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第 22795 題：Catalan數

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

返回所在分頁 114

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R0044-22795 · q-20261014-advance-20261111-r05-catalan-numbers-0020

原題與已知條件

C_0=1且C_(n+1)=sum_i C_i*C_(n-i)的zero-based indexing。操作=catalan-recurrence-generation；資料={"n":19}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

  • G001 — C_0=1且C_(n+1)=sum_i C_i*C_(n-i)的zero-based indexing。操作=catalan-recurrence-generation；資料={"n":19}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

source operation=catalan-recurrence-generation;original snapshot and mathematics retained

操作後

explicit ordered source output fields=[n, prefix, C_n, index_convention]

條件：無

保留原題歷史介面標記，直接列來源欄序，不需JavaScript。tag不是額外證據，固定No依原聲稱範圍解讀；排序輔助只處理協定，不是數學oracle。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

ORIGINAL requested natural index n=19

操作後

initialize C_0=1;recurrence C_(j+1)=sum_i=0..j C_i*C_(j-i),including ALL splits

條件：無

空物件只有一種所以C0=1；第j+1項必含i0到j全部split，不採C1起算的位移慣例。

步驟識別與依賴

規則：catalan_base_case_empty_object_C0_one · 依賴：G001, S001

S003 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_1 := sum(1)

操作後

Catalan complete convolution for C_1 = 1

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

ORIGINAL index j=0;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 1, 1]]

操作後

C_1=1;ALL earlier values used from the established prefix=[1]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S003

S005 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_2 := sum(1, 1)

操作後

Catalan complete convolution for C_2 = 2

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

ORIGINAL index j=1;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 1]]

操作後

C_2=2;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S005

S007 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_3 := sum(2, 1, 2)

操作後

Catalan complete convolution for C_3 = 5

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

ORIGINAL index j=2;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 2, 2], [1, 1, 1, 1], [2, 2, 1, 2]]

操作後

C_3=5;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S007

S009 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_4 := sum(5, 2, 2, 5)

操作後

Catalan complete convolution for C_4 = 14

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

ORIGINAL index j=3;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 5, 5], [1, 1, 2, 2], [2, 2, 1, 2], [3, 5, 1, 5]]

操作後

C_4=14;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S009

S011 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_5 := sum(14, 5, 4, 5, 14)

操作後

Catalan complete convolution for C_5 = 42

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

ORIGINAL index j=4;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 14, 14], [1, 1, 5, 5], [2, 2, 2, 4], [3, 5, 1, 5], [4, 14, 1, 14]]

操作後

C_5=42;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S011

S013 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_6 := sum(42, 14, 10, 10, 14, 42)

操作後

Catalan complete convolution for C_6 = 132

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

ORIGINAL index j=5;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 42, 42], [1, 1, 14, 14], [2, 2, 5, 10], [3, 5, 2, 10], [4, 14, 1, 14], [5, 42, 1, 42]]

操作後

C_6=132;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S013

S015 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_7 := sum(132, 42, 28, 25, 28, 42, 132)

操作後

Catalan complete convolution for C_7 = 429

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

ORIGINAL index j=6;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 132, 132], [1, 1, 42, 42], [2, 2, 14, 28], [3, 5, 5, 25], [4, 14, 2, 28], [5, 42, 1, 42], [6, 132, 1, 132]]

操作後

C_7=429;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S015

S017 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_8 := sum(429, 132, 84, 70, 70, 84, 132, 429)

操作後

Catalan complete convolution for C_8 = 1430

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

ORIGINAL index j=7;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 429, 429], [1, 1, 132, 132], [2, 2, 42, 84], [3, 5, 14, 70], [4, 14, 5, 70], [5, 42, 2, 84], [6, 132, 1, 132], [7, 429, 1, 429]]

操作後

C_8=1430;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S017

S019 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_9 := sum(1430, 429, 264, 210, 196, 210, 264, 429, 1430)

操作後

Catalan complete convolution for C_9 = 4862

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

ORIGINAL index j=8;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 1430, 1430], [1, 1, 429, 429], [2, 2, 132, 264], [3, 5, 42, 210], [4, 14, 14, 196], [5, 42, 5, 210], [6, 132, 2, 264], [7, 429, 1, 429], [8, 1430, 1, 1430]]

操作後

C_9=4862;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S019

S021 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_10 := sum(4862, 1430, 858, 660, 588, 588, 660, 858, 1430, 4862)

操作後

Catalan complete convolution for C_10 = 16796

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

ORIGINAL index j=9;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 4862, 4862], [1, 1, 1430, 1430], [2, 2, 429, 858], [3, 5, 132, 660], [4, 14, 42, 588], [5, 42, 14, 588], [6, 132, 5, 660], [7, 429, 2, 858], [8, 1430, 1, 1430], [9, 4862, 1, 4862]]

操作後

C_10=16796;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S021

S023 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_11 := sum(16796, 4862, 2860, 2145, 1848, 1764, 1848, 2145, 2860, 4862, 16796)

操作後

Catalan complete convolution for C_11 = 58786

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

ORIGINAL index j=10;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 16796, 16796], [1, 1, 4862, 4862], [2, 2, 1430, 2860], [3, 5, 429, 2145], [4, 14, 132, 1848], [5, 42, 42, 1764], [6, 132, 14, 1848], [7, 429, 5, 2145], [8, 1430, 2, 2860], [9, 4862, 1, 4862], [10, 16796, 1, 16796]]

操作後

C_11=58786;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S023

S025 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_12 := sum(58786, 16796, 9724, 7150, 6006, 5544, 5544, 6006, 7150, 9724, 16796, 58786)

操作後

Catalan complete convolution for C_12 = 208012

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

ORIGINAL index j=11;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 58786, 58786], [1, 1, 16796, 16796], [2, 2, 4862, 9724], [3, 5, 1430, 7150], [4, 14, 429, 6006], [5, 42, 132, 5544], [6, 132, 42, 5544], [7, 429, 14, 6006], [8, 1430, 5, 7150], [9, 4862, 2, 9724], [10, 16796, 1, 16796], [11, 58786, 1, 58786]]

操作後

C_12=208012;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S025

S027 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_13 := sum(208012, 58786, 33592, 24310, 20020, 18018, 17424, 18018, 20020, 24310, 33592, 58786, 208012)

操作後

Catalan complete convolution for C_13 = 742900

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

ORIGINAL index j=12;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 208012, 208012], [1, 1, 58786, 58786], [2, 2, 16796, 33592], [3, 5, 4862, 24310], [4, 14, 1430, 20020], [5, 42, 429, 18018], [6, 132, 132, 17424], [7, 429, 42, 18018], [8, 1430, 14, 20020], [9, 4862, 5, 24310], [10, 16796, 2, 33592], [11, 58786, 1, 58786], [12, 208012, 1, 208012]]

操作後

C_13=742900;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S027

S029 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_14 := sum(742900, 208012, 117572, 83980, 68068, 60060, 56628, 56628, 60060, 68068, 83980, 117572, 208012, 742900)

操作後

Catalan complete convolution for C_14 = 2674440

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

ORIGINAL index j=13;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 742900, 742900], [1, 1, 208012, 208012], [2, 2, 58786, 117572], [3, 5, 16796, 83980], [4, 14, 4862, 68068], [5, 42, 1430, 60060], [6, 132, 429, 56628], [7, 429, 132, 56628], [8, 1430, 42, 60060], [9, 4862, 14, 68068], [10, 16796, 5, 83980], [11, 58786, 2, 117572], [12, 208012, 1, 208012], [13, 742900, 1, 742900]]

操作後

C_14=2674440;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S029

S031 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_15 := sum(2674440, 742900, 416024, 293930, 235144, 204204, 188760, 184041, 188760, 204204, 235144, 293930, 416024, 742900, 2674440)

操作後

Catalan complete convolution for C_15 = 9694845

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030

S032 · implies

操作前

ORIGINAL index j=14;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 2674440, 2674440], [1, 1, 742900, 742900], [2, 2, 208012, 416024], [3, 5, 58786, 293930], [4, 14, 16796, 235144], [5, 42, 4862, 204204], [6, 132, 1430, 188760], [7, 429, 429, 184041], [8, 1430, 132, 188760], [9, 4862, 42, 204204], [10, 16796, 14, 235144], [11, 58786, 5, 293930], [12, 208012, 2, 416024], [13, 742900, 1, 742900], [14, 2674440, 1, 2674440]]

操作後

C_15=9694845;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S031

S033 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_16 := sum(9694845, 2674440, 1485800, 1040060, 823004, 705432, 641784, 613470, 613470, 641784, 705432, 823004, 1040060, 1485800, 2674440, 9694845)

操作後

Catalan complete convolution for C_16 = 35357670

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032

S034 · implies

操作前

ORIGINAL index j=15;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 9694845, 9694845], [1, 1, 2674440, 2674440], [2, 2, 742900, 1485800], [3, 5, 208012, 1040060], [4, 14, 58786, 823004], [5, 42, 16796, 705432], [6, 132, 4862, 641784], [7, 429, 1430, 613470], [8, 1430, 429, 613470], [9, 4862, 132, 641784], [10, 16796, 42, 705432], [11, 58786, 14, 823004], [12, 208012, 5, 1040060], [13, 742900, 2, 1485800], [14, 2674440, 1, 2674440], [15, 9694845, 1, 9694845]]

操作後

C_16=35357670;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S033

S035 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_17 := sum(35357670, 9694845, 5348880, 3714500, 2912168, 2469012, 2217072, 2085798, 2044900, 2085798, 2217072, 2469012, 2912168, 3714500, 5348880, 9694845, 35357670)

操作後

Catalan complete convolution for C_17 = 129644790

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034

S036 · implies

操作前

ORIGINAL index j=16;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 35357670, 35357670], [1, 1, 9694845, 9694845], [2, 2, 2674440, 5348880], [3, 5, 742900, 3714500], [4, 14, 208012, 2912168], [5, 42, 58786, 2469012], [6, 132, 16796, 2217072], [7, 429, 4862, 2085798], [8, 1430, 1430, 2044900], [9, 4862, 429, 2085798], [10, 16796, 132, 2217072], [11, 58786, 42, 2469012], [12, 208012, 14, 2912168], [13, 742900, 5, 3714500], [14, 2674440, 2, 5348880], [15, 9694845, 1, 9694845], [16, 35357670, 1, 35357670]]

操作後

C_17=129644790;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S035

S037 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_18 := sum(129644790, 35357670, 19389690, 13372200, 10400600, 8736504, 7759752, 7205484, 6952660, 6952660, 7205484, 7759752, 8736504, 10400600, 13372200, 19389690, 35357670, 129644790)

操作後

Catalan complete convolution for C_18 = 477638700

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036

S038 · implies

操作前

ORIGINAL index j=17;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 129644790, 129644790], [1, 1, 35357670, 35357670], [2, 2, 9694845, 19389690], [3, 5, 2674440, 13372200], [4, 14, 742900, 10400600], [5, 42, 208012, 8736504], [6, 132, 58786, 7759752], [7, 429, 16796, 7205484], [8, 1430, 4862, 6952660], [9, 4862, 1430, 6952660], [10, 16796, 429, 7205484], [11, 58786, 132, 7759752], [12, 208012, 42, 8736504], [13, 742900, 14, 10400600], [14, 2674440, 5, 13372200], [15, 9694845, 2, 19389690], [16, 35357670, 1, 35357670], [17, 129644790, 1, 129644790]]

操作後

C_18=477638700;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S037

S039 · calculation

操作前

Catalan complete convolution for C_19 := sum(477638700, 129644790, 70715340, 48474225, 37442160, 31201800, 27457584, 25219194, 24018280, 23639044, 24018280, 25219194, 27457584, 31201800, 37442160, 48474225, 70715340, 129644790, 477638700)

操作後

Catalan complete convolution for C_19 = 1767263190

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038

S040 · implies

操作前

ORIGINAL index j=18;ALL [i,C_i,C_(j-i),exact product] rows=[[0, 1, 477638700, 477638700], [1, 1, 129644790, 129644790], [2, 2, 35357670, 70715340], [3, 5, 9694845, 48474225], [4, 14, 2674440, 37442160], [5, 42, 742900, 31201800], [6, 132, 208012, 27457584], [7, 429, 58786, 25219194], [8, 1430, 16796, 24018280], [9, 4862, 4862, 23639044], [10, 16796, 1430, 24018280], [11, 58786, 429, 25219194], [12, 208012, 132, 27457584], [13, 742900, 42, 31201800], [14, 2674440, 14, 37442160], [15, 9694845, 5, 48474225], [16, 35357670, 2, 70715340], [17, 129644790, 1, 129644790], [18, 477638700, 1, 477638700]]

操作後

C_19=1767263190;ALL earlier values used from the established prefix=[1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700]

條件：無

逐全部split列原先已證的兩個C值與乘積，完整求和才是下一項；乘積即使超SAFE仍保exact BigInt語意，不截斷或轉float。

步驟識別與依賴

規則：catalan_EVERY_convolution_split_product_and_prefix · 依賴：G001, S039

S041 · implies

操作前

Catalan central:ORIGINAL binomial N=38,K=19

操作後

use k=min(K,N-K)=19;initialize exact product1;empty product for k0 is1

條件：無

以組合數對稱取較短乘積，保原N/K角色；每步先乘整數再做精確整除，不用浮點factorial近似。

步驟識別與依賴

規則：catalan_exact_binomial_product_initial_and_symmetry · 依賴：G001, S040

S042 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=1 := mul(1, 20)

操作後

Catalan central binomial product at i=1 = 20

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041

S043 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=1 := div(20, 1)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=1 = 20

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042

S044 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=2 := mul(20, 21)

操作後

Catalan central binomial product at i=2 = 420

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043

S045 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=2 := div(420, 2)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=2 = 210

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044

S046 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=3 := mul(210, 22)

操作後

Catalan central binomial product at i=3 = 4620

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045

S047 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=3 := div(4620, 3)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=3 = 1540

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046

S048 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=4 := mul(1540, 23)

操作後

Catalan central binomial product at i=4 = 35420

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047

S049 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=4 := div(35420, 4)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=4 = 8855

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048

S050 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=5 := mul(8855, 24)

操作後

Catalan central binomial product at i=5 = 212520

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S049

S051 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=5 := div(212520, 5)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=5 = 42504

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050

S052 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=6 := mul(42504, 25)

操作後

Catalan central binomial product at i=6 = 1062600

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051

S053 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=6 := div(1062600, 6)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=6 = 177100

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052

S054 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=7 := mul(177100, 26)

操作後

Catalan central binomial product at i=7 = 4604600

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S053

S055 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=7 := div(4604600, 7)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=7 = 657800

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054

S056 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=8 := mul(657800, 27)

操作後

Catalan central binomial product at i=8 = 17760600

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055

S057 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=8 := div(17760600, 8)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=8 = 2220075

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056

S058 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=9 := mul(2220075, 28)

操作後

Catalan central binomial product at i=9 = 62162100

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S057

S059 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=9 := div(62162100, 9)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=9 = 6906900

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058

S060 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=10 := mul(6906900, 29)

操作後

Catalan central binomial product at i=10 = 200300100

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059

S061 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=10 := div(200300100, 10)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=10 = 20030010

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060

S062 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=11 := mul(20030010, 30)

操作後

Catalan central binomial product at i=11 = 600900300

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S061

S063 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=11 := div(600900300, 11)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=11 = 54627300

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062

S064 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=12 := mul(54627300, 31)

操作後

Catalan central binomial product at i=12 = 1693446300

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S063

S065 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=12 := div(1693446300, 12)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=12 = 141120525

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S064

S066 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=13 := mul(141120525, 32)

操作後

Catalan central binomial product at i=13 = 4515856800

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S065

S067 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=13 := div(4515856800, 13)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=13 = 347373600

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066

S068 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=14 := mul(347373600, 33)

操作後

Catalan central binomial product at i=14 = 11463328800

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067

S069 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=14 := div(11463328800, 14)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=14 = 818809200

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S068

S070 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=15 := mul(818809200, 34)

操作後

Catalan central binomial product at i=15 = 27839512800

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S069

S071 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=15 := div(27839512800, 15)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=15 = 1855967520

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070

S072 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=16 := mul(1855967520, 35)

操作後

Catalan central binomial product at i=16 = 64958863200

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S071

S073 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=16 := div(64958863200, 16)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=16 = 4059928950

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S072

S074 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=17 := mul(4059928950, 36)

操作後

Catalan central binomial product at i=17 = 146157442200

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S073

S075 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=17 := div(146157442200, 17)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=17 = 8597496600

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S074

S076 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=18 := mul(8597496600, 37)

操作後

Catalan central binomial product at i=18 = 318107374200

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S075

S077 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=18 := div(318107374200, 18)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=18 = 17672631900

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S076

S078 · calculation

操作前

Catalan central binomial product at i=19 := mul(17672631900, 38)

操作後

Catalan central binomial product at i=19 = 671560012200

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S077

S079 · calculation

操作前

Catalan central exact binomial division by i=19 := div(671560012200, 19)

操作後

Catalan central exact binomial division by i=19 = 35345263800

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S078

S080 · calculation

操作前

Catalan ORIGINAL denominator n plus1 := sum(19, 1)

操作後

Catalan ORIGINAL denominator n plus1 = 20

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S079

S081 · implies

操作前

ORIGINAL n=19;central binomial=35345263800;positive denominator n+1=20

操作後

Euclidean quotient=1767263190,remainder=0;check remainder0 BEFORE treating quotient as Catalan integer

條件：無

先查餘數0才可作精確整數商，不以整數截斷掩蓋分母問題。n0時分母1與central1照樣保留。

步驟識別與依賴

規則：catalan_remainder_BEFORE_exact_closed_division · 依賴：G001, S080

S082 · calculation

操作前

Catalan exact closed quotient after remainder0 := div(35345263800, 20)

操作後

Catalan exact closed quotient after remainder0 = 1767263190

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S081

S083 · implies

操作前

Catalan adjacent:ORIGINAL binomial N=38,K=20

操作後

use k=min(K,N-K)=18;initialize exact product1;empty product for k0 is1

條件：無

以組合數對稱取較短乘積，保原N/K角色；每步先乘整數再做精確整除，不用浮點factorial近似。

步驟識別與依賴

規則：catalan_exact_binomial_product_initial_and_symmetry · 依賴：G001, S082

S084 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=1 := mul(1, 21)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=1 = 21

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S083

S085 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=1 := div(21, 1)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=1 = 21

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S084

S086 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=2 := mul(21, 22)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=2 = 462

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S085

S087 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=2 := div(462, 2)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=2 = 231

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S086

S088 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=3 := mul(231, 23)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=3 = 5313

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S087

S089 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=3 := div(5313, 3)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=3 = 1771

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S088

S090 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=4 := mul(1771, 24)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=4 = 42504

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S089

S091 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=4 := div(42504, 4)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=4 = 10626

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S090

S092 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=5 := mul(10626, 25)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=5 = 265650

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S091

S093 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=5 := div(265650, 5)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=5 = 53130

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S092

S094 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=6 := mul(53130, 26)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=6 = 1381380

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S093

S095 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=6 := div(1381380, 6)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=6 = 230230

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S094

S096 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=7 := mul(230230, 27)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=7 = 6216210

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S095

S097 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=7 := div(6216210, 7)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=7 = 888030

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S096

S098 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=8 := mul(888030, 28)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=8 = 24864840

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S097

S099 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=8 := div(24864840, 8)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=8 = 3108105

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S098

S100 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=9 := mul(3108105, 29)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=9 = 90135045

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S099

S101 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=9 := div(90135045, 9)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=9 = 10015005

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S100

S102 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=10 := mul(10015005, 30)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=10 = 300450150

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S101

S103 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=10 := div(300450150, 10)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=10 = 30045015

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S102

S104 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=11 := mul(30045015, 31)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=11 = 931395465

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S103

S105 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=11 := div(931395465, 11)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=11 = 84672315

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S104

S106 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=12 := mul(84672315, 32)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=12 = 2709514080

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S105

S107 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=12 := div(2709514080, 12)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=12 = 225792840

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S106

S108 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=13 := mul(225792840, 33)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=13 = 7451163720

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S107

S109 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=13 := div(7451163720, 13)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=13 = 573166440

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S108

S110 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=14 := mul(573166440, 34)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=14 = 19487658960

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S109

S111 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=14 := div(19487658960, 14)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=14 = 1391975640

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S110

S112 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=15 := mul(1391975640, 35)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=15 = 48719147400

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S111

S113 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=15 := div(48719147400, 15)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=15 = 3247943160

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S112

S114 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=16 := mul(3247943160, 36)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=16 = 116925953760

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S113

S115 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=16 := div(116925953760, 16)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=16 = 7307872110

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S114

S116 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=17 := mul(7307872110, 37)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=17 = 270391268070

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S115

S117 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=17 := div(270391268070, 17)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=17 = 15905368710

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S116

S118 · calculation

操作前

Catalan adjacent binomial product at i=18 := mul(15905368710, 38)

操作後

Catalan adjacent binomial product at i=18 = 604404010980

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S117

S119 · calculation

操作前

Catalan adjacent exact binomial division by i=18 := div(604404010980, 18)

操作後

Catalan adjacent exact binomial division by i=18 = 33578000610

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S118

S120 · calculation

操作前

Catalan central minus adjacent binomial := sub(35345263800, 33578000610)

操作後

Catalan central minus adjacent binomial = 1767263190

條件：無

依原題角色、原索引與已證中間量精確代值，不改為浮點近似或其他題目的資料。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S119

S121 · implies

操作前

ORIGINAL n=19;recurrence value=1767263190;central=35345263800,adjacent=33578000610,denominator=20

操作後

closed quotient=1767263190;binomial difference=1767263190;ALL THREE agree;balanced paths counted by choose(2n,n),bad paths first-crossing reflection counted by choose(2n,n+1)

條件：無

Dyck path首次跌到−1的prefix反射，與n+1個up／n−1個down路徑雙射；good數是兩binomial之差。首次返回分解U P D Q給C_(j+1)=ΣC_i C_(j−i)，空path給C0=1，所以同一遞迴唯一決定此數；adjacent比率再化差為central/(n+1)。不是只由有限數值猜一般恆等。

步驟識別與依賴

規則：catalan_general_Dyck_reflection_and_first_return_recurrence · 依賴：G001, S120

逐步反向核對

  • S121 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S120 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central minus adjacent binomial，不以小數近似替代。
  • S119 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=18，不以小數近似替代。
  • S118 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=18，不以小數近似替代。
  • S117 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=17，不以小數近似替代。
  • S116 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=17，不以小數近似替代。
  • S115 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=16，不以小數近似替代。
  • S114 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=16，不以小數近似替代。
  • S113 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=15，不以小數近似替代。
  • S112 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=15，不以小數近似替代。
  • S111 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=14，不以小數近似替代。
  • S110 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=14，不以小數近似替代。
  • S109 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=13，不以小數近似替代。
  • S108 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=13，不以小數近似替代。
  • S107 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=12，不以小數近似替代。
  • S106 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=12，不以小數近似替代。
  • S105 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=11，不以小數近似替代。
  • S104 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=11，不以小數近似替代。
  • S103 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=10，不以小數近似替代。
  • S102 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=10，不以小數近似替代。
  • S101 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=9，不以小數近似替代。
  • S100 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=9，不以小數近似替代。
  • S099 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=8，不以小數近似替代。
  • S098 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=8，不以小數近似替代。
  • S097 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=7，不以小數近似替代。
  • S096 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=7，不以小數近似替代。
  • S095 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=6，不以小數近似替代。
  • S094 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=6，不以小數近似替代。
  • S093 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=5，不以小數近似替代。
  • S092 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=5，不以小數近似替代。
  • S091 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=4，不以小數近似替代。
  • S090 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=4，不以小數近似替代。
  • S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=3，不以小數近似替代。
  • S088 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=3，不以小數近似替代。
  • S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=2，不以小數近似替代。
  • S086 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=2，不以小數近似替代。
  • S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent exact binomial division by i=1，不以小數近似替代。
  • S084 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan adjacent binomial product at i=1，不以小數近似替代。
  • S083 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S082 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan exact closed quotient after remainder0，不以小數近似替代。
  • S081 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S080 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan ORIGINAL denominator n plus1，不以小數近似替代。
  • S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=19，不以小數近似替代。
  • S078 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=19，不以小數近似替代。
  • S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=18，不以小數近似替代。
  • S076 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=18，不以小數近似替代。
  • S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=17，不以小數近似替代。
  • S074 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=17，不以小數近似替代。
  • S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=16，不以小數近似替代。
  • S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=16，不以小數近似替代。
  • S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=15，不以小數近似替代。
  • S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=15，不以小數近似替代。
  • S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=14，不以小數近似替代。
  • S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=14，不以小數近似替代。
  • S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=13，不以小數近似替代。
  • S066 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=13，不以小數近似替代。
  • S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=12，不以小數近似替代。
  • S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=12，不以小數近似替代。
  • S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=11，不以小數近似替代。
  • S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=11，不以小數近似替代。
  • S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=10，不以小數近似替代。
  • S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=10，不以小數近似替代。
  • S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=9，不以小數近似替代。
  • S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=9，不以小數近似替代。
  • S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=8，不以小數近似替代。
  • S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=8，不以小數近似替代。
  • S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=7，不以小數近似替代。
  • S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=7，不以小數近似替代。
  • S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=6，不以小數近似替代。
  • S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=6，不以小數近似替代。
  • S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=5，不以小數近似替代。
  • S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=5，不以小數近似替代。
  • S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=4，不以小數近似替代。
  • S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=4，不以小數近似替代。
  • S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=3，不以小數近似替代。
  • S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=3，不以小數近似替代。
  • S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=2，不以小數近似替代。
  • S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=2，不以小數近似替代。
  • S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central exact binomial division by i=1，不以小數近似替代。
  • S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan central binomial product at i=1，不以小數近似替代。
  • S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_19，不以小數近似替代。
  • S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_18，不以小數近似替代。
  • S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_17，不以小數近似替代。
  • S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_16，不以小數近似替代。
  • S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_15，不以小數近似替代。
  • S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_14，不以小數近似替代。
  • S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_13，不以小數近似替代。
  • S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_12，不以小數近似替代。
  • S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_11，不以小數近似替代。
  • S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_10，不以小數近似替代。
  • S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_9，不以小數近似替代。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_8，不以小數近似替代。
  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_7，不以小數近似替代。
  • S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_6，不以小數近似替代。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_5，不以小數近似替代。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_4，不以小數近似替代。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_3，不以小數近似替代。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_2，不以小數近似替代。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Catalan complete convolution for C_1，不以小數近似替代。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(19, [1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190], 1767263190, C_next_sum_i_zero_to_n_minus_one)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
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  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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