R0046-23758 · q-20261014-advance-20261112-r06-legendre-symbol-0033
odd prime上的zero/residue/nonresidue三值完整分類。操作=legendre-residue-nonresidue-witness；資料={"prime":23,"a":8}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。
G001 — odd prime上的zero/residue/nonresidue三值完整分類。操作=legendre-residue-nonresidue-witness；資料={"prime":23,"a":8}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source operation=legendre-residue-nonresidue-witness;original snapshot and mathematics retained
操作後
explicit ordered source output fields=[prime, a, normalized_class, nonzero_roots, Legendre_symbol, certificate]
條件：無
保留原題介面快照，本頁直接列來源欄序，不需JavaScript。radius由原mode選6／11欄，不補欄；No與實際否定依來源責任分清。
規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001
操作前
Legendre ORIGINAL odd prime:ORIGINAL modulus=23;ALL possible trial divisors through square root=[2, 3, 4]
操作後
ALL [divisor,remainder] rows=[[2, 1], [3, 2], [4, 3]];prime=是
條件：無
先完整核prime資格，不用Legendre或Euler分類反過來猜prime；這是modulus前提，不是a的平方性。
規則：legendre_complete_prime_trial_not_Euler_classification · 依賴：G001, S001
操作前
Legendre ORIGINAL nonzero root1 exact square := mul(1, 1)
操作後
Legendre ORIGINAL nonzero root1 exact square = 1
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
ORIGINAL root x=1 in1..22;exact square=1
操作後
square=0*23+1;canonical square class=1;ALL root indices retained
條件：無
每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。
規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S003
操作前
Legendre ORIGINAL nonzero root2 exact square := mul(2, 2)
操作後
Legendre ORIGINAL nonzero root2 exact square = 4
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
ORIGINAL root x=2 in1..22;exact square=4
操作後
square=0*23+4;canonical square class=4;ALL root indices retained
條件：無
每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。
規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S005
操作前
Legendre ORIGINAL nonzero root3 exact square := mul(3, 3)
操作後
Legendre ORIGINAL nonzero root3 exact square = 9
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
ORIGINAL root x=3 in1..22;exact square=9
操作後
square=0*23+9;canonical square class=9;ALL root indices retained
條件：無
每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。
規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S007
操作前
Legendre ORIGINAL nonzero root4 exact square := mul(4, 4)
操作後
Legendre ORIGINAL nonzero root4 exact square = 16
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
ORIGINAL root x=4 in1..22;exact square=16
操作後
square=0*23+16;canonical square class=16;ALL root indices retained
條件：無
每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。
規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S009
操作前
Legendre ORIGINAL nonzero root5 exact square := mul(5, 5)
操作後
Legendre ORIGINAL nonzero root5 exact square = 25
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
操作前
ORIGINAL root x=5 in1..22;exact square=25
操作後
square=1*23+2;canonical square class=2;ALL root indices retained
條件：無
每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。
規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S011
操作前
Legendre ORIGINAL nonzero root6 exact square := mul(6, 6)
操作後
Legendre ORIGINAL nonzero root6 exact square = 36
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012
操作前
ORIGINAL root x=6 in1..22;exact square=36
操作後
square=1*23+13;canonical square class=13;ALL root indices retained
條件：無
每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。
規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S013
操作前
Legendre ORIGINAL nonzero root7 exact square := mul(7, 7)
操作後
Legendre ORIGINAL nonzero root7 exact square = 49
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014
操作前
ORIGINAL root x=7 in1..22;exact square=49
操作後
square=2*23+3;canonical square class=3;ALL root indices retained
條件：無
每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。
規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S015
操作前
Legendre ORIGINAL nonzero root8 exact square := mul(8, 8)
操作後
Legendre ORIGINAL nonzero root8 exact square = 64
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016
操作前
ORIGINAL root x=8 in1..22;exact square=64
操作後
square=2*23+18;canonical square class=18;ALL root indices retained
條件：無
每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。
規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S017
操作前
Legendre ORIGINAL nonzero root9 exact square := mul(9, 9)
操作後
Legendre ORIGINAL nonzero root9 exact square = 81
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018
操作前
ORIGINAL root x=9 in1..22;exact square=81
操作後
square=3*23+12;canonical square class=12;ALL root indices retained
條件：無
每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。
規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S019
操作前
Legendre ORIGINAL nonzero root10 exact square := mul(10, 10)
操作後
Legendre ORIGINAL nonzero root10 exact square = 100
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020
操作前
ORIGINAL root x=10 in1..22;exact square=100
操作後
square=4*23+8;canonical square class=8;ALL root indices retained
條件：無
每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。
規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S021
操作前
Legendre ORIGINAL nonzero root11 exact square := mul(11, 11)
操作後
Legendre ORIGINAL nonzero root11 exact square = 121
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022
操作前
ORIGINAL root x=11 in1..22;exact square=121
操作後
square=5*23+6;canonical square class=6;ALL root indices retained
條件：無
每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。
規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S023
操作前
Legendre ORIGINAL nonzero root12 exact square := mul(12, 12)
操作後
Legendre ORIGINAL nonzero root12 exact square = 144
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024
操作前
ORIGINAL root x=12 in1..22;exact square=144
操作後
square=6*23+6;canonical square class=6;ALL root indices retained
條件：無
每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。
規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S025
操作前
Legendre ORIGINAL nonzero root13 exact square := mul(13, 13)
操作後
Legendre ORIGINAL nonzero root13 exact square = 169
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026
操作前
ORIGINAL root x=13 in1..22;exact square=169
操作後
square=7*23+8;canonical square class=8;ALL root indices retained
條件：無
每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。
規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S027
操作前
Legendre ORIGINAL nonzero root14 exact square := mul(14, 14)
操作後
Legendre ORIGINAL nonzero root14 exact square = 196
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028
操作前
ORIGINAL root x=14 in1..22;exact square=196
操作後
square=8*23+12;canonical square class=12;ALL root indices retained
條件：無
每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。
規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S029
操作前
Legendre ORIGINAL nonzero root15 exact square := mul(15, 15)
操作後
Legendre ORIGINAL nonzero root15 exact square = 225
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030
操作前
ORIGINAL root x=15 in1..22;exact square=225
操作後
square=9*23+18;canonical square class=18;ALL root indices retained
條件：無
每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。
規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S031
操作前
Legendre ORIGINAL nonzero root16 exact square := mul(16, 16)
操作後
Legendre ORIGINAL nonzero root16 exact square = 256
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032
操作前
ORIGINAL root x=16 in1..22;exact square=256
操作後
square=11*23+3;canonical square class=3;ALL root indices retained
條件：無
每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。
規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S033
操作前
Legendre ORIGINAL nonzero root17 exact square := mul(17, 17)
操作後
Legendre ORIGINAL nonzero root17 exact square = 289
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034
操作前
ORIGINAL root x=17 in1..22;exact square=289
操作後
square=12*23+13;canonical square class=13;ALL root indices retained
條件：無
每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。
規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S035
操作前
Legendre ORIGINAL nonzero root18 exact square := mul(18, 18)
操作後
Legendre ORIGINAL nonzero root18 exact square = 324
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036
操作前
ORIGINAL root x=18 in1..22;exact square=324
操作後
square=14*23+2;canonical square class=2;ALL root indices retained
條件：無
每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。
規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S037
操作前
Legendre ORIGINAL nonzero root19 exact square := mul(19, 19)
操作後
Legendre ORIGINAL nonzero root19 exact square = 361
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038
操作前
ORIGINAL root x=19 in1..22;exact square=361
操作後
square=15*23+16;canonical square class=16;ALL root indices retained
條件：無
每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。
規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S039
操作前
Legendre ORIGINAL nonzero root20 exact square := mul(20, 20)
操作後
Legendre ORIGINAL nonzero root20 exact square = 400
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040
操作前
ORIGINAL root x=20 in1..22;exact square=400
操作後
square=17*23+9;canonical square class=9;ALL root indices retained
條件：無
每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。
規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S041
操作前
Legendre ORIGINAL nonzero root21 exact square := mul(21, 21)
操作後
Legendre ORIGINAL nonzero root21 exact square = 441
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042
操作前
ORIGINAL root x=21 in1..22;exact square=441
操作後
square=19*23+4;canonical square class=4;ALL root indices retained
條件：無
每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。
規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S043
操作前
Legendre ORIGINAL nonzero root22 exact square := mul(22, 22)
操作後
Legendre ORIGINAL nonzero root22 exact square = 484
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044
操作前
ORIGINAL root x=22 in1..22;exact square=484
操作後
square=21*23+1;canonical square class=1;ALL root indices retained
條件：無
每個非零root均列入，不能由少量平方樣本宣稱另一類無root；不預用Euler criterion。
規則：legendre_ALL_nonzero_square_rows_before_symbol_definition · 依賴：G001, S045
操作前
ORIGINAL prime=23;COMPLETE nonzero square table=[[1, 1], [2, 4], [3, 9], [4, 16], [5, 2], [6, 13], [7, 3], [8, 18], [9, 12], [10, 8], [11, 6], [12, 6], [13, 8], [14, 12], [15, 18], [16, 3], [17, 13], [18, 2], [19, 16], [20, 9], [21, 4], [22, 1]];nonzero square classes=[1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 18]
操作後
for EACH normalized class r,first r0 ->symbol0;else square-table member ->symbol1;otherwise ->symbol-1;these cases partition ALL0..p-1
條件：無
先分離zero類，不能因0也是平方便給+1；非零類再依完整square table分residue／nonresidue。這是定義與完整見證，不靠後續乘法性或Euler公式。
規則：legendre_ZERO_then_residue_nonresidue_three_way_definition · 依賴：G001, S046
操作前
Legendre ORIGINAL candidate class quotient times modulus := mul(0, 23)
操作後
Legendre ORIGINAL candidate class quotient times modulus = 0
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047
操作前
Legendre ORIGINAL candidate class ORIGINAL signed value minus multiple := sub(8, 0)
操作後
Legendre ORIGINAL candidate class ORIGINAL signed value minus multiple = 8
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048
操作前
Legendre ORIGINAL candidate class:ORIGINAL a=8,positive modulus=23;actual quotient=0
操作後
normalized class=8;a=quotient*modulus+class;ORIGINAL a retained in output where declared
條件：無
負a亦保同一congruence class，以0到p−1表示；不把負餘數直接當標準類。
規則：legendre_ORIGINAL_signed_class_Euclidean_normalization · 依賴：G001, S049
S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL candidate class ORIGINAL signed value minus multiple，不以小數近似替代。S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL candidate class quotient times modulus，不以小數近似替代。S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root22 exact square，不以小數近似替代。S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root21 exact square，不以小數近似替代。S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root20 exact square，不以小數近似替代。S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root19 exact square，不以小數近似替代。S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root18 exact square，不以小數近似替代。S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root17 exact square，不以小數近似替代。S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root16 exact square，不以小數近似替代。S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root15 exact square，不以小數近似替代。S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root14 exact square，不以小數近似替代。S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root13 exact square，不以小數近似替代。S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root12 exact square，不以小數近似替代。S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root11 exact square，不以小數近似替代。S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root10 exact square，不以小數近似替代。S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root9 exact square，不以小數近似替代。S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root8 exact square，不以小數近似替代。S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root7 exact square，不以小數近似替代。S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root6 exact square，不以小數近似替代。S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root5 exact square，不以小數近似替代。S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root4 exact square，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root3 exact square，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root2 exact square，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root1 exact square，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。(23, 8, 8, [10, 13], 1, complete_nonzero_square_root_witness)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
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