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第 23456 題：有限群的Cauchy定理

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

返回所在分頁 118

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R0045-23456 · q-20261014-advance-20261112-r01-cauchy-theorem-finite-groups-0056

原題與已知條件

完整有限群、prime divisor與exact element-order證書。操作=cauchy-order-p-witness；資料={"group_table":[[5,0,1,2,3,4],[0,1,2,3,4,5],[1,2,3,4,5,0],[2,3,4,5,0,1],[3,4,5,0,1,2],[4,5,0,1,2,3]],"identity":1,"prime":2,"element":4}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

  • G001 — 完整有限群、prime divisor與exact element-order證書。操作=cauchy-order-p-witness；資料={"group_table":[[5,0,1,2,3,4],[0,1,2,3,4,5],[1,2,3,4,5,0],[2,3,4,5,0,1],[3,4,5,0,1,2],[4,5,0,1,2,3]],"identity":1,"prime":2,"element":4}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

source operation=cauchy-order-p-witness;original snapshot and mathematics retained

操作後

explicit ordered source output fields=[group_order, prime, element, positive_power_rows, p_power_is_identity, no_smaller_positive_identity_power, certificate]

條件：無

原題快照保留歷史介面；此處直接列來源欄序，不依賴JavaScript。tag與No保聲稱範圍，固定來源排序不冒充數學證明。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

ORIGINAL closed Cayley table=[[5, 0, 1, 2, 3, 4], [0, 1, 2, 3, 4, 5], [1, 2, 3, 4, 5, 0], [2, 3, 4, 5, 0, 1], [3, 4, 5, 0, 1, 2], [4, 5, 0, 1, 2, 3]];ACTUAL declared group identity=1

操作後

ALL [g,e*g,g*e,both_equal_g] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是]];two-sided group identity=是

條件：無

群表的e*g與g*e兩側都須等g；這裡不把作用點的e*x=x當群identity證書。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_group_identity_both_sides_not_action_identity · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 0];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 4, 4, 是], [1, 5, 5, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是], [4, 2, 2, 是], [5, 3, 3, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 1];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 5, 5, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 2, 2, 是], [4, 3, 3, 是], [5, 4, 4, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 2];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 3];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 4, 4, 是], [4, 5, 5, 是], [5, 0, 0, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 4];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 4, 4, 是], [3, 5, 5, 是], [4, 0, 0, 是], [5, 1, 1, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 5];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 4, 4, 是], [2, 5, 5, 是], [3, 0, 0, 是], [4, 1, 1, 是], [5, 2, 2, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 0];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 5, 5, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 2, 2, 是], [4, 3, 3, 是], [5, 4, 4, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 1];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 2];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 4, 4, 是], [4, 5, 5, 是], [5, 0, 0, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 3];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 4, 4, 是], [3, 5, 5, 是], [4, 0, 0, 是], [5, 1, 1, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 4];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 4, 4, 是], [2, 5, 5, 是], [3, 0, 0, 是], [4, 1, 1, 是], [5, 2, 2, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 5];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 4, 4, 是], [1, 5, 5, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是], [4, 2, 2, 是], [5, 3, 3, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[2, 0];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[2, 1];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 4, 4, 是], [4, 5, 5, 是], [5, 0, 0, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[2, 2];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 4, 4, 是], [3, 5, 5, 是], [4, 0, 0, 是], [5, 1, 1, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[2, 3];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 4, 4, 是], [2, 5, 5, 是], [3, 0, 0, 是], [4, 1, 1, 是], [5, 2, 2, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[2, 4];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 4, 4, 是], [1, 5, 5, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是], [4, 2, 2, 是], [5, 3, 3, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[2, 5];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 5, 5, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 2, 2, 是], [4, 3, 3, 是], [5, 4, 4, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[3, 0];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 4, 4, 是], [4, 5, 5, 是], [5, 0, 0, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[3, 1];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 4, 4, 是], [3, 5, 5, 是], [4, 0, 0, 是], [5, 1, 1, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[3, 2];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 4, 4, 是], [2, 5, 5, 是], [3, 0, 0, 是], [4, 1, 1, 是], [5, 2, 2, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[3, 3];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 4, 4, 是], [1, 5, 5, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是], [4, 2, 2, 是], [5, 3, 3, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S023

S025 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[3, 4];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 5, 5, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 2, 2, 是], [4, 3, 3, 是], [5, 4, 4, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[3, 5];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[4, 0];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 4, 4, 是], [3, 5, 5, 是], [4, 0, 0, 是], [5, 1, 1, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[4, 1];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 4, 4, 是], [2, 5, 5, 是], [3, 0, 0, 是], [4, 1, 1, 是], [5, 2, 2, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S027

S029 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[4, 2];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 4, 4, 是], [1, 5, 5, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是], [4, 2, 2, 是], [5, 3, 3, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[4, 3];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 5, 5, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 2, 2, 是], [4, 3, 3, 是], [5, 4, 4, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S029

S031 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[4, 4];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S030

S032 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[4, 5];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 4, 4, 是], [4, 5, 5, 是], [5, 0, 0, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S031

S033 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[5, 0];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 4, 4, 是], [2, 5, 5, 是], [3, 0, 0, 是], [4, 1, 1, 是], [5, 2, 2, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S032

S034 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[5, 1];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 4, 4, 是], [1, 5, 5, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是], [4, 2, 2, 是], [5, 3, 3, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S033

S035 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[5, 2];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 5, 5, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 2, 2, 是], [4, 3, 3, 是], [5, 4, 4, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S034

S036 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[5, 3];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S035

S037 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[5, 4];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 4, 4, 是], [4, 5, 5, 是], [5, 0, 0, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S036

S038 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[5, 5];check ALL k in Fin(6)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 4, 4, 是], [3, 5, 5, 是], [4, 0, 0, 是], [5, 1, 1, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S037

S039 · implies

操作前

ORIGINAL group element g=0;DECLARED identity=1;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 5, 5, 否], [1, 0, 0, 否], [2, 1, 1, 是], [3, 2, 2, 否], [4, 3, 3, 否], [5, 4, 4, 否]]

操作後

first actual two-sided inverse witness=2;exists=是

條件：無

每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S038

S040 · implies

操作前

ORIGINAL group element g=1;DECLARED identity=1;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 0, 0, 否], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 否], [3, 3, 3, 否], [4, 4, 4, 否], [5, 5, 5, 否]]

操作後

first actual two-sided inverse witness=1;exists=是

條件：無

每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S039

S041 · implies

操作前

ORIGINAL group element g=2;DECLARED identity=1;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 2, 2, 否], [2, 3, 3, 否], [3, 4, 4, 否], [4, 5, 5, 否], [5, 0, 0, 否]]

操作後

first actual two-sided inverse witness=0;exists=是

條件：無

每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S040

S042 · implies

操作前

ORIGINAL group element g=3;DECLARED identity=1;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 2, 2, 否], [1, 3, 3, 否], [2, 4, 4, 否], [3, 5, 5, 否], [4, 0, 0, 否], [5, 1, 1, 是]]

操作後

first actual two-sided inverse witness=5;exists=是

條件：無

每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S041

S043 · implies

操作前

ORIGINAL group element g=4;DECLARED identity=1;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 3, 3, 否], [1, 4, 4, 否], [2, 5, 5, 否], [3, 0, 0, 否], [4, 1, 1, 是], [5, 2, 2, 否]]

操作後

first actual two-sided inverse witness=4;exists=是

條件：無

每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S042

S044 · implies

操作前

ORIGINAL group element g=5;DECLARED identity=1;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 4, 4, 否], [1, 5, 5, 否], [2, 0, 0, 否], [3, 1, 1, 是], [4, 2, 2, 否], [5, 3, 3, 否]]

操作後

first actual two-sided inverse witness=3;exists=是

條件：無

每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S043

S045 · implies

操作前

structurally closed COMPLETE group candidate;two-sided identity=是;ALL-triple associativity=是;ALL-element inverses=是

操作後

group_valid=是 is the CONJUNCTION;False remains a reported candidate result,not a silent repair

條件：無

完整三項責任合取才是群資格。即使作用表看似排列，壞group table也不會因此變群；不自行換identity或修表。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_group_axiom_conjunction_candidate_may_fail · 依賴：G001, S044

S046 · implies

操作前

CURRENT ORIGINAL complete Cayley table=[[5, 0, 1, 2, 3, 4], [0, 1, 2, 3, 4, 5], [1, 2, 3, 4, 5, 0], [2, 3, 4, 5, 0, 1], [3, 4, 5, 0, 1, 2], [4, 5, 0, 1, 2, 3]];actual identity=1;order=6

操作後

ALL group axioms qualified;actual inverse list=[2, 1, 0, 5, 4, 3];no point carrier or group-action assumption is used

條件：無

群表本身先完整驗閉合、identity、associativity、雙邊inverse；不套舊作用表的8元素限制，也不假設cyclic或commutative。純舊函式只代入本題表與trace。

步驟識別與依賴

規則：group_CURRENT_complete_certified_Cayley_NOT_action_wrapper · 依賴：G001, S045

S047 · implies

操作前

Cauchy ORIGINAL prime divisor:ORIGINAL integer=2;complete possible trial divisors=[]

操作後

ALL [divisor,remainder] rows=[];prime=是;a composite>1 has a factor at most its square root

條件：無

逐完整平方根範圍核整除；prime2的範圍為空而通過，0/1不通過。不能由少數取樣、平方表或Euler判準代替此資格。

步驟識別與依賴

規則：finite_prime_ALL_trial_divisors_through_square_root · 依賴：G001, S046

S048 · implies

操作前

CURRENT qualified group order=6;ORIGINAL prime p=2;divisibility remainder=0

操作後

product-e p-tuples have count |G|^(p-1)=6^1;cyclic rotation preserves product e by conjugation;rotation orbits have size1 or p;fixed tuples are(g,...,g) with g^p=e

條件：無

前p−1個元素可任選，最後一個由inverse唯一決定。rotation後乘積是首元素逆乘原乘積再乘首元素，仍為e，不偷換非交換次序。prime使周期只能1或p；總數被p整除，所以fixed解數也被p整除，含identity便至少p個，故有非identity解；其精確階整除prime而只能p。這是一般論證，不實際枚舉天文數量tuple。

步驟識別與依賴

規則：cauchy_prime_divisibility_and_general_rotation_count_not_enumeration · 依賴：G001, S047

S049 · implies

操作前

Cauchy ORIGINAL supplied witness:ORIGINAL element=4;positive exponent=1;previous power=1;right multiply ORIGINAL g via table

操作後

g^1=4;identity=1;is_identity=否;all earlier POSITIVE powers are nonidentity

條件：無

從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。

步驟識別與依賴

規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S048

S050 · implies

操作前

Cauchy ORIGINAL supplied witness:ORIGINAL element=4;positive exponent=2;previous power=4;right multiply ORIGINAL g via table

操作後

g^2=1;identity=1;is_identity=是;all earlier POSITIVE powers are nonidentity

條件：無

從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。

步驟識別與依賴

規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S049

S051 · implies

操作前

Cauchy ORIGINAL supplied witness:CURRENT certified group order=6,element=4;ALL powers through first return=[[1, 4], [2, 1]]

操作後

exact positive order=2;cyclic powers before repetition form a subgroup of this size;its equal-size left cosets partition G,so this order divides group order

條件：無

有限群中e,g,…,g^|G|必重複，消去較小冪得正回返≤|G|。最小回返之前的冪互異，按exponent mod order乘法／inverse封閉；其left cosets給整除理由，不是從一個冪的等式猜order。

步驟識別與依賴

規則：cauchy_finite_order_exists_and_cyclic_subgroup_divisibility · 依賴：G001, S050

逐步反向核對

  • S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
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  • S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
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  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(6, 2, 4, [[1, 4], [2, 1]], 是, 是, g_to_p_is_identity_and_no_smaller_positive_power_is)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 584545da9609dfa966a1a36129b8f701b27ddca904641947e007172c60988175
  • candidate record SHA-256: 5df6aabd13005c062591b5d293bdaf68475c9dea52e39106e32cfd01efb4d473
  • semantic review receipt SHA-256: 357d7ad7a6726b2a757558d3b9586a408ade06526cc023da093719c292704438
  • question-first witness SHA-256: 99cefe17e98c7a74321801cf72df6d02fc95b6a6b78aa335accb7e11ed467b2a
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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