第 23706 題：Legendre符號

原題與已知條件

odd prime上的zero/residue/nonresidue三值完整分類。操作=legendre-classification-table；資料={"prime":17}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — odd prime上的zero/residue/nonresidue三值完整分類。操作=legendre-classification-table；資料={"prime":17}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-legendre-symbol

逐步推導

source operation=legendre-classification-table;original snapshot and mathematics retained

explicit ordered source output fields=[prime, class_symbol_rows, complete_partition, certificate]

Legendre ORIGINAL odd prime:ORIGINAL modulus=17;ALL possible trial divisors through square root=[2, 3, 4]

ALL [divisor,remainder] rows=[[2, 1], [3, 2], [4, 1]];prime=是

Legendre ORIGINAL nonzero root1 exact square := mul(1, 1)

Legendre ORIGINAL nonzero root1 exact square = 1

ORIGINAL root x=1 in1..16;exact square=1

square=0*17+1;canonical square class=1;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root2 exact square := mul(2, 2)

Legendre ORIGINAL nonzero root2 exact square = 4

ORIGINAL root x=2 in1..16;exact square=4

square=0*17+4;canonical square class=4;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root3 exact square := mul(3, 3)

Legendre ORIGINAL nonzero root3 exact square = 9

ORIGINAL root x=3 in1..16;exact square=9

square=0*17+9;canonical square class=9;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root4 exact square := mul(4, 4)

Legendre ORIGINAL nonzero root4 exact square = 16

ORIGINAL root x=4 in1..16;exact square=16

square=0*17+16;canonical square class=16;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root5 exact square := mul(5, 5)

Legendre ORIGINAL nonzero root5 exact square = 25

ORIGINAL root x=5 in1..16;exact square=25

square=1*17+8;canonical square class=8;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root6 exact square := mul(6, 6)

Legendre ORIGINAL nonzero root6 exact square = 36

ORIGINAL root x=6 in1..16;exact square=36

square=2*17+2;canonical square class=2;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root7 exact square := mul(7, 7)

Legendre ORIGINAL nonzero root7 exact square = 49

ORIGINAL root x=7 in1..16;exact square=49

square=2*17+15;canonical square class=15;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root8 exact square := mul(8, 8)

Legendre ORIGINAL nonzero root8 exact square = 64

ORIGINAL root x=8 in1..16;exact square=64

square=3*17+13;canonical square class=13;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root9 exact square := mul(9, 9)

Legendre ORIGINAL nonzero root9 exact square = 81

ORIGINAL root x=9 in1..16;exact square=81

square=4*17+13;canonical square class=13;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root10 exact square := mul(10, 10)

Legendre ORIGINAL nonzero root10 exact square = 100

ORIGINAL root x=10 in1..16;exact square=100

square=5*17+15;canonical square class=15;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root11 exact square := mul(11, 11)

Legendre ORIGINAL nonzero root11 exact square = 121

ORIGINAL root x=11 in1..16;exact square=121

square=7*17+2;canonical square class=2;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root12 exact square := mul(12, 12)

Legendre ORIGINAL nonzero root12 exact square = 144

ORIGINAL root x=12 in1..16;exact square=144

square=8*17+8;canonical square class=8;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root13 exact square := mul(13, 13)

Legendre ORIGINAL nonzero root13 exact square = 169

ORIGINAL root x=13 in1..16;exact square=169

square=9*17+16;canonical square class=16;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root14 exact square := mul(14, 14)

Legendre ORIGINAL nonzero root14 exact square = 196

ORIGINAL root x=14 in1..16;exact square=196

square=11*17+9;canonical square class=9;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root15 exact square := mul(15, 15)

Legendre ORIGINAL nonzero root15 exact square = 225

ORIGINAL root x=15 in1..16;exact square=225

square=13*17+4;canonical square class=4;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root16 exact square := mul(16, 16)

Legendre ORIGINAL nonzero root16 exact square = 256

ORIGINAL root x=16 in1..16;exact square=256

square=15*17+1;canonical square class=1;ALL root indices retained

ORIGINAL prime=17;COMPLETE nonzero square table=[[1, 1], [2, 4], [3, 9], [4, 16], [5, 8], [6, 2], [7, 15], [8, 13], [9, 13], [10, 15], [11, 2], [12, 8], [13, 16], [14, 9], [15, 4], [16, 1]];nonzero square classes=[1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16]

for EACH normalized class r,first r0 ->symbol0;else square-table member ->symbol1;otherwise ->symbol-1;these cases partition ALL0..p-1

逐步反向核對

• S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root16 exact square，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root15 exact square，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root14 exact square，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root13 exact square，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root12 exact square，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root11 exact square，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root10 exact square，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root9 exact square，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root8 exact square，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root7 exact square，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root6 exact square，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root5 exact square，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root4 exact square，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root3 exact square，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root2 exact square，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root1 exact square，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(17, [[0, 0], [1, 1], [2, 1], [3, -1], [4, 1], [5, -1], [6, -1], [7, -1], [8, 1], [9, 1], [10, -1], [11, -1], [12, -1], [13, 1], [14, -1], [15, 1], [16, 1]], 是, zero_residue_nonresidue_partition_is_complete)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。