第 23762 題：Legendre符號

原題與已知條件

odd prime上的zero/residue/nonresidue三值完整分類。操作=legendre-residue-nonresidue-witness；資料={"prime":41,"a":12}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — odd prime上的zero/residue/nonresidue三值完整分類。操作=legendre-residue-nonresidue-witness；資料={"prime":41,"a":12}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-legendre-symbol

逐步推導

source operation=legendre-residue-nonresidue-witness;original snapshot and mathematics retained

explicit ordered source output fields=[prime, a, normalized_class, nonzero_roots, Legendre_symbol, certificate]

Legendre ORIGINAL odd prime:ORIGINAL modulus=41;ALL possible trial divisors through square root=[2, 3, 4, 5, 6]

ALL [divisor,remainder] rows=[[2, 1], [3, 2], [4, 1], [5, 1], [6, 5]];prime=是

Legendre ORIGINAL nonzero root1 exact square := mul(1, 1)

Legendre ORIGINAL nonzero root1 exact square = 1

ORIGINAL root x=1 in1..40;exact square=1

square=0*41+1;canonical square class=1;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root2 exact square := mul(2, 2)

Legendre ORIGINAL nonzero root2 exact square = 4

ORIGINAL root x=2 in1..40;exact square=4

square=0*41+4;canonical square class=4;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root3 exact square := mul(3, 3)

Legendre ORIGINAL nonzero root3 exact square = 9

ORIGINAL root x=3 in1..40;exact square=9

square=0*41+9;canonical square class=9;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root4 exact square := mul(4, 4)

Legendre ORIGINAL nonzero root4 exact square = 16

ORIGINAL root x=4 in1..40;exact square=16

square=0*41+16;canonical square class=16;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root5 exact square := mul(5, 5)

Legendre ORIGINAL nonzero root5 exact square = 25

ORIGINAL root x=5 in1..40;exact square=25

square=0*41+25;canonical square class=25;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root6 exact square := mul(6, 6)

Legendre ORIGINAL nonzero root6 exact square = 36

ORIGINAL root x=6 in1..40;exact square=36

square=0*41+36;canonical square class=36;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root7 exact square := mul(7, 7)

Legendre ORIGINAL nonzero root7 exact square = 49

ORIGINAL root x=7 in1..40;exact square=49

square=1*41+8;canonical square class=8;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root8 exact square := mul(8, 8)

Legendre ORIGINAL nonzero root8 exact square = 64

ORIGINAL root x=8 in1..40;exact square=64

square=1*41+23;canonical square class=23;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root9 exact square := mul(9, 9)

Legendre ORIGINAL nonzero root9 exact square = 81

ORIGINAL root x=9 in1..40;exact square=81

square=1*41+40;canonical square class=40;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root10 exact square := mul(10, 10)

Legendre ORIGINAL nonzero root10 exact square = 100

ORIGINAL root x=10 in1..40;exact square=100

square=2*41+18;canonical square class=18;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root11 exact square := mul(11, 11)

Legendre ORIGINAL nonzero root11 exact square = 121

ORIGINAL root x=11 in1..40;exact square=121

square=2*41+39;canonical square class=39;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root12 exact square := mul(12, 12)

Legendre ORIGINAL nonzero root12 exact square = 144

ORIGINAL root x=12 in1..40;exact square=144

square=3*41+21;canonical square class=21;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root13 exact square := mul(13, 13)

Legendre ORIGINAL nonzero root13 exact square = 169

ORIGINAL root x=13 in1..40;exact square=169

square=4*41+5;canonical square class=5;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root14 exact square := mul(14, 14)

Legendre ORIGINAL nonzero root14 exact square = 196

ORIGINAL root x=14 in1..40;exact square=196

square=4*41+32;canonical square class=32;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root15 exact square := mul(15, 15)

Legendre ORIGINAL nonzero root15 exact square = 225

ORIGINAL root x=15 in1..40;exact square=225

square=5*41+20;canonical square class=20;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root16 exact square := mul(16, 16)

Legendre ORIGINAL nonzero root16 exact square = 256

ORIGINAL root x=16 in1..40;exact square=256

square=6*41+10;canonical square class=10;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root17 exact square := mul(17, 17)

Legendre ORIGINAL nonzero root17 exact square = 289

ORIGINAL root x=17 in1..40;exact square=289

square=7*41+2;canonical square class=2;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root18 exact square := mul(18, 18)

Legendre ORIGINAL nonzero root18 exact square = 324

ORIGINAL root x=18 in1..40;exact square=324

square=7*41+37;canonical square class=37;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root19 exact square := mul(19, 19)

Legendre ORIGINAL nonzero root19 exact square = 361

ORIGINAL root x=19 in1..40;exact square=361

square=8*41+33;canonical square class=33;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root20 exact square := mul(20, 20)

Legendre ORIGINAL nonzero root20 exact square = 400

ORIGINAL root x=20 in1..40;exact square=400

square=9*41+31;canonical square class=31;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root21 exact square := mul(21, 21)

Legendre ORIGINAL nonzero root21 exact square = 441

ORIGINAL root x=21 in1..40;exact square=441

square=10*41+31;canonical square class=31;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root22 exact square := mul(22, 22)

Legendre ORIGINAL nonzero root22 exact square = 484

ORIGINAL root x=22 in1..40;exact square=484

square=11*41+33;canonical square class=33;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root23 exact square := mul(23, 23)

Legendre ORIGINAL nonzero root23 exact square = 529

ORIGINAL root x=23 in1..40;exact square=529

square=12*41+37;canonical square class=37;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root24 exact square := mul(24, 24)

Legendre ORIGINAL nonzero root24 exact square = 576

ORIGINAL root x=24 in1..40;exact square=576

square=14*41+2;canonical square class=2;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root25 exact square := mul(25, 25)

Legendre ORIGINAL nonzero root25 exact square = 625

ORIGINAL root x=25 in1..40;exact square=625

square=15*41+10;canonical square class=10;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root26 exact square := mul(26, 26)

Legendre ORIGINAL nonzero root26 exact square = 676

ORIGINAL root x=26 in1..40;exact square=676

square=16*41+20;canonical square class=20;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root27 exact square := mul(27, 27)

Legendre ORIGINAL nonzero root27 exact square = 729

ORIGINAL root x=27 in1..40;exact square=729

square=17*41+32;canonical square class=32;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root28 exact square := mul(28, 28)

Legendre ORIGINAL nonzero root28 exact square = 784

ORIGINAL root x=28 in1..40;exact square=784

square=19*41+5;canonical square class=5;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root29 exact square := mul(29, 29)

Legendre ORIGINAL nonzero root29 exact square = 841

ORIGINAL root x=29 in1..40;exact square=841

square=20*41+21;canonical square class=21;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root30 exact square := mul(30, 30)

Legendre ORIGINAL nonzero root30 exact square = 900

ORIGINAL root x=30 in1..40;exact square=900

square=21*41+39;canonical square class=39;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root31 exact square := mul(31, 31)

Legendre ORIGINAL nonzero root31 exact square = 961

ORIGINAL root x=31 in1..40;exact square=961

square=23*41+18;canonical square class=18;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root32 exact square := mul(32, 32)

Legendre ORIGINAL nonzero root32 exact square = 1024

ORIGINAL root x=32 in1..40;exact square=1024

square=24*41+40;canonical square class=40;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root33 exact square := mul(33, 33)

Legendre ORIGINAL nonzero root33 exact square = 1089

ORIGINAL root x=33 in1..40;exact square=1089

square=26*41+23;canonical square class=23;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root34 exact square := mul(34, 34)

Legendre ORIGINAL nonzero root34 exact square = 1156

ORIGINAL root x=34 in1..40;exact square=1156

square=28*41+8;canonical square class=8;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root35 exact square := mul(35, 35)

Legendre ORIGINAL nonzero root35 exact square = 1225

ORIGINAL root x=35 in1..40;exact square=1225

square=29*41+36;canonical square class=36;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root36 exact square := mul(36, 36)

Legendre ORIGINAL nonzero root36 exact square = 1296

ORIGINAL root x=36 in1..40;exact square=1296

square=31*41+25;canonical square class=25;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root37 exact square := mul(37, 37)

Legendre ORIGINAL nonzero root37 exact square = 1369

ORIGINAL root x=37 in1..40;exact square=1369

square=33*41+16;canonical square class=16;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root38 exact square := mul(38, 38)

Legendre ORIGINAL nonzero root38 exact square = 1444

ORIGINAL root x=38 in1..40;exact square=1444

square=35*41+9;canonical square class=9;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root39 exact square := mul(39, 39)

Legendre ORIGINAL nonzero root39 exact square = 1521

ORIGINAL root x=39 in1..40;exact square=1521

square=37*41+4;canonical square class=4;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root40 exact square := mul(40, 40)

Legendre ORIGINAL nonzero root40 exact square = 1600

ORIGINAL root x=40 in1..40;exact square=1600

square=39*41+1;canonical square class=1;ALL root indices retained

ORIGINAL prime=41;COMPLETE nonzero square table=[[1, 1], [2, 4], [3, 9], [4, 16], [5, 25], [6, 36], [7, 8], [8, 23], [9, 40], [10, 18], [11, 39], [12, 21], [13, 5], [14, 32], [15, 20], [16, 10], [17, 2], [18, 37], [19, 33], [20, 31], [21, 31], [22, 33], [23, 37], [24, 2], [25, 10], [26, 20], [27, 32], [28, 5], [29, 21], [30, 39], [31, 18], [32, 40], [33, 23], [34, 8], [35, 36], [36, 25], [37, 16], [38, 9], [39, 4], [40, 1]];nonzero square classes=[1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 40]

for EACH normalized class r,first r0 ->symbol0;else square-table member ->symbol1;otherwise ->symbol-1;these cases partition ALL0..p-1

Legendre ORIGINAL candidate class quotient times modulus := mul(0, 41)

Legendre ORIGINAL candidate class quotient times modulus = 0

Legendre ORIGINAL candidate class ORIGINAL signed value minus multiple := sub(12, 0)

Legendre ORIGINAL candidate class ORIGINAL signed value minus multiple = 12

Legendre ORIGINAL candidate class:ORIGINAL a=12,positive modulus=41;actual quotient=0

normalized class=12;a=quotient*modulus+class;ORIGINAL a retained in output where declared

逐步反向核對

• S086 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL candidate class ORIGINAL signed value minus multiple，不以小數近似替代。
• S084 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL candidate class quotient times modulus，不以小數近似替代。
• S083 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S082 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root40 exact square，不以小數近似替代。
• S080 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root39 exact square，不以小數近似替代。
• S078 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root38 exact square，不以小數近似替代。
• S076 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root37 exact square，不以小數近似替代。
• S074 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root36 exact square，不以小數近似替代。
• S072 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root35 exact square，不以小數近似替代。
• S070 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root34 exact square，不以小數近似替代。
• S068 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root33 exact square，不以小數近似替代。
• S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root32 exact square，不以小數近似替代。
• S064 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root31 exact square，不以小數近似替代。
• S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root30 exact square，不以小數近似替代。
• S060 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root29 exact square，不以小數近似替代。
• S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root28 exact square，不以小數近似替代。
• S056 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root27 exact square，不以小數近似替代。
• S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root26 exact square，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root25 exact square，不以小數近似替代。
• S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root24 exact square，不以小數近似替代。
• S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root23 exact square，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root22 exact square，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root21 exact square，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root20 exact square，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root19 exact square，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root18 exact square，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root17 exact square，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root16 exact square，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root15 exact square，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root14 exact square，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root13 exact square，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root12 exact square，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root11 exact square，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root10 exact square，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root9 exact square，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root8 exact square，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root7 exact square，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root6 exact square，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root5 exact square，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root4 exact square，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root3 exact square，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root2 exact square，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root1 exact square，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(41, 12, 12, [], -1, complete_square_table_has_no_root)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。