R0046-23740 · q-20261014-advance-20261112-r06-legendre-symbol-0090
odd prime上的zero/residue/nonresidue三值完整分類。操作=legendre-domain-method-boundary；資料={"mode":"premature_euler","modulus":53,"a":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。
G001 — odd prime上的zero/residue/nonresidue三值完整分類。操作=legendre-domain-method-boundary；資料={"mode":"premature_euler","modulus":53,"a":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source operation=legendre-domain-method-boundary;original snapshot and mathematics retained
操作後
explicit ordered source output fields=[mode, modulus, normalized_class, unsupported_domain_or_method_certificate, boundary]
條件：無
保留原題介面快照，本頁直接列來源欄序，不需JavaScript。radius由原mode選6／11欄，不補欄；No與實際否定依來源責任分清。
規則：source_ordered_interface_explicit_without_javascript · 依賴：G001
操作前
Legendre ORIGINAL boundary class quotient times modulus := mul(0, 53)
操作後
Legendre ORIGINAL boundary class quotient times modulus = 0
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
操作前
Legendre ORIGINAL boundary class ORIGINAL signed value minus multiple := sub(1, 0)
操作後
Legendre ORIGINAL boundary class ORIGINAL signed value minus multiple = 1
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似，也不把有限測試冒充全稱極限。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
Legendre ORIGINAL boundary class:ORIGINAL a=1,positive modulus=53;actual quotient=0
操作後
normalized class=1;a=quotient*modulus+class;ORIGINAL a retained in output where declared
條件：無
負a亦保同一congruence class，以0到p−1表示；不把負餘數直接當標準類。
規則：legendre_ORIGINAL_signed_class_Euclidean_normalization · 依賴：G001, S003
操作前
Legendre valid premature-method modulus:ORIGINAL modulus=53;ALL possible trial divisors through square root=[2, 3, 4, 5, 6, 7]
操作後
ALL [divisor,remainder] rows=[[2, 1], [3, 2], [4, 1], [5, 3], [6, 5], [7, 4]];prime=是
條件：無
先完整核prime資格，不用Legendre或Euler分類反過來猜prime；這是modulus前提，不是a的平方性。
規則：legendre_complete_prime_trial_not_Euler_classification · 依賴：G001, S004
操作前
ORIGINAL mode=premature_euler;modulus=53,a=1,normalized class=1
操作後
unsupported_domain_or_method_certificate fixed No;input IS valid odd-prime/nonzero but Euler method not yet established here
條件：無
premature_euler的No不否定Euler criterion，也不把合法input說成域外；p2／composite則是真域限制。不偷偷改為Jacobi等其他符號。
規則：legendre_DOMAIN_or_METHOD_No_responsibilities_distinct · 依賴：G001, S005
S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL boundary class ORIGINAL signed value minus multiple，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Legendre ORIGINAL boundary class quotient times modulus，不以小數近似替代。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。(premature_euler, 53, 1, 否, classification_must_come_from_the_complete_square_table_not_the_later_Euler_criterion)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 8c9476b96f63dd769a7ca387e93f6d18fbb5b2fb534119464a40b5997d226d54candidate record SHA-256: 3e260c0c78e2c1a80e66283e1376a5bd42eb633feb9f75f89393945b57bd73casemantic review receipt SHA-256: a7c0d888ade6d307703c4222c4137c78c0d2448babdcba2fa3446fe6fdd343c1question-first witness SHA-256: c9571f97a37d503ad6a61034cc00108543a05c37ef246d1c4962f55136a3de02Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED