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第 24540 題：有限正規子群

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0048-24540 · q-20261015-advance-20261113-r01-finite-normal-subgroup-0065

原題與已知條件

完整Cayley table、完整subgroup資格與forall g的normality責任。操作=normal-left-right-coset-audit；資料={"group_table":[[10,11,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9],[11,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10],[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11],[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,0],[2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,0,1],[3,4,5,6,7,8,9,10,11,0,1,2],[4,5,6,7,8,9,10,11,0,1,2,3],[5,6,7,8,9,10,11,0,1,2,3,4],[6,7,8,9,10,11,0,1,2,3,4,5],[7,8,9,10,11,0,1,2,3,4,5,6],[8,9,10,11,0,1,2,3,4,5,6,7],[9,10,11,0,1,2,3,4,5,6,7,8]],"identity":2,"subset":[2]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

  • G001 — 完整Cayley table、完整subgroup資格與forall g的normality責任。操作=normal-left-right-coset-audit；資料={"group_table":[[10,11,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9],[11,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10],[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11],[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,0],[2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,0,1],[3,4,5,6,7,8,9,10,11,0,1,2],[4,5,6,7,8,9,10,11,0,1,2,3],[5,6,7,8,9,10,11,0,1,2,3,4],[6,7,8,9,10,11,0,1,2,3,4,5],[7,8,9,10,11,0,1,2,3,4,5,6],[8,9,10,11,0,1,2,3,4,5,6,7],[9,10,11,0,1,2,3,4,5,6,7,8]],"identity":2,"subset":[2]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [normal-left-right-coset-audit]

操作後

derived = [[subgroup, coset_rows, all_left_right_equal, certificate]]

條件：無

直接列來源完整欄序，不需JavaScript；原題、布林旗標、數學物件與非聲稱保持分層。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source roles = [Normality ORIGINAL group, 32, [[10, 11, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9], [11, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10], [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11], [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 0], [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 0, 1], [3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 0, 1, 2], [4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 0, 1, 2, 3], [5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 0, 1, 2, 3, 4], [6, 7, 8, 9, 10, 11, 0, 1, 2, 3, 4, 5], [7, 8, 9, 10, 11, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6], [8, 9, 10, 11, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [9, 10, 11, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]], 2]

操作後

derived = [12, [[0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2], [3, 3, 3, 3], [4, 4, 4, 4], [5, 5, 5, 5], [6, 6, 6, 6], [7, 7, 7, 7], [8, 8, 8, 8], [9, 9, 9, 9], [10, 10, 10, 10], [11, 11, 11, 11]], 是]

條件：無

先驗完整n×n閉合表與實際identity標籤，非預設0。mod44上限32，mod45上限64；同一carrier不能混入另一表。

步驟識別與依賴

規則：Group_complete_Cayley_signature_actual_identity · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

source roles = [Normality ORIGINAL group, 12, FOR EVERY x,y,z in0..n-1]

操作後

derived = [[[是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是]], 1728, 是]

條件：無

矩陣(x,y)逐全部z核(xy)z=x(yz)，故涵蓋全部n³三元組，不是抽樣。表已在前步完整列出，不重印數百萬同義查表項。

步驟識別與依賴

規則：Group_ALL_associativity_triples_compact_complete_pair_matrix · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

source roles = [Normality ORIGINAL group, 2]

操作後

derived = [[4, 3, 2, 1, 0, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5], [[0, 4, 2, 2], [1, 3, 2, 2], [2, 2, 2, 2], [3, 1, 2, 2], [4, 0, 2, 2], [5, 11, 2, 2], [6, 10, 2, 2], [7, 9, 2, 2], [8, 8, 2, 2], [9, 7, 2, 2], [10, 6, 2, 2], [11, 5, 2, 2]], 是]

條件：無

每個元素的左、右逆都要回到同一實際identity；結合律使兩側逆唯一。這才完成群前提。

步驟識別與依賴

規則：Group_ALL_two_sided_inverses · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

source roles = [Normality ORIGINAL H, [2], 2]

操作後

derived = [是, [[2, 2, 2, 是]], 是, [[2, 2, 是]], 是, 是]

條件：無

H非空且無重複；含identity、任兩元素乘積、每個逆元分別核全域，三者合取才可稱subgroup。order divisibility或有限性不足。

步驟識別與依賴

規則：Subgroup_identity_ALL_products_ALL_inverses_separate · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source roles = [Normality ORIGINAL H, 0, [2], 4]

操作後

derived = [[[2, 0, 4, 2]], [2], 是]

條件：無

按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。

步驟識別與依賴

規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

source roles = [Normality ORIGINAL H, 1, [2], 3]

操作後

derived = [[[2, 1, 3, 2]], [2], 是]

條件：無

按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。

步驟識別與依賴

規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

source roles = [Normality ORIGINAL H, 2, [2], 2]

操作後

derived = [[[2, 2, 2, 2]], [2], 是]

條件：無

按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。

步驟識別與依賴

規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

source roles = [Normality ORIGINAL H, 3, [2], 1]

操作後

derived = [[[2, 3, 1, 2]], [2], 是]

條件：無

按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。

步驟識別與依賴

規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

source roles = [Normality ORIGINAL H, 4, [2], 0]

操作後

derived = [[[2, 4, 0, 2]], [2], 是]

條件：無

按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。

步驟識別與依賴

規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

source roles = [Normality ORIGINAL H, 5, [2], 11]

操作後

derived = [[[2, 5, 11, 2]], [2], 是]

條件：無

按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。

步驟識別與依賴

規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

source roles = [Normality ORIGINAL H, 6, [2], 10]

操作後

derived = [[[2, 6, 10, 2]], [2], 是]

條件：無

按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。

步驟識別與依賴

規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

source roles = [Normality ORIGINAL H, 7, [2], 9]

操作後

derived = [[[2, 7, 9, 2]], [2], 是]

條件：無

按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。

步驟識別與依賴

規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

source roles = [Normality ORIGINAL H, 8, [2], 8]

操作後

derived = [[[2, 8, 8, 2]], [2], 是]

條件：無

按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。

步驟識別與依賴

規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

source roles = [Normality ORIGINAL H, 9, [2], 7]

操作後

derived = [[[2, 9, 7, 2]], [2], 是]

條件：無

按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。

步驟識別與依賴

規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

source roles = [Normality ORIGINAL H, 10, [2], 6]

操作後

derived = [[[2, 10, 6, 2]], [2], 是]

條件：無

按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。

步驟識別與依賴

規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

source roles = [Normality ORIGINAL H, 11, [2], 5]

操作後

derived = [[[2, 11, 5, 2]], [2], 是]

條件：無

按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。

步驟識別與依賴

規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

source roles = [0, [2]]

操作後

derived = [[0], [0], 是]

條件：無

gH與Hg是同一g的完整左／右陪集；非交換群不能偷換乘法方向。

步驟識別與依賴

規則：Normality_ALL_g_LEFT_RIGHT_cosets · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

source roles = [1, [2]]

操作後

derived = [[1], [1], 是]

條件：無

gH與Hg是同一g的完整左／右陪集；非交換群不能偷換乘法方向。

步驟識別與依賴

規則：Normality_ALL_g_LEFT_RIGHT_cosets · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

source roles = [2, [2]]

操作後

derived = [[2], [2], 是]

條件：無

gH與Hg是同一g的完整左／右陪集；非交換群不能偷換乘法方向。

步驟識別與依賴

規則：Normality_ALL_g_LEFT_RIGHT_cosets · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

source roles = [3, [2]]

操作後

derived = [[3], [3], 是]

條件：無

gH與Hg是同一g的完整左／右陪集；非交換群不能偷換乘法方向。

步驟識別與依賴

規則：Normality_ALL_g_LEFT_RIGHT_cosets · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

source roles = [4, [2]]

操作後

derived = [[4], [4], 是]

條件：無

gH與Hg是同一g的完整左／右陪集；非交換群不能偷換乘法方向。

步驟識別與依賴

規則：Normality_ALL_g_LEFT_RIGHT_cosets · 依賴：G001, S021

S023 · implies

操作前

source roles = [5, [2]]

操作後

derived = [[5], [5], 是]

條件：無

gH與Hg是同一g的完整左／右陪集；非交換群不能偷換乘法方向。

步驟識別與依賴

規則：Normality_ALL_g_LEFT_RIGHT_cosets · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

source roles = [6, [2]]

操作後

derived = [[6], [6], 是]

條件：無

gH與Hg是同一g的完整左／右陪集；非交換群不能偷換乘法方向。

步驟識別與依賴

規則：Normality_ALL_g_LEFT_RIGHT_cosets · 依賴：G001, S023

S025 · implies

操作前

source roles = [7, [2]]

操作後

derived = [[7], [7], 是]

條件：無

gH與Hg是同一g的完整左／右陪集；非交換群不能偷換乘法方向。

步驟識別與依賴

規則：Normality_ALL_g_LEFT_RIGHT_cosets · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

source roles = [8, [2]]

操作後

derived = [[8], [8], 是]

條件：無

gH與Hg是同一g的完整左／右陪集；非交換群不能偷換乘法方向。

步驟識別與依賴

規則：Normality_ALL_g_LEFT_RIGHT_cosets · 依賴：G001, S025

S027 · implies

操作前

source roles = [9, [2]]

操作後

derived = [[9], [9], 是]

條件：無

gH與Hg是同一g的完整左／右陪集；非交換群不能偷換乘法方向。

步驟識別與依賴

規則：Normality_ALL_g_LEFT_RIGHT_cosets · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

source roles = [10, [2]]

操作後

derived = [[10], [10], 是]

條件：無

gH與Hg是同一g的完整左／右陪集；非交換群不能偷換乘法方向。

步驟識別與依賴

規則：Normality_ALL_g_LEFT_RIGHT_cosets · 依賴：G001, S027

S029 · implies

操作前

source roles = [11, [2]]

操作後

derived = [[11], [11], 是]

條件：無

gH與Hg是同一g的完整左／右陪集；非交換群不能偷換乘法方向。

步驟識別與依賴

規則：Normality_ALL_g_LEFT_RIGHT_cosets · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

source roles = [[2], 是, 是, 是]

操作後

derived = [gHg^-1=H iff gH=Hg for EVERY g]

條件：無

右乘g是雙射，將共軛集合等式右乘g即得gH=Hg；反向右乘g^-1。此處不進一步宣稱quotient乘法良定。

步驟識別與依賴

規則：Normality_GENERAL_conjugates_iff_left_right_cosets · 依賴：G001, S029

逐步反向核對

  • S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S029 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([2], [[0, [0], [0], 是], [1, [1], [1], 是], [2, [2], [2], 是], [3, [3], [3], 是], [4, [4], [4], 是], [5, [5], [5], 是], [6, [6], [6], 是], [7, [7], [7], 是], [8, [8], [8], 是], [9, [9], [9], 是], [10, [10], [10], 是], [11, [11], [11], 是]], 是, left_and_right_cosets_agree_for_every_g_exactly_when_H_is_normal)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 001f6a73ba7a91670b61018d72f16a0d4b0daac58bfa8a658befbe4863f71d17
  • candidate record SHA-256: b5a0f97dc59a6f8ce549a787da3eb7985141a76c38fbbc50ce50e7afe38cadc0
  • semantic review receipt SHA-256: 049a9e07e69fead88d93b34f0937b9470a06d71c1a8d097058fc83554529bdd0
  • question-first witness SHA-256: 0c71ebb418f3de347d232d159fc25e93036f4ab9166bcfb5ee5b4be86d5c55b9
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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