第 23778 題：Legendre符號

原題與已知條件

odd prime上的zero/residue/nonresidue三值完整分類。操作=legendre-zero-class；資料={"prime":7,"a":21}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — odd prime上的zero/residue/nonresidue三值完整分類。操作=legendre-zero-class；資料={"prime":7,"a":21}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-legendre-symbol

逐步推導

source operation=legendre-zero-class;original snapshot and mathematics retained

explicit ordered source output fields=[prime, a, normalized_class, Legendre_symbol, nonzero_roots, certificate]

Legendre ORIGINAL odd prime:ORIGINAL modulus=7;ALL possible trial divisors through square root=[2]

ALL [divisor,remainder] rows=[[2, 1]];prime=是

Legendre ORIGINAL nonzero root1 exact square := mul(1, 1)

Legendre ORIGINAL nonzero root1 exact square = 1

ORIGINAL root x=1 in1..6;exact square=1

square=0*7+1;canonical square class=1;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root2 exact square := mul(2, 2)

Legendre ORIGINAL nonzero root2 exact square = 4

ORIGINAL root x=2 in1..6;exact square=4

square=0*7+4;canonical square class=4;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root3 exact square := mul(3, 3)

Legendre ORIGINAL nonzero root3 exact square = 9

ORIGINAL root x=3 in1..6;exact square=9

square=1*7+2;canonical square class=2;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root4 exact square := mul(4, 4)

Legendre ORIGINAL nonzero root4 exact square = 16

ORIGINAL root x=4 in1..6;exact square=16

square=2*7+2;canonical square class=2;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root5 exact square := mul(5, 5)

Legendre ORIGINAL nonzero root5 exact square = 25

ORIGINAL root x=5 in1..6;exact square=25

square=3*7+4;canonical square class=4;ALL root indices retained

Legendre ORIGINAL nonzero root6 exact square := mul(6, 6)

Legendre ORIGINAL nonzero root6 exact square = 36

ORIGINAL root x=6 in1..6;exact square=36

square=5*7+1;canonical square class=1;ALL root indices retained

ORIGINAL prime=7;COMPLETE nonzero square table=[[1, 1], [2, 4], [3, 2], [4, 2], [5, 4], [6, 1]];nonzero square classes=[1, 2, 4]

for EACH normalized class r,first r0 ->symbol0;else square-table member ->symbol1;otherwise ->symbol-1;these cases partition ALL0..p-1

Legendre ORIGINAL candidate class quotient times modulus := mul(3, 7)

Legendre ORIGINAL candidate class quotient times modulus = 21

Legendre ORIGINAL candidate class ORIGINAL signed value minus multiple := sub(21, 21)

Legendre ORIGINAL candidate class ORIGINAL signed value minus multiple = 0

Legendre ORIGINAL candidate class:ORIGINAL a=21,positive modulus=7;actual quotient=3

normalized class=0;a=quotient*modulus+class;ORIGINAL a retained in output where declared

逐步反向核對

• S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL candidate class ORIGINAL signed value minus multiple，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL candidate class quotient times modulus，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root6 exact square，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root5 exact square，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root4 exact square，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root3 exact square，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root2 exact square，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL nonzero root1 exact square，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(7, 21, 0, 0, [], p_divides_a_so_Legendre_symbol_is_zero_before_residue_classification)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。