第 23010 題：高階導數

原題與已知條件

f^(0)=f且f^(n+1)=(f^n)'的逐階存在與n in natural including zero。操作=higher-missing-next-order-boundary；資料={"scale":10}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — f^(0)=f且f^(n+1)=(f^n)'的逐階存在與n in natural including zero。操作=higher-missing-next-order-boundary；資料={"scale":10}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-higher-order-derivative

逐步推導

source operation=higher-missing-next-order-boundary;original snapshot and mathematics retained

explicit ordered source output fields=[scale, function_description, point, first_derivative_exists, first_derivative_value, second_derivative_exists, boundary]

ORIGINAL nonzero scale=10;WHOLE f(x)=scale*x*abs(x),f(0)=0

for h!=0,(f(h)-f(0))/h=scale*abs(h) tends0;first derivative at0 exists and equals0

ORIGINAL f(x)=(10)x*abs(x);for x!=0,f_prime(x)=2*(10)*abs(x);f_prime(0)=0

next difference quotient at0 has right limit=20,left limit=-20;nonzero scale makes them unequal,so second derivative at0 does NOT exist

逐步反向核對

• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(10, f(x)=scale*x*abs(x), 0, 是, 0, 否, first_derivative_exists_at_zero_but_second_derivative_has_opposite_one_sided_limits)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。