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第 22189 題：有限因數格上的Möbius反演

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0043-22189 · q-20261014-advance-20261110-r06-mobius-inversion-finite-divisors-0064

原題與已知條件

positive integer domain、完整positive divisor set與完整UPF-derived Mobius values。操作=mobinv-roundtrip-table；資料={"n":14,"a":4,"b":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

  • G001 — positive integer domain、完整positive divisor set與完整UPF-derived Mobius values。操作=mobinv-roundtrip-table；資料={"n":14,"a":4,"b":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

source operation=mobinv-roundtrip-table;original snapshot and mathematics retained

操作後

explicit ordered source output fields=[n, roundtrip_rows, all_equal, boundary]

條件：無

原題歷史介面標記保留，直接列來源有序欄位，不需JavaScript；MVT由原mode選欄序，不補空欄或看答案形狀猜。tag與固定No保原聲稱範圍。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

Mobius inversion ORIGINAL roundtrip:actual positive input=14;check complete integer range1..14

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 7, 14];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=1 forward:actual positive input=1;check complete integer range1..1

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S002

S004 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=1 forward f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=1 forward f(1) ORIGINAL a times divisor = 4

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003

S005 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=1 forward f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=1 forward f(1) plus ORIGINAL b = 5

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004

S006 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=1 forward full forward divisor sum := sum(5)

操作後

Mobius roundtrip m=1 forward full forward divisor sum = 5

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=1 inverse:actual positive input=1;check complete integer range1..1

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=1 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:actual positive input for mu=1

操作後

complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search

條件：無

先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。

步驟識別與依賴

規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=1 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:input=1;COMPLETE prime multiset=[];distinct primes=[]

操作後

mu=1;empty product case=是;repeated prime=否

條件：無

1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。

步驟識別與依賴

規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S008

S010 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=1 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 := div(1, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=1 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 = 1

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=1 inverse F(n/1):actual positive input=1;check complete integer range1..1

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S010

S012 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=1 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=1 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011

S013 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=1 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=1 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b = 5

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012

S014 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=1 inverse F(n/1) full forward divisor sum := sum(5)

操作後

Mobius roundtrip m=1 inverse F(n/1) full forward divisor sum = 5

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013

S015 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=1 inverse mu(1) times SAME F(n/1) := mul(1, 5)

操作後

Mobius roundtrip m=1 inverse mu(1) times SAME F(n/1) = 5

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014

S016 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=1 inverse complete inverse-term sum := sum(5)

操作後

Mobius roundtrip m=1 inverse complete inverse-term sum = 5

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015

S017 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=1 inverse direct ORIGINAL a times n := mul(4, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=1 inverse direct ORIGINAL a times n = 4

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016

S018 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=1 inverse direct plus ORIGINAL b := sum(4, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=1 inverse direct plus ORIGINAL b = 5

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=1 inverse:actual n=1;ALL [d,mu(d),n/d,F(n/d),mu(d)*F(n/d)] rows=[[1, 1, 1, 5, 5]]

操作後

complete reconstructed=5;direct f(n)=5;sum_d mu(d)sum_e|n/d f(e)=sum_e|n f(e)sum_d|n/e mu(d)=f(n)

條件：無

有限雙和可換序，d*e|n；內層mu和在n/e=1時為1，否則由不同prime子集合正負配對為0，故只留e=n。n=1也有d=1、mu1=1，不混另一等價公式的index。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_general_finite_double_sum_and_Mobius_cancellation · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=2 forward:actual positive input=2;check complete integer range1..2

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 2];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S019

S021 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=2 forward f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=2 forward f(1) ORIGINAL a times divisor = 4

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020

S022 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=2 forward f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=2 forward f(1) plus ORIGINAL b = 5

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021

S023 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=2 forward f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2)

操作後

Mobius roundtrip m=2 forward f(2) ORIGINAL a times divisor = 8

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022

S024 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=2 forward f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=2 forward f(2) plus ORIGINAL b = 9

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023

S025 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=2 forward full forward divisor sum := sum(5, 9)

操作後

Mobius roundtrip m=2 forward full forward divisor sum = 14

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=2 inverse:actual positive input=2;check complete integer range1..2

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 2];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=2 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:actual positive input for mu=1

操作後

complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search

條件：無

先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。

步驟識別與依賴

規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=2 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:input=1;COMPLETE prime multiset=[];distinct primes=[]

操作後

mu=1;empty product case=是;repeated prime=否

條件：無

1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。

步驟識別與依賴

規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S027

S029 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=2 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 := div(2, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=2 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 = 2

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1):actual positive input=2;check complete integer range1..2

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 2];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S029

S031 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030

S032 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b = 5

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031

S033 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2)

操作後

Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor = 8

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032

S034 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b = 9

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033

S035 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) full forward divisor sum := sum(5, 9)

操作後

Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) full forward divisor sum = 14

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034

S036 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=2 inverse mu(1) times SAME F(n/1) := mul(1, 14)

操作後

Mobius roundtrip m=2 inverse mu(1) times SAME F(n/1) = 14

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035

S037 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=2 inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:actual positive input for mu=2

操作後

complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search

條件：無

先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。

步驟識別與依賴

規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S036

S038 · implies

操作前

ORIGINAL positive integer absolute magnitude=2>1

操作後

initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted

條件：無

每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。

步驟識別與依賴

規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S037

S039 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2)

操作後

upf canonical complete product factor0 = 2

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038

S040 · implies

操作前

exhausted trial divisors below2;terminal remaining=2;d*d>remaining;ORIGINAL n=2

操作後

complete increasing prime multiset=[2];full product=2;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor

條件：無

若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。

步驟識別與依賴

規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S039

S041 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=2 inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:input=2;COMPLETE prime multiset=[2];distinct primes=[2]

操作後

mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否

條件：無

1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。

步驟識別與依賴

規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S040

S042 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=2 inverse n divided by ORIGINAL divisor2 := div(2, 2)

操作後

Mobius roundtrip m=2 inverse n divided by ORIGINAL divisor2 = 1

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041

S043 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2):actual positive input=1;check complete integer range1..1

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S042

S044 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043

S045 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b = 5

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044

S046 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2) full forward divisor sum := sum(5)

操作後

Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2) full forward divisor sum = 5

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045

S047 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=2 inverse mu(2) times SAME F(n/2) := mul(-1, 5)

操作後

Mobius roundtrip m=2 inverse mu(2) times SAME F(n/2) = -5

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046

S048 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=2 inverse complete inverse-term sum := sum(14, -5)

操作後

Mobius roundtrip m=2 inverse complete inverse-term sum = 9

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047

S049 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=2 inverse direct ORIGINAL a times n := mul(4, 2)

操作後

Mobius roundtrip m=2 inverse direct ORIGINAL a times n = 8

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048

S050 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=2 inverse direct plus ORIGINAL b := sum(8, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=2 inverse direct plus ORIGINAL b = 9

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049

S051 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=2 inverse:actual n=2;ALL [d,mu(d),n/d,F(n/d),mu(d)*F(n/d)] rows=[[1, 1, 2, 14, 14], [2, -1, 1, 5, -5]]

操作後

complete reconstructed=9;direct f(n)=9;sum_d mu(d)sum_e|n/d f(e)=sum_e|n f(e)sum_d|n/e mu(d)=f(n)

條件：無

有限雙和可換序，d*e|n；內層mu和在n/e=1時為1，否則由不同prime子集合正負配對為0，故只留e=n。n=1也有d=1、mu1=1，不混另一等價公式的index。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_general_finite_double_sum_and_Mobius_cancellation · 依賴：G001, S050

S052 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=7 forward:actual positive input=7;check complete integer range1..7

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 7];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S051

S053 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=7 forward f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=7 forward f(1) ORIGINAL a times divisor = 4

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052

S054 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=7 forward f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=7 forward f(1) plus ORIGINAL b = 5

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053

S055 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=7 forward f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 7)

操作後

Mobius roundtrip m=7 forward f(7) ORIGINAL a times divisor = 28

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054

S056 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=7 forward f(7) plus ORIGINAL b := sum(28, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=7 forward f(7) plus ORIGINAL b = 29

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055

S057 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=7 forward full forward divisor sum := sum(5, 29)

操作後

Mobius roundtrip m=7 forward full forward divisor sum = 34

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056

S058 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=7 inverse:actual positive input=7;check complete integer range1..7

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 7];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S057

S059 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=7 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:actual positive input for mu=1

操作後

complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search

條件：無

先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。

步驟識別與依賴

規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S058

S060 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=7 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:input=1;COMPLETE prime multiset=[];distinct primes=[]

操作後

mu=1;empty product case=是;repeated prime=否

條件：無

1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。

步驟識別與依賴

規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S059

S061 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=7 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 := div(7, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=7 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 = 7

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060

S062 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=7 inverse F(n/1):actual positive input=7;check complete integer range1..7

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 7];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S061

S063 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=7 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=7 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062

S064 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=7 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=7 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b = 5

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S063

S065 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=7 inverse F(n/1) f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 7)

操作後

Mobius roundtrip m=7 inverse F(n/1) f(7) ORIGINAL a times divisor = 28

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S064

S066 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=7 inverse F(n/1) f(7) plus ORIGINAL b := sum(28, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=7 inverse F(n/1) f(7) plus ORIGINAL b = 29

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S065

S067 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=7 inverse F(n/1) full forward divisor sum := sum(5, 29)

操作後

Mobius roundtrip m=7 inverse F(n/1) full forward divisor sum = 34

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066

S068 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=7 inverse mu(1) times SAME F(n/1) := mul(1, 34)

操作後

Mobius roundtrip m=7 inverse mu(1) times SAME F(n/1) = 34

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067

S069 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=7 inverse Mobius at ORIGINAL divisor7:actual positive input for mu=7

操作後

complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search

條件：無

先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。

步驟識別與依賴

規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S068

S070 · implies

操作前

ORIGINAL positive integer absolute magnitude=7>1

操作後

initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted

條件：無

每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。

步驟識別與依賴

規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S069

S071 · implies

操作前

next divisor=2;previous remaining=7;all smaller divisors exhausted

操作後

extracted multiplicity=0;next remaining=7;remaining modulo2=1;extracted multiset=[]

條件：無

除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。

步驟識別與依賴

規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S070

S072 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor0 := mul(1, 7)

操作後

upf canonical complete product factor0 = 7

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S071

S073 · implies

操作前

exhausted trial divisors below3;terminal remaining=7;d*d>remaining;ORIGINAL n=7

操作後

complete increasing prime multiset=[7];full product=7;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor

條件：無

若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。

步驟識別與依賴

規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S072

S074 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=7 inverse Mobius at ORIGINAL divisor7:input=7;COMPLETE prime multiset=[7];distinct primes=[7]

操作後

mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否

條件：無

1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。

步驟識別與依賴

規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S073

S075 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=7 inverse n divided by ORIGINAL divisor7 := div(7, 7)

操作後

Mobius roundtrip m=7 inverse n divided by ORIGINAL divisor7 = 1

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S074

S076 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=7 inverse F(n/7):actual positive input=1;check complete integer range1..1

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S075

S077 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=7 inverse F(n/7) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=7 inverse F(n/7) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S076

S078 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=7 inverse F(n/7) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=7 inverse F(n/7) f(1) plus ORIGINAL b = 5

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S077

S079 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=7 inverse F(n/7) full forward divisor sum := sum(5)

操作後

Mobius roundtrip m=7 inverse F(n/7) full forward divisor sum = 5

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S078

S080 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=7 inverse mu(7) times SAME F(n/7) := mul(-1, 5)

操作後

Mobius roundtrip m=7 inverse mu(7) times SAME F(n/7) = -5

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S079

S081 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=7 inverse complete inverse-term sum := sum(34, -5)

操作後

Mobius roundtrip m=7 inverse complete inverse-term sum = 29

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S080

S082 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=7 inverse direct ORIGINAL a times n := mul(4, 7)

操作後

Mobius roundtrip m=7 inverse direct ORIGINAL a times n = 28

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S081

S083 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=7 inverse direct plus ORIGINAL b := sum(28, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=7 inverse direct plus ORIGINAL b = 29

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S082

S084 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=7 inverse:actual n=7;ALL [d,mu(d),n/d,F(n/d),mu(d)*F(n/d)] rows=[[1, 1, 7, 34, 34], [7, -1, 1, 5, -5]]

操作後

complete reconstructed=29;direct f(n)=29;sum_d mu(d)sum_e|n/d f(e)=sum_e|n f(e)sum_d|n/e mu(d)=f(n)

條件：無

有限雙和可換序，d*e|n；內層mu和在n/e=1時為1，否則由不同prime子集合正負配對為0，故只留e=n。n=1也有d=1、mu1=1，不混另一等價公式的index。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_general_finite_double_sum_and_Mobius_cancellation · 依賴：G001, S083

S085 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=14 forward:actual positive input=14;check complete integer range1..14

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 7, 14];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S084

S086 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 forward f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=14 forward f(1) ORIGINAL a times divisor = 4

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S085

S087 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 forward f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=14 forward f(1) plus ORIGINAL b = 5

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S086

S088 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 forward f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2)

操作後

Mobius roundtrip m=14 forward f(2) ORIGINAL a times divisor = 8

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S087

S089 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 forward f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=14 forward f(2) plus ORIGINAL b = 9

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S088

S090 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 forward f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 7)

操作後

Mobius roundtrip m=14 forward f(7) ORIGINAL a times divisor = 28

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S089

S091 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 forward f(7) plus ORIGINAL b := sum(28, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=14 forward f(7) plus ORIGINAL b = 29

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S090

S092 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 forward f(14) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 14)

操作後

Mobius roundtrip m=14 forward f(14) ORIGINAL a times divisor = 56

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S091

S093 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 forward f(14) plus ORIGINAL b := sum(56, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=14 forward f(14) plus ORIGINAL b = 57

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S092

S094 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 forward full forward divisor sum := sum(5, 9, 29, 57)

操作後

Mobius roundtrip m=14 forward full forward divisor sum = 100

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S093

S095 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse:actual positive input=14;check complete integer range1..14

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 7, 14];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S094

S096 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:actual positive input for mu=1

操作後

complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search

條件：無

先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。

步驟識別與依賴

規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S095

S097 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse Mobius at ORIGINAL divisor1:input=1;COMPLETE prime multiset=[];distinct primes=[]

操作後

mu=1;empty product case=是;repeated prime=否

條件：無

1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。

步驟識別與依賴

規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S096

S098 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 := div(14, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse n divided by ORIGINAL divisor1 = 14

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S097

S099 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/1):actual positive input=14;check complete integer range1..14

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 2, 7, 14];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S098

S100 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S099

S101 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b = 5

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S100

S102 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor = 8

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S101

S103 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b = 9

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S102

S104 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/1) f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 7)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/1) f(7) ORIGINAL a times divisor = 28

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S103

S105 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/1) f(7) plus ORIGINAL b := sum(28, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/1) f(7) plus ORIGINAL b = 29

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S104

S106 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/1) f(14) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 14)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/1) f(14) ORIGINAL a times divisor = 56

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S105

S107 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/1) f(14) plus ORIGINAL b := sum(56, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/1) f(14) plus ORIGINAL b = 57

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S106

S108 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/1) full forward divisor sum := sum(5, 9, 29, 57)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/1) full forward divisor sum = 100

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S107

S109 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse mu(1) times SAME F(n/1) := mul(1, 100)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse mu(1) times SAME F(n/1) = 100

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S108

S110 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:actual positive input for mu=2

操作後

complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search

條件：無

先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。

步驟識別與依賴

規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S109

S111 · implies

操作前

ORIGINAL positive integer absolute magnitude=2>1

操作後

initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted

條件：無

每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。

步驟識別與依賴

規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S110

S112 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2)

操作後

upf canonical complete product factor0 = 2

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S111

S113 · implies

操作前

exhausted trial divisors below2;terminal remaining=2;d*d>remaining;ORIGINAL n=2

操作後

complete increasing prime multiset=[2];full product=2;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor

條件：無

若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。

步驟識別與依賴

規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S112

S114 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse Mobius at ORIGINAL divisor2:input=2;COMPLETE prime multiset=[2];distinct primes=[2]

操作後

mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否

條件：無

1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。

步驟識別與依賴

規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S113

S115 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse n divided by ORIGINAL divisor2 := div(14, 2)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse n divided by ORIGINAL divisor2 = 7

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S114

S116 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/2):actual positive input=7;check complete integer range1..7

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 7];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S115

S117 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S116

S118 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b = 5

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S117

S119 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/2) f(7) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 7)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/2) f(7) ORIGINAL a times divisor = 28

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S118

S120 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/2) f(7) plus ORIGINAL b := sum(28, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/2) f(7) plus ORIGINAL b = 29

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S119

S121 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/2) full forward divisor sum := sum(5, 29)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/2) full forward divisor sum = 34

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S120

S122 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse mu(2) times SAME F(n/2) := mul(-1, 34)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse mu(2) times SAME F(n/2) = -34

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S121

S123 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse Mobius at ORIGINAL divisor7:actual positive input for mu=7

操作後

complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search

條件：無

先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。

步驟識別與依賴

規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S122

S124 · implies

操作前

ORIGINAL positive integer absolute magnitude=7>1

操作後

initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted

條件：無

每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。

步驟識別與依賴

規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S123

S125 · implies

操作前

next divisor=2;previous remaining=7;all smaller divisors exhausted

操作後

extracted multiplicity=0;next remaining=7;remaining modulo2=1;extracted multiset=[]

條件：無

除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。

步驟識別與依賴

規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S124

S126 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor0 := mul(1, 7)

操作後

upf canonical complete product factor0 = 7

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S125

S127 · implies

操作前

exhausted trial divisors below3;terminal remaining=7;d*d>remaining;ORIGINAL n=7

操作後

complete increasing prime multiset=[7];full product=7;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor

條件：無

若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。

步驟識別與依賴

規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S126

S128 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse Mobius at ORIGINAL divisor7:input=7;COMPLETE prime multiset=[7];distinct primes=[7]

操作後

mu=-1;empty product case=否;repeated prime=否

條件：無

1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。

步驟識別與依賴

規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S127

S129 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse n divided by ORIGINAL divisor7 := div(14, 7)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse n divided by ORIGINAL divisor7 = 2

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S128

S130 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/7):actual positive input=2;check complete integer range1..2

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1, 2];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S129

S131 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/7) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/7) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S130

S132 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/7) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/7) f(1) plus ORIGINAL b = 5

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S131

S133 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/7) f(2) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 2)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/7) f(2) ORIGINAL a times divisor = 8

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S132

S134 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/7) f(2) plus ORIGINAL b := sum(8, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/7) f(2) plus ORIGINAL b = 9

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S133

S135 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/7) full forward divisor sum := sum(5, 9)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/7) full forward divisor sum = 14

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S134

S136 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse mu(7) times SAME F(n/7) := mul(-1, 14)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse mu(7) times SAME F(n/7) = -14

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S135

S137 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse Mobius at ORIGINAL divisor14:actual positive input for mu=14

操作後

complete prime multiplicities required for this input;mu(1) uses empty product,not a partial factor search

條件：無

先明示正在算原n還是其正因數的mu；每次需要完整prime重數，不能用找到的幾個因數猜squarefree。

步驟識別與依賴

規則：mobius_complete_UPF_input_role · 依賴：G001, S136

S138 · implies

操作前

ORIGINAL positive integer absolute magnitude=14>1

操作後

initialize remaining=n,prime multiset empty;invariant product(extracted)*remaining=n;every smaller trial divisor has been exhausted

條件：無

每次只除真正整除的d，並以已窮盡更小因數維持d為prime的理由，不先假定原n為prime。

步驟識別與依賴

規則：upf_factorization_remaining_product_invariant · 依賴：G001, S137

S139 · calculation

操作前

upf extract divisor2 occurrence0 := div(14, 2)

操作後

upf extract divisor2 occurrence0 = 7

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S138

S140 · implies

操作前

next divisor=2;previous remaining=14;all smaller divisors exhausted

操作後

extracted multiplicity=1;next remaining=7;remaining modulo2=1;extracted multiset=[2]

條件：無

除盡同一prime的所有重數才前進；不把n的原平方根與remaining的停止責任混淆，也不漏最後的prime remainder。

步驟識別與依賴

規則：upf_complete_trial_division_remaining_invariant · 依賴：G001, S139

S141 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor0 := mul(1, 2)

操作後

upf canonical complete product factor0 = 2

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S140

S142 · calculation

操作前

upf canonical complete product factor1 := mul(2, 7)

操作後

upf canonical complete product factor1 = 14

條件：無

依原題角色與已核中間量精確代值，保留原順序、正負號及量詞條件。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S141

S143 · implies

操作前

exhausted trial divisors below3;terminal remaining=7;d*d>remaining;ORIGINAL n=14

操作後

complete increasing prime multiset=[2, 7];full product=14;a composite terminal remainder would have an already tested smaller divisor

條件：無

若remaining>1仍合數，其最小prime因數會在已驗範圍，與除盡不變式矛盾，所以補入的末項為prime。這證本例完整分解；一般存在也可對n作強歸納，合數拆成較小正因數後遞歸。

步驟識別與依賴

規則：upf_final_prime_remainder_complete_existence_instance · 依賴：G001, S142

S144 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse Mobius at ORIGINAL divisor14:input=14;COMPLETE prime multiset=[2, 7];distinct primes=[2, 7]

操作後

mu=1;empty product case=否;repeated prime=否

條件：無

1的空prime多重集給mu1=1；任何prime重複表示square divisor而給0；否則依不同prime個數奇偶給正負。排序不丟重數。

步驟識別與依賴

規則：mobius_value_one_repeated_prime_or_squarefree_parity · 依賴：G001, S143

S145 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse n divided by ORIGINAL divisor14 := div(14, 14)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse n divided by ORIGINAL divisor14 = 1

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S144

S146 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/14):actual positive input=1;check complete integer range1..1

操作後

ALL positive divisors INCREASING=[1];not only primes/proper divisors or all integers<=n

條件：無

逐完整範圍查整除，保1與n；d|n不是d<=n，也不只取prime或proper divisor。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_ALL_positive_divisors_complete_indexing · 依賴：G001, S145

S147 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/14) f(1) ORIGINAL a times divisor := mul(4, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/14) f(1) ORIGINAL a times divisor = 4

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S146

S148 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/14) f(1) plus ORIGINAL b := sum(4, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/14) f(1) plus ORIGINAL b = 5

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S147

S149 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/14) full forward divisor sum := sum(5)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/14) full forward divisor sum = 5

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S148

S150 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse mu(14) times SAME F(n/14) := mul(1, 5)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse mu(14) times SAME F(n/14) = 5

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S149

S151 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse complete inverse-term sum := sum(100, -34, -14, 5)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse complete inverse-term sum = 57

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S150

S152 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse direct ORIGINAL a times n := mul(4, 14)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse direct ORIGINAL a times n = 56

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S151

S153 · calculation

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse direct plus ORIGINAL b := sum(56, 1)

操作後

Mobius roundtrip m=14 inverse direct plus ORIGINAL b = 57

條件：無

依原始角色、次序與已核中間量精確代值；不改source binding或用浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S152

S154 · implies

操作前

Mobius roundtrip m=14 inverse:actual n=14;ALL [d,mu(d),n/d,F(n/d),mu(d)*F(n/d)] rows=[[1, 1, 14, 100, 100], [2, -1, 7, 34, -34], [7, -1, 2, 14, -14], [14, 1, 1, 5, 5]]

操作後

complete reconstructed=57;direct f(n)=57;sum_d mu(d)sum_e|n/d f(e)=sum_e|n f(e)sum_d|n/e mu(d)=f(n)

條件：無

有限雙和可換序，d*e|n；內層mu和在n/e=1時為1，否則由不同prime子集合正負配對為0，故只留e=n。n=1也有d=1、mu1=1，不混另一等價公式的index。

步驟識別與依賴

規則：mobinv_general_finite_double_sum_and_Mobius_cancellation · 依賴：G001, S153

逐步反向核對

  • S154 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S153 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse direct plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
  • S152 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse direct ORIGINAL a times n，不以小數近似替代。
  • S151 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse complete inverse-term sum，不以小數近似替代。
  • S150 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse mu(14) times SAME F(n/14)，不以小數近似替代。
  • S149 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/14) full forward divisor sum，不以小數近似替代。
  • S148 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/14) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
  • S147 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/14) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
  • S146 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S145 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse n divided by ORIGINAL divisor14，不以小數近似替代。
  • S144 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S143 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S142 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor1，不以小數近似替代。
  • S141 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。
  • S140 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S139 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf extract divisor2 occurrence0，不以小數近似替代。
  • S138 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S137 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S136 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse mu(7) times SAME F(n/7)，不以小數近似替代。
  • S135 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/7) full forward divisor sum，不以小數近似替代。
  • S134 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/7) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
  • S133 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/7) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
  • S132 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/7) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
  • S131 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/7) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
  • S130 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S129 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse n divided by ORIGINAL divisor7，不以小數近似替代。
  • S128 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S127 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S126 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。
  • S125 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S124 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S123 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S122 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse mu(2) times SAME F(n/2)，不以小數近似替代。
  • S121 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/2) full forward divisor sum，不以小數近似替代。
  • S120 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/2) f(7) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
  • S119 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/2) f(7) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
  • S118 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
  • S117 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
  • S116 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S115 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse n divided by ORIGINAL divisor2，不以小數近似替代。
  • S114 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S113 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S112 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。
  • S111 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S110 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S109 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse mu(1) times SAME F(n/1)，不以小數近似替代。
  • S108 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/1) full forward divisor sum，不以小數近似替代。
  • S107 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/1) f(14) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
  • S106 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/1) f(14) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
  • S105 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/1) f(7) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
  • S104 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/1) f(7) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
  • S103 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/1) f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
  • S102 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
  • S101 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
  • S100 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=14 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
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  • S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=7 inverse complete inverse-term sum，不以小數近似替代。
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  • S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=7 inverse F(n/7) full forward divisor sum，不以小數近似替代。
  • S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=7 inverse F(n/7) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
  • S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=7 inverse F(n/7) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
  • S076 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
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  • S074 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S073 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 upf canonical complete product factor0，不以小數近似替代。
  • S071 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S070 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
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  • S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=7 inverse mu(1) times SAME F(n/1)，不以小數近似替代。
  • S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=7 inverse F(n/1) full forward divisor sum，不以小數近似替代。
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  • S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=7 inverse n divided by ORIGINAL divisor1，不以小數近似替代。
  • S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
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  • S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
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  • S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=7 forward f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
  • S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse direct plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
  • S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse direct ORIGINAL a times n，不以小數近似替代。
  • S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse complete inverse-term sum，不以小數近似替代。
  • S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse mu(2) times SAME F(n/2)，不以小數近似替代。
  • S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2) full forward divisor sum，不以小數近似替代。
  • S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
  • S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/2) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
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  • S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) full forward divisor sum，不以小數近似替代。
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  • S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
  • S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
  • S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse F(n/1) f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
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  • S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 inverse n divided by ORIGINAL divisor1，不以小數近似替代。
  • S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
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  • S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 forward full forward divisor sum，不以小數近似替代。
  • S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 forward f(2) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
  • S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 forward f(2) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
  • S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 forward f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
  • S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=2 forward f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
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  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
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  • S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=1 forward f(1) plus ORIGINAL b，不以小數近似替代。
  • S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mobius roundtrip m=1 forward f(1) ORIGINAL a times divisor，不以小數近似替代。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(14, [[1, 5, 5, 5], [2, 14, 9, 9], [7, 34, 29, 29], [14, 100, 57, 57]], 是, finite_divisor_poset_roundtrip)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 5b1521c510d1972e9d2bad02ef243f4b0b24fbcd0f6fa37904989e49abdbf705
  • candidate record SHA-256: 9ed4716bb8a699b2f397eb88ea8ca85bead0948847f926329ac325641bcec04f
  • semantic review receipt SHA-256: 49cf6ec60211c92d1c0c302663af4d44479635dc8181fb61a20c3374288e21c5
  • question-first witness SHA-256: 10fd25b4643e5ff12753daceaa61f9f2499bf381f65ef96e9d21185c7c0d0c5e
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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