_index,union,intersection] rows=[[0, [0, 1], []], [1, [0, 1], [0]], [2, [0, 1], [0, 1]], [3, [0, 1, 2], [0, 1]], [4, [0, 1, 2], [0]], [5, [0, 1], [1]], [6, [0, 1, 2], [1]], [7, [0, 1, 2], []]];empty/full opens present;every result in SAME SOURCE topology

條件：無

先分清來源與目標carrier，逐全部open pair核union/intersection並含空／全集。有限family任意union可去重成有限union，不能因有限像就略過拓撲或連續性責任。

步驟識別與依賴

規則：compactimg_qualified_complete_source_or_target_topology · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

SOURCE:ORIGINAL carrier Fin(3);complete canonical opens=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 2], [1], [1, 2], [2]];open index=3,U=[0, 1, 2]

操作後

ALL [other_open_index,union,intersection] rows=[[0, [0, 1, 2], []], [1, [0, 1, 2], [0]], [2, [0, 1, 2], [0, 1]], [3, [0, 1, 2], [0, 1, 2]], [4, [0, 1, 2], [0, 2]], [5, [0, 1, 2], [1]], [6, [0, 1, 2], [1, 2]], [7, [0, 1, 2], [2]]];empty/full opens present;every result in SAME SOURCE topology

條件：無

先分清來源與目標carrier，逐全部open pair核union/intersection並含空／全集。有限family任意union可去重成有限union，不能因有限像就略過拓撲或連續性責任。

步驟識別與依賴

規則：compactimg_qualified_complete_source_or_target_topology · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

SOURCE:ORIGINAL carrier Fin(3);complete canonical opens=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 2], [1], [1, 2], [2]];open index=4,U=[0, 2]

操作後

ALL [other_open_index,union,intersection] rows=[[0, [0, 2], []], [1, [0, 2], [0]], [2, [0, 1, 2], [0]], [3, [0, 1, 2], [0, 2]], [4, [0, 2], [0, 2]], [5, [0, 1, 2], []], [6, [0, 1, 2], [2]], [7, [0, 2], [2]]];empty/full opens present;every result in SAME SOURCE topology

條件：無

先分清來源與目標carrier，逐全部open pair核union/intersection並含空／全集。有限family任意union可去重成有限union，不能因有限像就略過拓撲或連續性責任。

步驟識別與依賴

規則：compactimg_qualified_complete_source_or_target_topology · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

SOURCE:ORIGINAL carrier Fin(3);complete canonical opens=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 2], [1], [1, 2], [2]];open index=5,U=[1]

操作後

ALL [other_open_index,union,intersection] rows=[[0, [1], []], [1, [0, 1], []], [2, [0, 1], [1]], [3, [0, 1, 2], [1]], [4, [0, 1, 2], []], [5, [1], [1]], [6, [1, 2], [1]], [7, [1, 2], []]];empty/full opens present;every result in SAME SOURCE topology

條件：無

先分清來源與目標carrier，逐全部open pair核union/intersection並含空／全集。有限family任意union可去重成有限union，不能因有限像就略過拓撲或連續性責任。

步驟識別與依賴

規則：compactimg_qualified_complete_source_or_target_topology · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

SOURCE:ORIGINAL carrier Fin(3);complete canonical opens=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 2], [1], [1, 2], [2]];open index=6,U=[1, 2]

操作後

ALL [other_open_index,union,intersection] rows=[[0, [1, 2], []], [1, [0, 1, 2], []], [2, [0, 1, 2], [1]], [3, [0, 1, 2], [1, 2]], [4, [0, 1, 2], [2]], [5, [1, 2], [1]], [6, [1, 2], [1, 2]], [7, [1, 2], [2]]];empty/full opens present;every result in SAME SOURCE topology

條件：無

先分清來源與目標carrier，逐全部open pair核union/intersection並含空／全集。有限family任意union可去重成有限union，不能因有限像就略過拓撲或連續性責任。

步驟識別與依賴

規則：compactimg_qualified_complete_source_or_target_topology · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

SOURCE:ORIGINAL carrier Fin(3);complete canonical opens=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 2], [1], [1, 2], [2]];open index=7,U=[2]

操作後

ALL [other_open_index,union,intersection] rows=[[0, [2], []], [1, [0, 2], []], [2, [0, 1, 2], []], [3, [0, 1, 2], [2]], [4, [0, 2], [2]], [5, [1, 2], []], [6, [1, 2], [2]], [7, [2], [2]]];empty/full opens present;every result in SAME SOURCE topology

條件：無

先分清來源與目標carrier，逐全部open pair核union/intersection並含空／全集。有限family任意union可去重成有限union，不能因有限像就略過拓撲或連續性責任。

步驟識別與依賴

規則：compactimg_qualified_complete_source_or_target_topology · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

TARGET:ORIGINAL carrier Fin(3);complete canonical opens=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 2], [1], [1, 2], [2]];open index=0,U=[]

操作後

ALL [other_open_index,union,intersection] rows=[[0, [], []], [1, [0], []], [2, [0, 1], []], [3, [0, 1, 2], []], [4, [0, 2], []], [5, [1], []], [6, [1, 2], []], [7, [2], []]];empty/full opens present;every result in SAME TARGET topology

條件：無

先分清來源與目標carrier，逐全部open pair核union/intersection並含空／全集。有限family任意union可去重成有限union，不能因有限像就略過拓撲或連續性責任。

步驟識別與依賴

規則：compactimg_qualified_complete_source_or_target_topology · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

TARGET:ORIGINAL carrier Fin(3);complete canonical opens=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 2], [1], [1, 2], [2]];open index=1,U=[0]

操作後

ALL [other_open_index,union,intersection] rows=[[0, [0], []], [1, [0], [0]], [2, [0, 1], [0]], [3, [0, 1, 2], [0]], [4, [0, 2], [0]], [5, [0, 1], []], [6, [0, 1, 2], []], [7, [0, 2], []]];empty/full opens present;every result in SAME TARGET topology

條件：無

先分清來源與目標carrier，逐全部open pair核union/intersection並含空／全集。有限family任意union可去重成有限union，不能因有限像就略過拓撲或連續性責任。

步驟識別與依賴

規則：compactimg_qualified_complete_source_or_target_topology · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

TARGET:ORIGINAL carrier Fin(3);complete canonical opens=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 2], [1], [1, 2], [2]];open index=2,U=[0, 1]

操作後

ALL [other_open_index,union,intersection] rows=[[0, [0, 1], []], [1, [0, 1], [0]], [2, [0, 1], [0, 1]], [3, [0, 1, 2], [0, 1]], [4, [0, 1, 2], [0]], [5, [0, 1], [1]], [6, [0, 1, 2], [1]], [7, [0, 1, 2], []]];empty/full opens present;every result in SAME TARGET topology

條件：無

先分清來源與目標carrier，逐全部open pair核union/intersection並含空／全集。有限family任意union可去重成有限union，不能因有限像就略過拓撲或連續性責任。

步驟識別與依賴

規則：compactimg_qualified_complete_source_or_target_topology · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

TARGET:ORIGINAL carrier Fin(3);complete canonical opens=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 2], [1], [1, 2], [2]];open index=3,U=[0, 1, 2]

操作後

ALL [other_open_index,union,intersection] rows=[[0, [0, 1, 2], []], [1, [0, 1, 2], [0]], [2, [0, 1, 2], [0, 1]], [3, [0, 1, 2], [0, 1, 2]], [4, [0, 1, 2], [0, 2]], [5, [0, 1, 2], [1]], [6, [0, 1, 2], [1, 2]], [7, [0, 1, 2], [2]]];empty/full opens present;every result in SAME TARGET topology

條件：無

先分清來源與目標carrier，逐全部open pair核union/intersection並含空／全集。有限family任意union可去重成有限union，不能因有限像就略過拓撲或連續性責任。

步驟識別與依賴

規則：compactimg_qualified_complete_source_or_target_topology · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

TARGET:ORIGINAL carrier Fin(3);complete canonical opens=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 2], [1], [1, 2], [2]];open index=4,U=[0, 2]

操作後

ALL [other_open_index,union,intersection] rows=[[0, [0, 2], []], [1, [0, 2], [0]], [2, [0, 1, 2], [0]], [3, [0, 1, 2], [0, 2]], [4, [0, 2], [0, 2]], [5, [0, 1, 2], []], [6, [0, 1, 2], [2]], [7, [0, 2], [2]]];empty/full opens present;every result in SAME TARGET topology

條件：無

先分清來源與目標carrier，逐全部open pair核union/intersection並含空／全集。有限family任意union可去重成有限union，不能因有限像就略過拓撲或連續性責任。

步驟識別與依賴

規則：compactimg_qualified_complete_source_or_target_topology · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

TARGET:ORIGINAL carrier Fin(3);complete canonical opens=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 2], [1], [1, 2], [2]];open index=5,U=[1]

操作後

ALL [other_open_index,union,intersection] rows=[[0, [1], []], [1, [0, 1], []], [2, [0, 1], [1]], [3, [0, 1, 2], [1]], [4, [0, 1, 2], []], [5, [1], [1]], [6, [1, 2], [1]], [7, [1, 2], []]];empty/full opens present;every result in SAME TARGET topology

條件：無

先分清來源與目標carrier，逐全部open pair核union/intersection並含空／全集。有限family任意union可去重成有限union，不能因有限像就略過拓撲或連續性責任。

步驟識別與依賴

規則：compactimg_qualified_complete_source_or_target_topology · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

TARGET:ORIGINAL carrier Fin(3);complete canonical opens=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 2], [1], [1, 2], [2]];open index=6,U=[1, 2]

操作後

ALL [other_open_index,union,intersection] rows=[[0, [1, 2], []], [1, [0, 1, 2], []], [2, [0, 1, 2], [1]], [3, [0, 1, 2], [1, 2]], [4, [0, 1, 2], [2]], [5, [1, 2], [1]], [6, [1, 2], [1, 2]], [7, [1, 2], [2]]];empty/full opens present;every result in SAME TARGET topology

條件：無

先分清來源與目標carrier，逐全部open pair核union/intersection並含空／全集。有限family任意union可去重成有限union，不能因有限像就略過拓撲或連續性責任。

步驟識別與依賴

規則：compactimg_qualified_complete_source_or_target_topology · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

TARGET:ORIGINAL carrier Fin(3);complete canonical opens=[[], [0], [0, 1], [0, 1, 2], [0, 2], [1], [1, 2], [2]];open index=7,U=[2]

操作後

ALL [other_open_index,union,intersection] rows=[[0, [2], []], [1, [0, 2], []], [2, [0, 1, 2], []], [3, [0, 1, 2], [2]], [4, [0, 2], [2]], [5, [1, 2], []], [6, [1, 2], [2]], [7, [2], [2]]];empty/full opens present;every result in SAME TARGET topology

條件：無

先分清來源與目標carrier，逐全部open pair核union/intersection並含空／全集。有限family任意union可去重成有限union，不能因有限像就略過拓撲或連續性責任。

步驟識別與依賴

規則：compactimg_qualified_complete_source_or_target_topology · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

ORIGINAL target-open index=0,O=[];total original map=[0, 0, 0];ENTIRE source carrier Fin(3)

操作後

full source preimage=[];source-open=是;NOT restricted to K

條件：無

連續性查每個目標open在整個source的逆像，不先交K，也不只抽幾個open。這個逆像可不是source-open，失敗旗標保False。

步驟識別與依賴

規則：compactimg_EVERY_target_open_FULL_source_preimage · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

ORIGINAL target-open index=1,O=[0];total original map=[0, 0, 0];ENTIRE source carrier Fin(3)

操作後

full source preimage=[0, 1, 2];source-open=是;NOT restricted to K

條件：無

連續性查每個目標open在整個source的逆像，不先交K，也不只抽幾個open。這個逆像可不是source-open，失敗旗標保False。

步驟識別與依賴

規則：compactimg_EVERY_target_open_FULL_source_preimage · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

ORIGINAL target-open index=2,O=[0, 1];total original map=[0, 0, 0];ENTIRE source carrier Fin(3)

操作後

full source preimage=[0, 1, 2];source-open=是;NOT restricted to K

條件：無

連續性查每個目標open在整個source的逆像，不先交K，也不只抽幾個open。這個逆像可不是source-open，失敗旗標保False。

步驟識別與依賴

規則：compactimg_EVERY_target_open_FULL_source_preimage · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

ORIGINAL target-open index=3,O=[0, 1, 2];total original map=[0, 0, 0];ENTIRE source carrier Fin(3)

操作後

full source preimage=[0, 1, 2];source-open=是;NOT restricted to K

條件：無

連續性查每個目標open在整個source的逆像，不先交K，也不只抽幾個open。這個逆像可不是source-open，失敗旗標保False。

步驟識別與依賴

規則：compactimg_EVERY_target_open_FULL_source_preimage · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

ORIGINAL target-open index=4,O=[0, 2];total original map=[0, 0, 0];ENTIRE source carrier Fin(3)

操作後

full source preimage=[0, 1, 2];source-open=是;NOT restricted to K

條件：無

連續性查每個目標open在整個source的逆像，不先交K，也不只抽幾個open。這個逆像可不是source-open，失敗旗標保False。

步驟識別與依賴

規則：compactimg_EVERY_target_open_FULL_source_preimage · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

ORIGINAL target-open index=5,O=[1];total original map=[0, 0, 0];ENTIRE source carrier Fin(3)

操作後

full source preimage=[];source-open=是;NOT restricted to K

條件：無

連續性查每個目標open在整個source的逆像，不先交K，也不只抽幾個open。這個逆像可不是source-open，失敗旗標保False。

步驟識別與依賴

規則：compactimg_EVERY_target_open_FULL_source_preimage · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

ORIGINAL target-open index=6,O=[1, 2];total original map=[0, 0, 0];ENTIRE source carrier Fin(3)

操作後

full source preimage=[];source-open=是;NOT restricted to K

條件：無

連續性查每個目標open在整個source的逆像，不先交K，也不只抽幾個open。這個逆像可不是source-open，失敗旗標保False。

步驟識別與依賴

規則：compactimg_EVERY_target_open_FULL_source_preimage · 依賴：G001, S023

S025 · implies

操作前

ORIGINAL target-open index=7,O=[2];total original map=[0, 0, 0];ENTIRE source carrier Fin(3)

操作後

full source preimage=[];source-open=是;NOT restricted to K

條件：無

連續性查每個目標open在整個source的逆像，不先交K，也不只抽幾個open。這個逆像可不是source-open，失敗旗標保False。

步驟識別與依賴

規則：compactimg_EVERY_target_open_FULL_source_preimage · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

ORIGINAL source subset K=[0, 1, 2];ALL [x,map(x)] pairs=[[0, 0], [1, 0], [2, 0]];target carrier Fin(3)

操作後

exact sorted distinct image=[0];K and image finite hence compact;continuous=是 is the ALL-target-open conjunction

條件：無

每個像由原K中的點見證，反向每個K像均已列，所以集合恰等f(K)。有限集合任意open cover可逐點選一個open給有限子cover；不需先證連續，但一般連續像定理另有拉回證明。

步驟識別與依賴

規則：compactimg_finite_image_and_continuity_separate · 依賴：G001, S025

逐步反向核對

S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([[[], []], [[0], [0, 1, 2]], [[0, 1], [0, 1, 2]], [[0, 1, 2], [0, 1, 2]], [[0, 2], [0, 1, 2]], [[1], []], [[1, 2], []], [[2], []]], 是, every_target_open_has_source_open_preimage)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證

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Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

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