第 23408 題：有限群的Cauchy定理

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原題與已知條件
定義與適用範圍
逐步推導
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結論
本題覆核與來源綁定

R0045-23408 · q-20261014-advance-20261112-r01-cauchy-theorem-finite-groups-0083

原題與已知條件

完整有限群、prime divisor與exact element-order證書。操作=cauchy-composite-divisor-boundary；資料={"group_table":[[3,2,1,0,7,6,5,4],[2,3,0,1,6,7,4,5],[1,0,3,2,5,4,7,6],[0,1,2,3,4,5,6,7],[7,6,5,4,3,2,1,0],[6,7,4,5,2,3,0,1],[5,4,7,6,1,0,3,2],[4,5,6,7,0,1,2,3]],"identity":3,"divisor":8}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

G001 — 完整有限群、prime divisor與exact element-order證書。操作=cauchy-composite-divisor-boundary；資料={"group_table":[[3,2,1,0,7,6,5,4],[2,3,0,1,6,7,4,5],[1,0,3,2,5,4,7,6],[0,1,2,3,4,5,6,7],[7,6,5,4,3,2,1,0],[6,7,4,5,2,3,0,1],[5,4,7,6,1,0,3,2],[4,5,6,7,0,1,2,3]],"identity":3,"divisor":8}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

mko-cauchy-theorem-finite-groups

逐步推導

S001 · implies

操作前

source operation=cauchy-composite-divisor-boundary;original snapshot and mathematics retained

操作後

explicit ordered source output fields=[group_order, composite_divisor, element_order_rows, divisor_divides_order, exists_element_of_requested_order, boundary]

條件：無

原題快照保留歷史介面；此處直接列來源欄序，不依賴JavaScript。tag與No保聲稱範圍，固定來源排序不冒充數學證明。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

ORIGINAL closed Cayley table=[[3, 2, 1, 0, 7, 6, 5, 4], [2, 3, 0, 1, 6, 7, 4, 5], [1, 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6], [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0], [6, 7, 4, 5, 2, 3, 0, 1], [5, 4, 7, 6, 1, 0, 3, 2], [4, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 3]];ACTUAL declared group identity=3

操作後

ALL [g,e*g,g*e,both_equal_g] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是], [6, 6, 6, 是], [7, 7, 7, 是]];two-sided group identity=是

條件：無

群表的e*g與g*e兩側都須等g；這裡不把作用點的e*x=x當群identity證書。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_group_identity_both_sides_not_action_identity · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 0];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是], [6, 6, 6, 是], [7, 7, 7, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 1];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 2, 2, 是], [4, 5, 5, 是], [5, 4, 4, 是], [6, 7, 7, 是], [7, 6, 6, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 2];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是], [4, 6, 6, 是], [5, 7, 7, 是], [6, 4, 4, 是], [7, 5, 5, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 3];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 0, 0, 是], [4, 7, 7, 是], [5, 6, 6, 是], [6, 5, 5, 是], [7, 4, 4, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 4];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 4, 4, 是], [1, 5, 5, 是], [2, 6, 6, 是], [3, 7, 7, 是], [4, 0, 0, 是], [5, 1, 1, 是], [6, 2, 2, 是], [7, 3, 3, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 5];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 5, 5, 是], [1, 4, 4, 是], [2, 7, 7, 是], [3, 6, 6, 是], [4, 1, 1, 是], [5, 0, 0, 是], [6, 3, 3, 是], [7, 2, 2, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 6];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 6, 6, 是], [1, 7, 7, 是], [2, 4, 4, 是], [3, 5, 5, 是], [4, 2, 2, 是], [5, 3, 3, 是], [6, 0, 0, 是], [7, 1, 1, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[0, 7];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 7, 7, 是], [1, 6, 6, 是], [2, 5, 5, 是], [3, 4, 4, 是], [4, 3, 3, 是], [5, 2, 2, 是], [6, 1, 1, 是], [7, 0, 0, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 0];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 2, 2, 是], [4, 5, 5, 是], [5, 4, 4, 是], [6, 7, 7, 是], [7, 6, 6, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 1];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是], [6, 6, 6, 是], [7, 7, 7, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 2];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 0, 0, 是], [4, 7, 7, 是], [5, 6, 6, 是], [6, 5, 5, 是], [7, 4, 4, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 3];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是], [4, 6, 6, 是], [5, 7, 7, 是], [6, 4, 4, 是], [7, 5, 5, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 4];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 5, 5, 是], [1, 4, 4, 是], [2, 7, 7, 是], [3, 6, 6, 是], [4, 1, 1, 是], [5, 0, 0, 是], [6, 3, 3, 是], [7, 2, 2, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 5];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 4, 4, 是], [1, 5, 5, 是], [2, 6, 6, 是], [3, 7, 7, 是], [4, 0, 0, 是], [5, 1, 1, 是], [6, 2, 2, 是], [7, 3, 3, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 6];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 7, 7, 是], [1, 6, 6, 是], [2, 5, 5, 是], [3, 4, 4, 是], [4, 3, 3, 是], [5, 2, 2, 是], [6, 1, 1, 是], [7, 0, 0, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[1, 7];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 6, 6, 是], [1, 7, 7, 是], [2, 4, 4, 是], [3, 5, 5, 是], [4, 2, 2, 是], [5, 3, 3, 是], [6, 0, 0, 是], [7, 1, 1, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[2, 0];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是], [4, 6, 6, 是], [5, 7, 7, 是], [6, 4, 4, 是], [7, 5, 5, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[2, 1];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 0, 0, 是], [4, 7, 7, 是], [5, 6, 6, 是], [6, 5, 5, 是], [7, 4, 4, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[2, 2];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是], [6, 6, 6, 是], [7, 7, 7, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[2, 3];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 2, 2, 是], [4, 5, 5, 是], [5, 4, 4, 是], [6, 7, 7, 是], [7, 6, 6, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[2, 4];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 6, 6, 是], [1, 7, 7, 是], [2, 4, 4, 是], [3, 5, 5, 是], [4, 2, 2, 是], [5, 3, 3, 是], [6, 0, 0, 是], [7, 1, 1, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[2, 5];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 7, 7, 是], [1, 6, 6, 是], [2, 5, 5, 是], [3, 4, 4, 是], [4, 3, 3, 是], [5, 2, 2, 是], [6, 1, 1, 是], [7, 0, 0, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S023

S025 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[2, 6];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 4, 4, 是], [1, 5, 5, 是], [2, 6, 6, 是], [3, 7, 7, 是], [4, 0, 0, 是], [5, 1, 1, 是], [6, 2, 2, 是], [7, 3, 3, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[2, 7];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 5, 5, 是], [1, 4, 4, 是], [2, 7, 7, 是], [3, 6, 6, 是], [4, 1, 1, 是], [5, 0, 0, 是], [6, 3, 3, 是], [7, 2, 2, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[3, 0];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 0, 0, 是], [4, 7, 7, 是], [5, 6, 6, 是], [6, 5, 5, 是], [7, 4, 4, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[3, 1];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是], [4, 6, 6, 是], [5, 7, 7, 是], [6, 4, 4, 是], [7, 5, 5, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S027

S029 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[3, 2];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 2, 2, 是], [4, 5, 5, 是], [5, 4, 4, 是], [6, 7, 7, 是], [7, 6, 6, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[3, 3];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是], [6, 6, 6, 是], [7, 7, 7, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S029

S031 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[3, 4];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 7, 7, 是], [1, 6, 6, 是], [2, 5, 5, 是], [3, 4, 4, 是], [4, 3, 3, 是], [5, 2, 2, 是], [6, 1, 1, 是], [7, 0, 0, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S030

S032 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[3, 5];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 6, 6, 是], [1, 7, 7, 是], [2, 4, 4, 是], [3, 5, 5, 是], [4, 2, 2, 是], [5, 3, 3, 是], [6, 0, 0, 是], [7, 1, 1, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S031

S033 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[3, 6];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 5, 5, 是], [1, 4, 4, 是], [2, 7, 7, 是], [3, 6, 6, 是], [4, 1, 1, 是], [5, 0, 0, 是], [6, 3, 3, 是], [7, 2, 2, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S032

S034 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[3, 7];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 4, 4, 是], [1, 5, 5, 是], [2, 6, 6, 是], [3, 7, 7, 是], [4, 0, 0, 是], [5, 1, 1, 是], [6, 2, 2, 是], [7, 3, 3, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S033

S035 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[4, 0];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 4, 4, 是], [1, 5, 5, 是], [2, 6, 6, 是], [3, 7, 7, 是], [4, 0, 0, 是], [5, 1, 1, 是], [6, 2, 2, 是], [7, 3, 3, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S034

S036 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[4, 1];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 5, 5, 是], [1, 4, 4, 是], [2, 7, 7, 是], [3, 6, 6, 是], [4, 1, 1, 是], [5, 0, 0, 是], [6, 3, 3, 是], [7, 2, 2, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S035

S037 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[4, 2];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 6, 6, 是], [1, 7, 7, 是], [2, 4, 4, 是], [3, 5, 5, 是], [4, 2, 2, 是], [5, 3, 3, 是], [6, 0, 0, 是], [7, 1, 1, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S036

S038 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[4, 3];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 7, 7, 是], [1, 6, 6, 是], [2, 5, 5, 是], [3, 4, 4, 是], [4, 3, 3, 是], [5, 2, 2, 是], [6, 1, 1, 是], [7, 0, 0, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S037

S039 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[4, 4];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是], [6, 6, 6, 是], [7, 7, 7, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S038

S040 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[4, 5];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 2, 2, 是], [4, 5, 5, 是], [5, 4, 4, 是], [6, 7, 7, 是], [7, 6, 6, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S039

S041 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[4, 6];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是], [4, 6, 6, 是], [5, 7, 7, 是], [6, 4, 4, 是], [7, 5, 5, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S040

S042 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[4, 7];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 0, 0, 是], [4, 7, 7, 是], [5, 6, 6, 是], [6, 5, 5, 是], [7, 4, 4, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S041

S043 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[5, 0];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 5, 5, 是], [1, 4, 4, 是], [2, 7, 7, 是], [3, 6, 6, 是], [4, 1, 1, 是], [5, 0, 0, 是], [6, 3, 3, 是], [7, 2, 2, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S042

S044 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[5, 1];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 4, 4, 是], [1, 5, 5, 是], [2, 6, 6, 是], [3, 7, 7, 是], [4, 0, 0, 是], [5, 1, 1, 是], [6, 2, 2, 是], [7, 3, 3, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S043

S045 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[5, 2];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 7, 7, 是], [1, 6, 6, 是], [2, 5, 5, 是], [3, 4, 4, 是], [4, 3, 3, 是], [5, 2, 2, 是], [6, 1, 1, 是], [7, 0, 0, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S044

S046 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[5, 3];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 6, 6, 是], [1, 7, 7, 是], [2, 4, 4, 是], [3, 5, 5, 是], [4, 2, 2, 是], [5, 3, 3, 是], [6, 0, 0, 是], [7, 1, 1, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S045

S047 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[5, 4];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 2, 2, 是], [4, 5, 5, 是], [5, 4, 4, 是], [6, 7, 7, 是], [7, 6, 6, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S046

S048 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[5, 5];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是], [6, 6, 6, 是], [7, 7, 7, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S047

S049 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[5, 6];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 0, 0, 是], [4, 7, 7, 是], [5, 6, 6, 是], [6, 5, 5, 是], [7, 4, 4, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S048

S050 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[5, 7];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是], [4, 6, 6, 是], [5, 7, 7, 是], [6, 4, 4, 是], [7, 5, 5, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S049

S051 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[6, 0];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 6, 6, 是], [1, 7, 7, 是], [2, 4, 4, 是], [3, 5, 5, 是], [4, 2, 2, 是], [5, 3, 3, 是], [6, 0, 0, 是], [7, 1, 1, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S050

S052 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[6, 1];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 7, 7, 是], [1, 6, 6, 是], [2, 5, 5, 是], [3, 4, 4, 是], [4, 3, 3, 是], [5, 2, 2, 是], [6, 1, 1, 是], [7, 0, 0, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S051

S053 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[6, 2];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 4, 4, 是], [1, 5, 5, 是], [2, 6, 6, 是], [3, 7, 7, 是], [4, 0, 0, 是], [5, 1, 1, 是], [6, 2, 2, 是], [7, 3, 3, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S052

S054 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[6, 3];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 5, 5, 是], [1, 4, 4, 是], [2, 7, 7, 是], [3, 6, 6, 是], [4, 1, 1, 是], [5, 0, 0, 是], [6, 3, 3, 是], [7, 2, 2, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S053

S055 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[6, 4];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是], [4, 6, 6, 是], [5, 7, 7, 是], [6, 4, 4, 是], [7, 5, 5, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S054

S056 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[6, 5];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 0, 0, 是], [4, 7, 7, 是], [5, 6, 6, 是], [6, 5, 5, 是], [7, 4, 4, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S055

S057 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[6, 6];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是], [6, 6, 6, 是], [7, 7, 7, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S056

S058 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[6, 7];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 2, 2, 是], [4, 5, 5, 是], [5, 4, 4, 是], [6, 7, 7, 是], [7, 6, 6, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S057

S059 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[7, 0];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 7, 7, 是], [1, 6, 6, 是], [2, 5, 5, 是], [3, 4, 4, 是], [4, 3, 3, 是], [5, 2, 2, 是], [6, 1, 1, 是], [7, 0, 0, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S058

S060 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[7, 1];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 6, 6, 是], [1, 7, 7, 是], [2, 4, 4, 是], [3, 5, 5, 是], [4, 2, 2, 是], [5, 3, 3, 是], [6, 0, 0, 是], [7, 1, 1, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S059

S061 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[7, 2];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 5, 5, 是], [1, 4, 4, 是], [2, 7, 7, 是], [3, 6, 6, 是], [4, 1, 1, 是], [5, 0, 0, 是], [6, 3, 3, 是], [7, 2, 2, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S060

S062 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[7, 3];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 4, 4, 是], [1, 5, 5, 是], [2, 6, 6, 是], [3, 7, 7, 是], [4, 0, 0, 是], [5, 1, 1, 是], [6, 2, 2, 是], [7, 3, 3, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S061

S063 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[7, 4];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 2, 2, 是], [2, 1, 1, 是], [3, 0, 0, 是], [4, 7, 7, 是], [5, 6, 6, 是], [6, 5, 5, 是], [7, 4, 4, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S062

S064 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[7, 5];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 2, 2, 是], [1, 3, 3, 是], [2, 0, 0, 是], [3, 1, 1, 是], [4, 6, 6, 是], [5, 7, 7, 是], [6, 4, 4, 是], [7, 5, 5, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S063

S065 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[7, 6];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 1, 1, 是], [1, 0, 0, 是], [2, 3, 3, 是], [3, 2, 2, 是], [4, 5, 5, 是], [5, 4, 4, 是], [6, 7, 7, 是], [7, 6, 6, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S064

S066 · implies

操作前

ORIGINAL group pair(g,h)=[7, 7];check ALL k in Fin(8)

操作後

ordered [k,(g*h)*k,g*(h*k),equal] rows=[[0, 0, 0, 是], [1, 1, 1, 是], [2, 2, 2, 是], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 是], [5, 5, 5, 是], [6, 6, 6, 是], [7, 7, 7, 是]]

條件：無

逐完整原表算兩種括號，不假設群循環、交換或可以用整數加法代替乘法。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_complete_group_associativity_not_cyclic_assumption · 依賴：G001, S065

S067 · implies

操作前

ORIGINAL group element g=0;DECLARED identity=3;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 3, 3, 是], [1, 2, 2, 否], [2, 1, 1, 否], [3, 0, 0, 否], [4, 7, 7, 否], [5, 6, 6, 否], [6, 5, 5, 否], [7, 4, 4, 否]]

操作後

first actual two-sided inverse witness=0;exists=是

條件：無

每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S066

S068 · implies

操作前

ORIGINAL group element g=1;DECLARED identity=3;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 2, 2, 否], [1, 3, 3, 是], [2, 0, 0, 否], [3, 1, 1, 否], [4, 6, 6, 否], [5, 7, 7, 否], [6, 4, 4, 否], [7, 5, 5, 否]]

操作後

first actual two-sided inverse witness=1;exists=是

條件：無

每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S067

S069 · implies

操作前

ORIGINAL group element g=2;DECLARED identity=3;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 1, 1, 否], [1, 0, 0, 否], [2, 3, 3, 是], [3, 2, 2, 否], [4, 5, 5, 否], [5, 4, 4, 否], [6, 7, 7, 否], [7, 6, 6, 否]]

操作後

first actual two-sided inverse witness=2;exists=是

條件：無

每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S068

S070 · implies

操作前

ORIGINAL group element g=3;DECLARED identity=3;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 0, 0, 否], [1, 1, 1, 否], [2, 2, 2, 否], [3, 3, 3, 是], [4, 4, 4, 否], [5, 5, 5, 否], [6, 6, 6, 否], [7, 7, 7, 否]]

操作後

first actual two-sided inverse witness=3;exists=是

條件：無

每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S069

S071 · implies

操作前

ORIGINAL group element g=4;DECLARED identity=3;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 7, 7, 否], [1, 6, 6, 否], [2, 5, 5, 否], [3, 4, 4, 否], [4, 3, 3, 是], [5, 2, 2, 否], [6, 1, 1, 否], [7, 0, 0, 否]]

操作後

first actual two-sided inverse witness=4;exists=是

條件：無

每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S070

S072 · implies

操作前

ORIGINAL group element g=5;DECLARED identity=3;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 6, 6, 否], [1, 7, 7, 否], [2, 4, 4, 否], [3, 5, 5, 否], [4, 2, 2, 否], [5, 3, 3, 是], [6, 0, 0, 否], [7, 1, 1, 否]]

操作後

first actual two-sided inverse witness=5;exists=是

條件：無

每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S071

S073 · implies

操作前

ORIGINAL group element g=6;DECLARED identity=3;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 5, 5, 否], [1, 4, 4, 否], [2, 7, 7, 否], [3, 6, 6, 否], [4, 1, 1, 否], [5, 0, 0, 否], [6, 3, 3, 是], [7, 2, 2, 否]]

操作後

first actual two-sided inverse witness=6;exists=是

條件：無

每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S072

S074 · implies

操作前

ORIGINAL group element g=7;DECLARED identity=3;ALL [h,g*h,h*g,two_sided_inverse] rows=[[0, 4, 4, 否], [1, 5, 5, 否], [2, 6, 6, 否], [3, 7, 7, 否], [4, 0, 0, 否], [5, 1, 1, 否], [6, 2, 2, 否], [7, 3, 3, 是]]

操作後

first actual two-sided inverse witness=7;exists=是

條件：無

每個g要存在同一個h同時滿足左右inverse；候選表不合格時可找不到，照實保None而非憑標籤公式猜inverse。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_each_element_actual_two_sided_inverse · 依賴：G001, S073

S075 · implies

操作前

structurally closed COMPLETE group candidate;two-sided identity=是;ALL-triple associativity=是;ALL-element inverses=是

操作後

group_valid=是 is the CONJUNCTION;False remains a reported candidate result,not a silent repair

條件：無

完整三項責任合取才是群資格。即使作用表看似排列，壞group table也不會因此變群；不自行換identity或修表。

步驟識別與依賴

規則：groupaction_group_axiom_conjunction_candidate_may_fail · 依賴：G001, S074

S076 · implies

操作前

CURRENT ORIGINAL complete Cayley table=[[3, 2, 1, 0, 7, 6, 5, 4], [2, 3, 0, 1, 6, 7, 4, 5], [1, 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6], [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0], [6, 7, 4, 5, 2, 3, 0, 1], [5, 4, 7, 6, 1, 0, 3, 2], [4, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 3]];actual identity=3;order=8

操作後

ALL group axioms qualified;actual inverse list=[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7];no point carrier or group-action assumption is used

條件：無

群表本身先完整驗閉合、identity、associativity、雙邊inverse；不套舊作用表的8元素限制，也不假設cyclic或commutative。純舊函式只代入本題表與trace。

步驟識別與依賴

規則：group_CURRENT_complete_certified_Cayley_NOT_action_wrapper · 依賴：G001, S075

S077 · implies

操作前

Cauchy ORIGINAL element0:ORIGINAL element=0;positive exponent=1;previous power=3;right multiply ORIGINAL g via table

操作後

g^1=0;identity=3;is_identity=否;all earlier POSITIVE powers are nonidentity

條件：無

從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。

步驟識別與依賴

規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S076

S078 · implies

操作前

Cauchy ORIGINAL element0:ORIGINAL element=0;positive exponent=2;previous power=0;right multiply ORIGINAL g via table

操作後

g^2=3;identity=3;is_identity=是;all earlier POSITIVE powers are nonidentity

條件：無

從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。

步驟識別與依賴

規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S077

S079 · implies

操作前

Cauchy ORIGINAL element0:CURRENT certified group order=8,element=0;ALL powers through first return=[[1, 0], [2, 3]]

操作後

exact positive order=2;cyclic powers before repetition form a subgroup of this size;its equal-size left cosets partition G,so this order divides group order

條件：無

有限群中e,g,…,g^|G|必重複，消去較小冪得正回返≤|G|。最小回返之前的冪互異，按exponent mod order乘法／inverse封閉；其left cosets給整除理由，不是從一個冪的等式猜order。

步驟識別與依賴

規則：cauchy_finite_order_exists_and_cyclic_subgroup_divisibility · 依賴：G001, S078

S080 · implies

操作前

Cauchy ORIGINAL element1:ORIGINAL element=1;positive exponent=1;previous power=3;right multiply ORIGINAL g via table

操作後

g^1=1;identity=3;is_identity=否;all earlier POSITIVE powers are nonidentity

條件：無

從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。

步驟識別與依賴

規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S079

S081 · implies

操作前

Cauchy ORIGINAL element1:ORIGINAL element=1;positive exponent=2;previous power=1;right multiply ORIGINAL g via table

操作後

g^2=3;identity=3;is_identity=是;all earlier POSITIVE powers are nonidentity

條件：無

從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。

步驟識別與依賴

規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S080

S082 · implies

操作前

Cauchy ORIGINAL element1:CURRENT certified group order=8,element=1;ALL powers through first return=[[1, 1], [2, 3]]

操作後

exact positive order=2;cyclic powers before repetition form a subgroup of this size;its equal-size left cosets partition G,so this order divides group order

條件：無

步驟識別與依賴

規則：cauchy_finite_order_exists_and_cyclic_subgroup_divisibility · 依賴：G001, S081

S083 · implies

操作前

Cauchy ORIGINAL element2:ORIGINAL element=2;positive exponent=1;previous power=3;right multiply ORIGINAL g via table

操作後

g^1=2;identity=3;is_identity=否;all earlier POSITIVE powers are nonidentity

條件：無

從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。

步驟識別與依賴

規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S082

S084 · implies

操作前

Cauchy ORIGINAL element2:ORIGINAL element=2;positive exponent=2;previous power=2;right multiply ORIGINAL g via table

操作後

g^2=3;identity=3;is_identity=是;all earlier POSITIVE powers are nonidentity

條件：無

從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。

步驟識別與依賴

規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S083

S085 · implies

操作前

Cauchy ORIGINAL element2:CURRENT certified group order=8,element=2;ALL powers through first return=[[1, 2], [2, 3]]

操作後

exact positive order=2;cyclic powers before repetition form a subgroup of this size;its equal-size left cosets partition G,so this order divides group order

條件：無

步驟識別與依賴

規則：cauchy_finite_order_exists_and_cyclic_subgroup_divisibility · 依賴：G001, S084

S086 · implies

操作前

Cauchy ORIGINAL element3:ORIGINAL element=3;positive exponent=1;previous power=3;right multiply ORIGINAL g via table

操作後

g^1=3;identity=3;is_identity=是;all earlier POSITIVE powers are nonidentity

條件：無

從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。

步驟識別與依賴

規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S085

S087 · implies

操作前

Cauchy ORIGINAL element3:CURRENT certified group order=8,element=3;ALL powers through first return=[[1, 3]]

操作後

exact positive order=1;cyclic powers before repetition form a subgroup of this size;its equal-size left cosets partition G,so this order divides group order

條件：無

步驟識別與依賴

規則：cauchy_finite_order_exists_and_cyclic_subgroup_divisibility · 依賴：G001, S086

S088 · implies

操作前

Cauchy ORIGINAL element4:ORIGINAL element=4;positive exponent=1;previous power=3;right multiply ORIGINAL g via table

操作後

g^1=4;identity=3;is_identity=否;all earlier POSITIVE powers are nonidentity

條件：無

從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。

步驟識別與依賴

規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S087

S089 · implies

操作前

Cauchy ORIGINAL element4:ORIGINAL element=4;positive exponent=2;previous power=4;right multiply ORIGINAL g via table

操作後

g^2=3;identity=3;is_identity=是;all earlier POSITIVE powers are nonidentity

條件：無

從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。

步驟識別與依賴

規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S088

S090 · implies

操作前

Cauchy ORIGINAL element4:CURRENT certified group order=8,element=4;ALL powers through first return=[[1, 4], [2, 3]]

操作後

exact positive order=2;cyclic powers before repetition form a subgroup of this size;its equal-size left cosets partition G,so this order divides group order

條件：無

步驟識別與依賴

規則：cauchy_finite_order_exists_and_cyclic_subgroup_divisibility · 依賴：G001, S089

S091 · implies

操作前

Cauchy ORIGINAL element5:ORIGINAL element=5;positive exponent=1;previous power=3;right multiply ORIGINAL g via table

操作後

g^1=5;identity=3;is_identity=否;all earlier POSITIVE powers are nonidentity

條件：無

從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。

步驟識別與依賴

規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S090

S092 · implies

操作前

Cauchy ORIGINAL element5:ORIGINAL element=5;positive exponent=2;previous power=5;right multiply ORIGINAL g via table

操作後

g^2=3;identity=3;is_identity=是;all earlier POSITIVE powers are nonidentity

條件：無

從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。

步驟識別與依賴

規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S091

S093 · implies

操作前

Cauchy ORIGINAL element5:CURRENT certified group order=8,element=5;ALL powers through first return=[[1, 5], [2, 3]]

操作後

exact positive order=2;cyclic powers before repetition form a subgroup of this size;its equal-size left cosets partition G,so this order divides group order

條件：無

步驟識別與依賴

規則：cauchy_finite_order_exists_and_cyclic_subgroup_divisibility · 依賴：G001, S092

S094 · implies

操作前

Cauchy ORIGINAL element6:ORIGINAL element=6;positive exponent=1;previous power=3;right multiply ORIGINAL g via table

操作後

g^1=6;identity=3;is_identity=否;all earlier POSITIVE powers are nonidentity

條件：無

從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。

步驟識別與依賴

規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S093

S095 · implies

操作前

Cauchy ORIGINAL element6:ORIGINAL element=6;positive exponent=2;previous power=6;right multiply ORIGINAL g via table

操作後

g^2=3;identity=3;is_identity=是;all earlier POSITIVE powers are nonidentity

條件：無

從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。

步驟識別與依賴

規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S094

S096 · implies

操作前

Cauchy ORIGINAL element6:CURRENT certified group order=8,element=6;ALL powers through first return=[[1, 6], [2, 3]]

操作後

exact positive order=2;cyclic powers before repetition form a subgroup of this size;its equal-size left cosets partition G,so this order divides group order

條件：無

步驟識別與依賴

規則：cauchy_finite_order_exists_and_cyclic_subgroup_divisibility · 依賴：G001, S095

S097 · implies

操作前

Cauchy ORIGINAL element7:ORIGINAL element=7;positive exponent=1;previous power=3;right multiply ORIGINAL g via table

操作後

g^1=7;identity=3;is_identity=否;all earlier POSITIVE powers are nonidentity

條件：無

從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。

步驟識別與依賴

規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S096

S098 · implies

操作前

Cauchy ORIGINAL element7:ORIGINAL element=7;positive exponent=2;previous power=7;right multiply ORIGINAL g via table

操作後

g^2=3;identity=3;is_identity=是;all earlier POSITIVE powers are nonidentity

條件：無

從e開始只把正指數1、2、…列入階的候選；第一次回e才是精確order。exponent0不列入，不能只驗g^p=e便宣稱階為p。

步驟識別與依賴

規則：cauchy_EVERY_positive_power_until_FIRST_identity_return · 依賴：G001, S097

S099 · implies

操作前

Cauchy ORIGINAL element7:CURRENT certified group order=8,element=7;ALL powers through first return=[[1, 7], [2, 3]]

操作後

exact positive order=2;cyclic powers before repetition form a subgroup of this size;its equal-size left cosets partition G,so this order divides group order

條件：無

步驟識別與依賴

規則：cauchy_finite_order_exists_and_cyclic_subgroup_divisibility · 依賴：G001, S098

S100 · implies

操作前

Cauchy ORIGINAL composite divisor:ORIGINAL integer=8;complete possible trial divisors=[2]

操作後

ALL [divisor,remainder] rows=[[2, 0]];prime=否;a composite>1 has a factor at most its square root

條件：無

逐完整平方根範圍核整除；prime2的範圍為空而通過，0/1不通過。不能由少數取樣、平方表或Euler判準代替此資格。

步驟識別與依賴

規則：finite_prime_ALL_trial_divisors_through_square_root · 依賴：G001, S099

S101 · implies

操作前

CURRENT group order=8;ORIGINAL composite divisor=8;COMPLETE element-order rows=[[0, 2], [1, 2], [2, 2], [3, 1], [4, 2], [5, 2], [6, 2], [7, 2]]

操作後

divisor divides order=是;exists element of requested order=否 in THIS complete group;not a claim composite element orders never occur

條件：無

必須真整除且完整表真找不到該階，才是反例；其他群可以有合數階元素，不由此模型否定它們。這也不在討論同階subgroup是否存在。

步驟識別與依賴

規則：cauchy_composite_counterexample_ACTUAL_absence_not_general_negation · 依賴：G001, S100

逐步反向核對

S101 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S100 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S099 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S098 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S097 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S096 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S095 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S094 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S093 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S092 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S091 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S090 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S089 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S088 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S087 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S086 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S085 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S084 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S083 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S082 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S081 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S080 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S079 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S078 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S077 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S076 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S075 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S074 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S073 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S072 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S071 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S070 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S069 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S068 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S067 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S065 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S063 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S061 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S059 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S057 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S056 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S055 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S053 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S051 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S045 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
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S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(8, 8, [[0, 2], [1, 2], [2, 2], [3, 1], [4, 2], [5, 2], [6, 2], [7, 2]], 是, 否, composite_divisor_need_not_be_an_element_order)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證

input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
original question SHA-256: b25b500019846d3ae3959a9d9f935c3b8cfcfb848ad1ff59427db2dca030fb46
candidate record SHA-256: 4c7347446811389737992642aa9a24f99343822c3b61d50bb8373e27bdc79a7f
semantic review receipt SHA-256: 357d7ad7a6726b2a757558d3b9586a408ade06526cc023da093719c292704438
question-first witness SHA-256: 99cefe17e98c7a74321801cf72df6d02fc95b6a6b78aa335accb7e11ed467b2a
Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

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