第 24207 題：實指數函數

原題與已知條件

E(x)=sum_n>=0 x^n/n!的完整coefficient law與exact rational certificate。操作=exp-addition-convolution；資料={"x":[7,8],"y":[-8,9],"degree":6}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — E(x)=sum_n>=0 x^n/n!的完整coefficient law與exact rational certificate。操作=exp-addition-convolution；資料={"x":[7,8],"y":[-8,9],"degree":6}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-real-exponential-function

逐步推導

source roles = [exp-addition-convolution]

derived = [[x, y, degree, coefficient_terms, convolution_coefficient, sum_argument_coefficient, equal, certificate]]

(7/8)^0

Exp convolution x power0 = 1

(-8/9)^6

Exp convolution y power6 = 262144/531441

Exp convolution numerator0 := mul(1, 262144/531441)

Exp convolution numerator0 = 262144/531441

source roles = [0]

derived = [1]

Exp convolution right0 factorial step1 := mul(1, 1)

Exp convolution right0 factorial step1 = 1

Exp convolution right0 factorial step2 := mul(1, 2)

Exp convolution right0 factorial step2 = 2

Exp convolution right0 factorial step3 := mul(2, 3)

Exp convolution right0 factorial step3 = 6

Exp convolution right0 factorial step4 := mul(6, 4)

Exp convolution right0 factorial step4 = 24

Exp convolution right0 factorial step5 := mul(24, 5)

Exp convolution right0 factorial step5 = 120

Exp convolution right0 factorial step6 := mul(120, 6)

Exp convolution right0 factorial step6 = 720

Exp convolution denominator0 := mul(1, 720)

Exp convolution denominator0 = 720

Exp convolution coefficient term0 := div(262144/531441, 720)

Exp convolution coefficient term0 = 16384/23914845

(7/8)^1

Exp convolution x power1 = 7/8

(-8/9)^5

Exp convolution y power5 = -32768/59049

Exp convolution numerator1 := mul(7/8, -32768/59049)

Exp convolution numerator1 = -28672/59049

Exp convolution left1 factorial step1 := mul(1, 1)

Exp convolution left1 factorial step1 = 1

Exp convolution right1 factorial step1 := mul(1, 1)

Exp convolution right1 factorial step1 = 1

Exp convolution right1 factorial step2 := mul(1, 2)

Exp convolution right1 factorial step2 = 2

Exp convolution right1 factorial step3 := mul(2, 3)

Exp convolution right1 factorial step3 = 6

Exp convolution right1 factorial step4 := mul(6, 4)

Exp convolution right1 factorial step4 = 24

Exp convolution right1 factorial step5 := mul(24, 5)

Exp convolution right1 factorial step5 = 120

Exp convolution denominator1 := mul(1, 120)

Exp convolution denominator1 = 120

Exp convolution coefficient term1 := div(-28672/59049, 120)

Exp convolution coefficient term1 = -3584/885735

(7/8)^2

Exp convolution x power2 = 49/64

(-8/9)^4

Exp convolution y power4 = 4096/6561

Exp convolution numerator2 := mul(49/64, 4096/6561)

Exp convolution numerator2 = 3136/6561

Exp convolution left2 factorial step1 := mul(1, 1)

Exp convolution left2 factorial step1 = 1

Exp convolution left2 factorial step2 := mul(1, 2)

Exp convolution left2 factorial step2 = 2

Exp convolution right2 factorial step1 := mul(1, 1)

Exp convolution right2 factorial step1 = 1

Exp convolution right2 factorial step2 := mul(1, 2)

Exp convolution right2 factorial step2 = 2

Exp convolution right2 factorial step3 := mul(2, 3)

Exp convolution right2 factorial step3 = 6

Exp convolution right2 factorial step4 := mul(6, 4)

Exp convolution right2 factorial step4 = 24

Exp convolution denominator2 := mul(2, 24)

Exp convolution denominator2 = 48

Exp convolution coefficient term2 := div(3136/6561, 48)

Exp convolution coefficient term2 = 196/19683

(7/8)^3

Exp convolution x power3 = 343/512

(-8/9)^3

Exp convolution y power3 = -512/729

Exp convolution numerator3 := mul(343/512, -512/729)

Exp convolution numerator3 = -343/729

Exp convolution left3 factorial step1 := mul(1, 1)

Exp convolution left3 factorial step1 = 1

Exp convolution left3 factorial step2 := mul(1, 2)

Exp convolution left3 factorial step2 = 2

Exp convolution left3 factorial step3 := mul(2, 3)

Exp convolution left3 factorial step3 = 6

Exp convolution right3 factorial step1 := mul(1, 1)

Exp convolution right3 factorial step1 = 1

Exp convolution right3 factorial step2 := mul(1, 2)

Exp convolution right3 factorial step2 = 2

Exp convolution right3 factorial step3 := mul(2, 3)

Exp convolution right3 factorial step3 = 6

Exp convolution denominator3 := mul(6, 6)

Exp convolution denominator3 = 36

Exp convolution coefficient term3 := div(-343/729, 36)

Exp convolution coefficient term3 = -343/26244

(7/8)^4

Exp convolution x power4 = 2401/4096

(-8/9)^2

Exp convolution y power2 = 64/81

Exp convolution numerator4 := mul(2401/4096, 64/81)

Exp convolution numerator4 = 2401/5184

Exp convolution left4 factorial step1 := mul(1, 1)

Exp convolution left4 factorial step1 = 1

Exp convolution left4 factorial step2 := mul(1, 2)

Exp convolution left4 factorial step2 = 2

Exp convolution left4 factorial step3 := mul(2, 3)

Exp convolution left4 factorial step3 = 6

Exp convolution left4 factorial step4 := mul(6, 4)

Exp convolution left4 factorial step4 = 24

Exp convolution right4 factorial step1 := mul(1, 1)

Exp convolution right4 factorial step1 = 1

Exp convolution right4 factorial step2 := mul(1, 2)

Exp convolution right4 factorial step2 = 2

Exp convolution denominator4 := mul(24, 2)

Exp convolution denominator4 = 48

Exp convolution coefficient term4 := div(2401/5184, 48)

Exp convolution coefficient term4 = 2401/248832

(7/8)^5

Exp convolution x power5 = 16807/32768

(-8/9)^1

Exp convolution y power1 = -8/9

Exp convolution numerator5 := mul(16807/32768, -8/9)

Exp convolution numerator5 = -16807/36864

Exp convolution left5 factorial step1 := mul(1, 1)

Exp convolution left5 factorial step1 = 1

Exp convolution left5 factorial step2 := mul(1, 2)

Exp convolution left5 factorial step2 = 2

Exp convolution left5 factorial step3 := mul(2, 3)

Exp convolution left5 factorial step3 = 6

Exp convolution left5 factorial step4 := mul(6, 4)

Exp convolution left5 factorial step4 = 24

Exp convolution left5 factorial step5 := mul(24, 5)

Exp convolution left5 factorial step5 = 120

Exp convolution right5 factorial step1 := mul(1, 1)

Exp convolution right5 factorial step1 = 1

Exp convolution denominator5 := mul(120, 1)

Exp convolution denominator5 = 120

Exp convolution coefficient term5 := div(-16807/36864, 120)

Exp convolution coefficient term5 = -16807/4423680

(7/8)^6

Exp convolution x power6 = 117649/262144

(-8/9)^0

Exp convolution y power0 = 1

Exp convolution numerator6 := mul(117649/262144, 1)

Exp convolution numerator6 = 117649/262144

Exp convolution left6 factorial step1 := mul(1, 1)

Exp convolution left6 factorial step1 = 1

Exp convolution left6 factorial step2 := mul(1, 2)

Exp convolution left6 factorial step2 = 2

Exp convolution left6 factorial step3 := mul(2, 3)

Exp convolution left6 factorial step3 = 6

Exp convolution left6 factorial step4 := mul(6, 4)

Exp convolution left6 factorial step4 = 24

Exp convolution left6 factorial step5 := mul(24, 5)

Exp convolution left6 factorial step5 = 120

Exp convolution left6 factorial step6 := mul(120, 6)

Exp convolution left6 factorial step6 = 720

source roles = [0]

derived = [1]

Exp convolution denominator6 := mul(720, 1)

Exp convolution denominator6 = 720

Exp convolution coefficient term6 := div(117649/262144, 720)

Exp convolution coefficient term6 = 117649/188743680

Exp complete declared-degree convolution := sum(16384/23914845, -3584/885735, 196/19683, -343/26244, 2401/248832, -16807/4423680, 117649/188743680)

Exp complete declared-degree convolution = 1/100306130042880

Exp ORIGINAL arguments sum := sum(7/8, -8/9)

Exp ORIGINAL arguments sum = -1/72

(-1/72)^6

Exp sum argument declared power = 1/139314069504

Exp sum argument factorial step1 := mul(1, 1)

Exp sum argument factorial step1 = 1

Exp sum argument factorial step2 := mul(1, 2)

Exp sum argument factorial step2 = 2

Exp sum argument factorial step3 := mul(2, 3)

Exp sum argument factorial step3 = 6

Exp sum argument factorial step4 := mul(6, 4)

Exp sum argument factorial step4 = 24

Exp sum argument factorial step5 := mul(24, 5)

Exp sum argument factorial step5 = 120

Exp sum argument factorial step6 := mul(120, 6)

Exp sum argument factorial step6 = 720

Exp sum argument coefficient := div(1/139314069504, 720)

Exp sum argument coefficient = 1/100306130042880

source roles = [[7/8, -8/9], a_n=1/n! for EVERY n>=0]

derived = [coefficient ratio=1/(n+1), for EVERY fixed real z,term absolute ratio=|z|/(n+1)->0, absolute convergence and real-valued E(z)]

source roles = [[7/8, -8/9, 6], E(x),E(y) absolutely convergent]

derived = [for EVERY n,sum_k x^k*y^(n-k)/(k!*(n-k)!)=(x+y)^n/n!, E(x)E(y)=E(x+y)]

逐步反向核對

• S092 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S091 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S090 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp sum argument coefficient，不以小數近似替代。
• S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp sum argument factorial step6，不以小數近似替代。
• S088 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp sum argument factorial step5，不以小數近似替代。
• S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp sum argument factorial step4，不以小數近似替代。
• S086 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp sum argument factorial step3，不以小數近似替代。
• S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp sum argument factorial step2，不以小數近似替代。
• S084 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp sum argument factorial step1，不以小數近似替代。
• S083 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S082 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp ORIGINAL arguments sum，不以小數近似替代。
• S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp complete declared-degree convolution，不以小數近似替代。
• S080 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution coefficient term6，不以小數近似替代。
• S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution denominator6，不以小數近似替代。
• S078 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution left6 factorial step6，不以小數近似替代。
• S076 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution left6 factorial step5，不以小數近似替代。
• S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution left6 factorial step4，不以小數近似替代。
• S074 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution left6 factorial step3，不以小數近似替代。
• S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution left6 factorial step2，不以小數近似替代。
• S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution left6 factorial step1，不以小數近似替代。
• S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution numerator6，不以小數近似替代。
• S070 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S069 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution coefficient term5，不以小數近似替代。
• S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution denominator5，不以小數近似替代。
• S066 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution right5 factorial step1，不以小數近似替代。
• S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution left5 factorial step5，不以小數近似替代。
• S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution left5 factorial step4，不以小數近似替代。
• S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution left5 factorial step3，不以小數近似替代。
• S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution left5 factorial step2，不以小數近似替代。
• S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution left5 factorial step1，不以小數近似替代。
• S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution numerator5，不以小數近似替代。
• S059 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution coefficient term4，不以小數近似替代。
• S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution denominator4，不以小數近似替代。
• S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution right4 factorial step2，不以小數近似替代。
• S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution right4 factorial step1，不以小數近似替代。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution left4 factorial step4，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution left4 factorial step3，不以小數近似替代。
• S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution left4 factorial step2，不以小數近似替代。
• S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution left4 factorial step1，不以小數近似替代。
• S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution numerator4，不以小數近似替代。
• S048 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S047 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution coefficient term3，不以小數近似替代。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution denominator3，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution right3 factorial step3，不以小數近似替代。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution right3 factorial step2，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution right3 factorial step1，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution left3 factorial step3，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution left3 factorial step2，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution left3 factorial step1，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution numerator3，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S036 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution coefficient term2，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution denominator2，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution right2 factorial step4，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution right2 factorial step3，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution right2 factorial step2，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution right2 factorial step1，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution left2 factorial step2，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution left2 factorial step1，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution numerator2，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S025 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution coefficient term1，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution denominator1，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution right1 factorial step5，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution right1 factorial step4，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution right1 factorial step3，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution right1 factorial step2，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution right1 factorial step1，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution left1 factorial step1，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution numerator1，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution coefficient term0，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution denominator0，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution right0 factorial step6，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution right0 factorial step5，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution right0 factorial step4，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution right0 factorial step3，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution right0 factorial step2，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution right0 factorial step1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution numerator0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(7/8, -8/9, 6, [[0, 16384/23914845], [1, -3584/885735], [2, 196/19683], [3, -343/26244], [4, 2401/248832], [5, -16807/4423680], [6, 117649/188743680]], 1/100306130042880, 1/100306130042880, 是, binomial_convolution_matches_the_declared_degree;the_general_addition_law_requires_all_degrees_plus_absolute_convergence_for_Cauchy_product_rearrangement)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。