R0045-23368 · q-20261014-advance-20261111-r06-quadratic-residue-0068
odd prime p上的nonzero quadratic-residue convention與complete nonzero square table。操作=quadratic-paired-roots；資料={"p":67,"a":56}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。
G001 — odd prime p上的nonzero quadratic-residue convention與complete nonzero square table。操作=quadratic-paired-roots；資料={"p":67,"a":56}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source operation=quadratic-paired-roots;original snapshot and mathematics retained
操作後
explicit ordered source output fields=[p, normalized_class, roots, opposite_first_root, opposite_present, distinct_roots, certificate]
條件：無
原題快照保留歷史介面；此處直接列來源欄序，不依賴JavaScript。tag與No保聲稱範圍，固定來源排序不冒充數學證明。
規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001
操作前
Quadratic ORIGINAL modulus:ORIGINAL integer=67;complete possible trial divisors=[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
操作後
ALL [divisor,remainder] rows=[[2, 1], [3, 1], [4, 3], [5, 2], [6, 1], [7, 4], [8, 3]];prime=是;a composite>1 has a factor at most its square root
條件：無
逐完整平方根範圍核整除；prime2的範圍為空而通過，0/1不通過。不能由少數取樣、平方表或Euler判準代替此資格。
規則：finite_prime_ALL_trial_divisors_through_square_root · 依賴：G001, S001
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root1 square := mul(1, 1)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root1 square = 1
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
ORIGINAL nonzero root x=1 in1..66;actual square=1
操作後
Euclidean square=0*67+1;nonzero square class=1;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S003
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root2 square := mul(2, 2)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root2 square = 4
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
ORIGINAL nonzero root x=2 in1..66;actual square=4
操作後
Euclidean square=0*67+4;nonzero square class=4;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S005
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root3 square := mul(3, 3)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root3 square = 9
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
ORIGINAL nonzero root x=3 in1..66;actual square=9
操作後
Euclidean square=0*67+9;nonzero square class=9;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S007
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root4 square := mul(4, 4)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root4 square = 16
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
ORIGINAL nonzero root x=4 in1..66;actual square=16
操作後
Euclidean square=0*67+16;nonzero square class=16;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S009
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root5 square := mul(5, 5)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root5 square = 25
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
操作前
ORIGINAL nonzero root x=5 in1..66;actual square=25
操作後
Euclidean square=0*67+25;nonzero square class=25;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S011
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root6 square := mul(6, 6)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root6 square = 36
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012
操作前
ORIGINAL nonzero root x=6 in1..66;actual square=36
操作後
Euclidean square=0*67+36;nonzero square class=36;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S013
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root7 square := mul(7, 7)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root7 square = 49
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014
操作前
ORIGINAL nonzero root x=7 in1..66;actual square=49
操作後
Euclidean square=0*67+49;nonzero square class=49;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S015
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root8 square := mul(8, 8)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root8 square = 64
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016
操作前
ORIGINAL nonzero root x=8 in1..66;actual square=64
操作後
Euclidean square=0*67+64;nonzero square class=64;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S017
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root9 square := mul(9, 9)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root9 square = 81
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018
操作前
ORIGINAL nonzero root x=9 in1..66;actual square=81
操作後
Euclidean square=1*67+14;nonzero square class=14;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S019
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root10 square := mul(10, 10)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root10 square = 100
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020
操作前
ORIGINAL nonzero root x=10 in1..66;actual square=100
操作後
Euclidean square=1*67+33;nonzero square class=33;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S021
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root11 square := mul(11, 11)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root11 square = 121
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022
操作前
ORIGINAL nonzero root x=11 in1..66;actual square=121
操作後
Euclidean square=1*67+54;nonzero square class=54;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S023
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root12 square := mul(12, 12)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root12 square = 144
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024
操作前
ORIGINAL nonzero root x=12 in1..66;actual square=144
操作後
Euclidean square=2*67+10;nonzero square class=10;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S025
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root13 square := mul(13, 13)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root13 square = 169
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026
操作前
ORIGINAL nonzero root x=13 in1..66;actual square=169
操作後
Euclidean square=2*67+35;nonzero square class=35;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S027
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root14 square := mul(14, 14)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root14 square = 196
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028
操作前
ORIGINAL nonzero root x=14 in1..66;actual square=196
操作後
Euclidean square=2*67+62;nonzero square class=62;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S029
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root15 square := mul(15, 15)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root15 square = 225
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030
操作前
ORIGINAL nonzero root x=15 in1..66;actual square=225
操作後
Euclidean square=3*67+24;nonzero square class=24;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S031
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root16 square := mul(16, 16)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root16 square = 256
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032
操作前
ORIGINAL nonzero root x=16 in1..66;actual square=256
操作後
Euclidean square=3*67+55;nonzero square class=55;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S033
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root17 square := mul(17, 17)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root17 square = 289
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034
操作前
ORIGINAL nonzero root x=17 in1..66;actual square=289
操作後
Euclidean square=4*67+21;nonzero square class=21;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S035
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root18 square := mul(18, 18)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root18 square = 324
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036
操作前
ORIGINAL nonzero root x=18 in1..66;actual square=324
操作後
Euclidean square=4*67+56;nonzero square class=56;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S037
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root19 square := mul(19, 19)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root19 square = 361
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038
操作前
ORIGINAL nonzero root x=19 in1..66;actual square=361
操作後
Euclidean square=5*67+26;nonzero square class=26;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S039
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root20 square := mul(20, 20)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root20 square = 400
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040
操作前
ORIGINAL nonzero root x=20 in1..66;actual square=400
操作後
Euclidean square=5*67+65;nonzero square class=65;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S041
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root21 square := mul(21, 21)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root21 square = 441
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042
操作前
ORIGINAL nonzero root x=21 in1..66;actual square=441
操作後
Euclidean square=6*67+39;nonzero square class=39;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S043
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root22 square := mul(22, 22)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root22 square = 484
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044
操作前
ORIGINAL nonzero root x=22 in1..66;actual square=484
操作後
Euclidean square=7*67+15;nonzero square class=15;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S045
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root23 square := mul(23, 23)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root23 square = 529
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046
操作前
ORIGINAL nonzero root x=23 in1..66;actual square=529
操作後
Euclidean square=7*67+60;nonzero square class=60;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S047
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root24 square := mul(24, 24)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root24 square = 576
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048
操作前
ORIGINAL nonzero root x=24 in1..66;actual square=576
操作後
Euclidean square=8*67+40;nonzero square class=40;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S049
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root25 square := mul(25, 25)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root25 square = 625
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050
操作前
ORIGINAL nonzero root x=25 in1..66;actual square=625
操作後
Euclidean square=9*67+22;nonzero square class=22;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S051
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root26 square := mul(26, 26)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root26 square = 676
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052
操作前
ORIGINAL nonzero root x=26 in1..66;actual square=676
操作後
Euclidean square=10*67+6;nonzero square class=6;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S053
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root27 square := mul(27, 27)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root27 square = 729
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054
操作前
ORIGINAL nonzero root x=27 in1..66;actual square=729
操作後
Euclidean square=10*67+59;nonzero square class=59;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S055
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root28 square := mul(28, 28)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root28 square = 784
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056
操作前
ORIGINAL nonzero root x=28 in1..66;actual square=784
操作後
Euclidean square=11*67+47;nonzero square class=47;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S057
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root29 square := mul(29, 29)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root29 square = 841
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058
操作前
ORIGINAL nonzero root x=29 in1..66;actual square=841
操作後
Euclidean square=12*67+37;nonzero square class=37;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S059
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root30 square := mul(30, 30)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root30 square = 900
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060
操作前
ORIGINAL nonzero root x=30 in1..66;actual square=900
操作後
Euclidean square=13*67+29;nonzero square class=29;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S061
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root31 square := mul(31, 31)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root31 square = 961
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062
操作前
ORIGINAL nonzero root x=31 in1..66;actual square=961
操作後
Euclidean square=14*67+23;nonzero square class=23;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S063
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root32 square := mul(32, 32)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root32 square = 1024
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S064
操作前
ORIGINAL nonzero root x=32 in1..66;actual square=1024
操作後
Euclidean square=15*67+19;nonzero square class=19;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S065
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root33 square := mul(33, 33)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root33 square = 1089
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066
操作前
ORIGINAL nonzero root x=33 in1..66;actual square=1089
操作後
Euclidean square=16*67+17;nonzero square class=17;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S067
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root34 square := mul(34, 34)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root34 square = 1156
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S068
操作前
ORIGINAL nonzero root x=34 in1..66;actual square=1156
操作後
Euclidean square=17*67+17;nonzero square class=17;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S069
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root35 square := mul(35, 35)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root35 square = 1225
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070
操作前
ORIGINAL nonzero root x=35 in1..66;actual square=1225
操作後
Euclidean square=18*67+19;nonzero square class=19;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S071
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root36 square := mul(36, 36)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root36 square = 1296
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S072
操作前
ORIGINAL nonzero root x=36 in1..66;actual square=1296
操作後
Euclidean square=19*67+23;nonzero square class=23;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S073
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root37 square := mul(37, 37)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root37 square = 1369
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S074
操作前
ORIGINAL nonzero root x=37 in1..66;actual square=1369
操作後
Euclidean square=20*67+29;nonzero square class=29;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S075
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root38 square := mul(38, 38)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root38 square = 1444
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S076
操作前
ORIGINAL nonzero root x=38 in1..66;actual square=1444
操作後
Euclidean square=21*67+37;nonzero square class=37;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S077
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root39 square := mul(39, 39)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root39 square = 1521
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S078
操作前
ORIGINAL nonzero root x=39 in1..66;actual square=1521
操作後
Euclidean square=22*67+47;nonzero square class=47;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S079
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root40 square := mul(40, 40)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root40 square = 1600
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S080
操作前
ORIGINAL nonzero root x=40 in1..66;actual square=1600
操作後
Euclidean square=23*67+59;nonzero square class=59;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S081
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root41 square := mul(41, 41)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root41 square = 1681
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S082
操作前
ORIGINAL nonzero root x=41 in1..66;actual square=1681
操作後
Euclidean square=25*67+6;nonzero square class=6;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S083
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root42 square := mul(42, 42)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root42 square = 1764
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S084
操作前
ORIGINAL nonzero root x=42 in1..66;actual square=1764
操作後
Euclidean square=26*67+22;nonzero square class=22;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S085
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root43 square := mul(43, 43)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root43 square = 1849
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S086
操作前
ORIGINAL nonzero root x=43 in1..66;actual square=1849
操作後
Euclidean square=27*67+40;nonzero square class=40;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S087
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root44 square := mul(44, 44)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root44 square = 1936
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S088
操作前
ORIGINAL nonzero root x=44 in1..66;actual square=1936
操作後
Euclidean square=28*67+60;nonzero square class=60;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S089
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root45 square := mul(45, 45)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root45 square = 2025
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S090
操作前
ORIGINAL nonzero root x=45 in1..66;actual square=2025
操作後
Euclidean square=30*67+15;nonzero square class=15;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S091
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root46 square := mul(46, 46)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root46 square = 2116
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S092
操作前
ORIGINAL nonzero root x=46 in1..66;actual square=2116
操作後
Euclidean square=31*67+39;nonzero square class=39;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S093
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root47 square := mul(47, 47)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root47 square = 2209
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S094
操作前
ORIGINAL nonzero root x=47 in1..66;actual square=2209
操作後
Euclidean square=32*67+65;nonzero square class=65;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S095
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root48 square := mul(48, 48)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root48 square = 2304
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S096
操作前
ORIGINAL nonzero root x=48 in1..66;actual square=2304
操作後
Euclidean square=34*67+26;nonzero square class=26;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S097
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root49 square := mul(49, 49)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root49 square = 2401
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S098
操作前
ORIGINAL nonzero root x=49 in1..66;actual square=2401
操作後
Euclidean square=35*67+56;nonzero square class=56;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S099
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root50 square := mul(50, 50)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root50 square = 2500
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S100
操作前
ORIGINAL nonzero root x=50 in1..66;actual square=2500
操作後
Euclidean square=37*67+21;nonzero square class=21;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S101
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root51 square := mul(51, 51)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root51 square = 2601
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S102
操作前
ORIGINAL nonzero root x=51 in1..66;actual square=2601
操作後
Euclidean square=38*67+55;nonzero square class=55;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S103
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root52 square := mul(52, 52)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root52 square = 2704
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S104
操作前
ORIGINAL nonzero root x=52 in1..66;actual square=2704
操作後
Euclidean square=40*67+24;nonzero square class=24;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S105
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root53 square := mul(53, 53)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root53 square = 2809
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S106
操作前
ORIGINAL nonzero root x=53 in1..66;actual square=2809
操作後
Euclidean square=41*67+62;nonzero square class=62;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S107
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root54 square := mul(54, 54)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root54 square = 2916
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S108
操作前
ORIGINAL nonzero root x=54 in1..66;actual square=2916
操作後
Euclidean square=43*67+35;nonzero square class=35;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S109
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root55 square := mul(55, 55)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root55 square = 3025
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S110
操作前
ORIGINAL nonzero root x=55 in1..66;actual square=3025
操作後
Euclidean square=45*67+10;nonzero square class=10;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S111
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root56 square := mul(56, 56)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root56 square = 3136
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S112
操作前
ORIGINAL nonzero root x=56 in1..66;actual square=3136
操作後
Euclidean square=46*67+54;nonzero square class=54;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S113
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root57 square := mul(57, 57)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root57 square = 3249
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S114
操作前
ORIGINAL nonzero root x=57 in1..66;actual square=3249
操作後
Euclidean square=48*67+33;nonzero square class=33;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S115
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root58 square := mul(58, 58)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root58 square = 3364
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S116
操作前
ORIGINAL nonzero root x=58 in1..66;actual square=3364
操作後
Euclidean square=50*67+14;nonzero square class=14;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S117
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root59 square := mul(59, 59)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root59 square = 3481
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S118
操作前
ORIGINAL nonzero root x=59 in1..66;actual square=3481
操作後
Euclidean square=51*67+64;nonzero square class=64;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S119
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root60 square := mul(60, 60)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root60 square = 3600
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S120
操作前
ORIGINAL nonzero root x=60 in1..66;actual square=3600
操作後
Euclidean square=53*67+49;nonzero square class=49;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S121
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root61 square := mul(61, 61)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root61 square = 3721
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S122
操作前
ORIGINAL nonzero root x=61 in1..66;actual square=3721
操作後
Euclidean square=55*67+36;nonzero square class=36;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S123
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root62 square := mul(62, 62)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root62 square = 3844
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S124
操作前
ORIGINAL nonzero root x=62 in1..66;actual square=3844
操作後
Euclidean square=57*67+25;nonzero square class=25;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S125
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root63 square := mul(63, 63)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root63 square = 3969
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S126
操作前
ORIGINAL nonzero root x=63 in1..66;actual square=3969
操作後
Euclidean square=59*67+16;nonzero square class=16;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S127
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root64 square := mul(64, 64)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root64 square = 4096
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S128
操作前
ORIGINAL nonzero root x=64 in1..66;actual square=4096
操作後
Euclidean square=61*67+9;nonzero square class=9;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S129
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root65 square := mul(65, 65)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root65 square = 4225
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S130
操作前
ORIGINAL nonzero root x=65 in1..66;actual square=4225
操作後
Euclidean square=63*67+4;nonzero square class=4;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S131
操作前
Quadratic ORIGINAL nonzero root66 square := mul(66, 66)
操作後
Quadratic ORIGINAL nonzero root66 square = 4356
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S132
操作前
ORIGINAL nonzero root x=66 in1..66;actual square=4356
操作後
Euclidean square=65*67+1;nonzero square class=1;complete root-index order retained
條件：無
逐每個非零root，列真平方與mod分解；prime下非零x不會平方成0。不是只抽幾個residues或預用Euler／Legendre。
規則：quadratic_ALL_nonzero_square_rows_not_sample · 依賴：G001, S133
操作前
Quadratic distinct nonzero residue count := sum(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
操作後
Quadratic distinct nonzero residue count = 33
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S134
操作前
Quadratic ORIGINAL modulus minus1 := sub(67, 1)
操作後
Quadratic ORIGINAL modulus minus1 = 66
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S135
操作前
Quadratic half of all nonzero roots := div(66, 2)
操作後
Quadratic half of all nonzero roots = 33
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S136
操作前
ORIGINAL ODD PRIME p=67;complete nonzero square table=[[1, 1], [2, 4], [3, 9], [4, 16], [5, 25], [6, 36], [7, 49], [8, 64], [9, 14], [10, 33], [11, 54], [12, 10], [13, 35], [14, 62], [15, 24], [16, 55], [17, 21], [18, 56], [19, 26], [20, 65], [21, 39], [22, 15], [23, 60], [24, 40], [25, 22], [26, 6], [27, 59], [28, 47], [29, 37], [30, 29], [31, 23], [32, 19], [33, 17], [34, 17], [35, 19], [36, 23], [37, 29], [38, 37], [39, 47], [40, 59], [41, 6], [42, 22], [43, 40], [44, 60], [45, 15], [46, 39], [47, 65], [48, 26], [49, 56], [50, 21], [51, 55], [52, 24], [53, 62], [54, 35], [55, 10], [56, 54], [57, 33], [58, 14], [59, 64], [60, 49], [61, 36], [62, 25], [63, 16], [64, 9], [65, 4], [66, 1]];distinct classes=[1, 4, 6, 9, 10, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 29, 33, 35, 36, 37, 39, 40, 47, 49, 54, 55, 56, 59, 60, 62, 64, 65]
操作後
x^2=y^2 implies p divides(x-y)(x+y),so x=y or x=-y modp;odd p and nonzero x make opposite roots DISTINCT;each image has2 roots,so residue count=33=(67-1)/2=33
條件：無
prime給無零因子的乘積消去，odd保2x不等0；±配對互不重疊覆蓋全部p−1非零root。這證計數與兩根性，不外推到zero、p2或composite。
規則：quadratic_prime_field_opposite_root_pairs_exactly_two · 依賴：G001, S137
操作前
Quadratic ORIGINAL candidate class Euclidean quotient times modulus := mul(0, 67)
操作後
Quadratic ORIGINAL candidate class Euclidean quotient times modulus = 0
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S138
操作前
Quadratic ORIGINAL candidate class ORIGINAL signed value minus multiple := sub(56, 0)
操作後
Quadratic ORIGINAL candidate class ORIGINAL signed value minus multiple = 56
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S139
操作前
Quadratic ORIGINAL candidate class:ORIGINAL signed value=56;positive modulus=67;actual quotient=0
操作後
canonical residue=56;value=quotient*modulus+residue and0<=residue<modulus
條件：無
用Euclidean形式保留負輸入的原值與同餘類，不把語言的負餘數直接當canonical class。
規則：signed_mod_ORIGINAL_class_normalized_not_changed · 依賴：G001, S140
操作前
Quadratic negative of FIRST source root Euclidean quotient times modulus := mul(-1, 67)
操作後
Quadratic negative of FIRST source root Euclidean quotient times modulus = -67
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S141
操作前
Quadratic negative of FIRST source root ORIGINAL signed value minus multiple := sub(-18, -67)
操作後
Quadratic negative of FIRST source root ORIGINAL signed value minus multiple = 49
條件：無
依本題原始角色、次序與已核中間量精確代值，不用浮點近似或另一題的資料。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S142
操作前
Quadratic negative of FIRST source root:ORIGINAL signed value=-18;positive modulus=67;actual quotient=-1
操作後
canonical residue=49;value=quotient*modulus+residue and0<=residue<modulus
條件：無
用Euclidean形式保留負輸入的原值與同餘類，不把語言的負餘數直接當canonical class。
規則：signed_mod_ORIGINAL_class_normalized_not_changed · 依賴：G001, S143
S144 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S143 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic negative of FIRST source root ORIGINAL signed value minus multiple，不以小數近似替代。S142 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic negative of FIRST source root Euclidean quotient times modulus，不以小數近似替代。S141 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S140 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL candidate class ORIGINAL signed value minus multiple，不以小數近似替代。S139 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL candidate class Euclidean quotient times modulus，不以小數近似替代。S138 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S137 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic half of all nonzero roots，不以小數近似替代。S136 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL modulus minus1，不以小數近似替代。S135 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic distinct nonzero residue count，不以小數近似替代。S134 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S133 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root66 square，不以小數近似替代。S132 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S131 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root65 square，不以小數近似替代。S130 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S129 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root64 square，不以小數近似替代。S128 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S127 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root63 square，不以小數近似替代。S126 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S125 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root62 square，不以小數近似替代。S124 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S123 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root61 square，不以小數近似替代。S122 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S121 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root60 square，不以小數近似替代。S120 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S119 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root59 square，不以小數近似替代。S118 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S117 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root58 square，不以小數近似替代。S116 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S115 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root57 square，不以小數近似替代。S114 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S113 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root56 square，不以小數近似替代。S112 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S111 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root55 square，不以小數近似替代。S110 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S109 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root54 square，不以小數近似替代。S108 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S107 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root53 square，不以小數近似替代。S106 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S105 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root52 square，不以小數近似替代。S104 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S103 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root51 square，不以小數近似替代。S102 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S101 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root50 square，不以小數近似替代。S100 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S099 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root49 square，不以小數近似替代。S098 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S097 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root48 square，不以小數近似替代。S096 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S095 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root47 square，不以小數近似替代。S094 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S093 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root46 square，不以小數近似替代。S092 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S091 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root45 square，不以小數近似替代。S090 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root44 square，不以小數近似替代。S088 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root43 square，不以小數近似替代。S086 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root42 square，不以小數近似替代。S084 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root41 square，不以小數近似替代。S082 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root40 square，不以小數近似替代。S080 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root39 square，不以小數近似替代。S078 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root38 square，不以小數近似替代。S076 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root37 square，不以小數近似替代。S074 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root36 square，不以小數近似替代。S072 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root35 square，不以小數近似替代。S070 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root34 square，不以小數近似替代。S068 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root33 square，不以小數近似替代。S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root32 square，不以小數近似替代。S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root31 square，不以小數近似替代。S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root30 square，不以小數近似替代。S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root29 square，不以小數近似替代。S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root28 square，不以小數近似替代。S056 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root27 square，不以小數近似替代。S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root26 square，不以小數近似替代。S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root25 square，不以小數近似替代。S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root24 square，不以小數近似替代。S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root23 square，不以小數近似替代。S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root22 square，不以小數近似替代。S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root21 square，不以小數近似替代。S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root20 square，不以小數近似替代。S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root19 square，不以小數近似替代。S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root18 square，不以小數近似替代。S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root17 square，不以小數近似替代。S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root16 square，不以小數近似替代。S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root15 square，不以小數近似替代。S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root14 square，不以小數近似替代。S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root13 square，不以小數近似替代。S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root12 square，不以小數近似替代。S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root11 square，不以小數近似替代。S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root10 square，不以小數近似替代。S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root9 square，不以小數近似替代。S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root8 square，不以小數近似替代。S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root7 square，不以小數近似替代。S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root6 square，不以小數近似替代。S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root5 square，不以小數近似替代。S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root4 square，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root3 square，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root2 square，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Quadratic ORIGINAL nonzero root1 square，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。(67, 56, [18, 49], 49, 是, 是, odd_prime_nonzero_residue_has_two_distinct_opposite_roots)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 0325918ae77d2392f52c1f91fe28a6b3c483ac3541c057be658e4b6d21314edacandidate record SHA-256: 4b48296ae6799c77da46a1c1b45bd38fed49601c1315c94275433d5818bc9ddfsemantic review receipt SHA-256: 357d7ad7a6726b2a757558d3b9586a408ade06526cc023da093719c292704438question-first witness SHA-256: 99cefe17e98c7a74321801cf72df6d02fc95b6a6b78aa335accb7e11ed467b2aLean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED