第 24225 題：實指數函數

原題與已知條件

E(x)=sum_n>=0 x^n/n!的完整coefficient law與exact rational certificate。操作=exp-addition-convolution；資料={"x":[25,26],"y":[-26,27],"degree":3}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — E(x)=sum_n>=0 x^n/n!的完整coefficient law與exact rational certificate。操作=exp-addition-convolution；資料={"x":[25,26],"y":[-26,27],"degree":3}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-real-exponential-function

逐步推導

source roles = [exp-addition-convolution]

derived = [[x, y, degree, coefficient_terms, convolution_coefficient, sum_argument_coefficient, equal, certificate]]

(25/26)^0

Exp convolution x power0 = 1

(-26/27)^3

Exp convolution y power3 = -17576/19683

Exp convolution numerator0 := mul(1, -17576/19683)

Exp convolution numerator0 = -17576/19683

source roles = [0]

derived = [1]

Exp convolution right0 factorial step1 := mul(1, 1)

Exp convolution right0 factorial step1 = 1

Exp convolution right0 factorial step2 := mul(1, 2)

Exp convolution right0 factorial step2 = 2

Exp convolution right0 factorial step3 := mul(2, 3)

Exp convolution right0 factorial step3 = 6

Exp convolution denominator0 := mul(1, 6)

Exp convolution denominator0 = 6

Exp convolution coefficient term0 := div(-17576/19683, 6)

Exp convolution coefficient term0 = -8788/59049

(25/26)^1

Exp convolution x power1 = 25/26

(-26/27)^2

Exp convolution y power2 = 676/729

Exp convolution numerator1 := mul(25/26, 676/729)

Exp convolution numerator1 = 650/729

Exp convolution left1 factorial step1 := mul(1, 1)

Exp convolution left1 factorial step1 = 1

Exp convolution right1 factorial step1 := mul(1, 1)

Exp convolution right1 factorial step1 = 1

Exp convolution right1 factorial step2 := mul(1, 2)

Exp convolution right1 factorial step2 = 2

Exp convolution denominator1 := mul(1, 2)

Exp convolution denominator1 = 2

Exp convolution coefficient term1 := div(650/729, 2)

Exp convolution coefficient term1 = 325/729

(25/26)^2

Exp convolution x power2 = 625/676

(-26/27)^1

Exp convolution y power1 = -26/27

Exp convolution numerator2 := mul(625/676, -26/27)

Exp convolution numerator2 = -625/702

Exp convolution left2 factorial step1 := mul(1, 1)

Exp convolution left2 factorial step1 = 1

Exp convolution left2 factorial step2 := mul(1, 2)

Exp convolution left2 factorial step2 = 2

Exp convolution right2 factorial step1 := mul(1, 1)

Exp convolution right2 factorial step1 = 1

Exp convolution denominator2 := mul(2, 1)

Exp convolution denominator2 = 2

Exp convolution coefficient term2 := div(-625/702, 2)

Exp convolution coefficient term2 = -625/1404

(25/26)^3

Exp convolution x power3 = 15625/17576

(-26/27)^0

Exp convolution y power0 = 1

Exp convolution numerator3 := mul(15625/17576, 1)

Exp convolution numerator3 = 15625/17576

Exp convolution left3 factorial step1 := mul(1, 1)

Exp convolution left3 factorial step1 = 1

Exp convolution left3 factorial step2 := mul(1, 2)

Exp convolution left3 factorial step2 = 2

Exp convolution left3 factorial step3 := mul(2, 3)

Exp convolution left3 factorial step3 = 6

source roles = [0]

derived = [1]

Exp convolution denominator3 := mul(6, 1)

Exp convolution denominator3 = 6

Exp convolution coefficient term3 := div(15625/17576, 6)

Exp convolution coefficient term3 = 15625/105456

Exp complete declared-degree convolution := sum(-8788/59049, 325/729, -625/1404, 15625/105456)

Exp complete declared-degree convolution = -1/2075690448

Exp ORIGINAL arguments sum := sum(25/26, -26/27)

Exp ORIGINAL arguments sum = -1/702

(-1/702)^3

Exp sum argument declared power = -1/345948408

Exp sum argument factorial step1 := mul(1, 1)

Exp sum argument factorial step1 = 1

Exp sum argument factorial step2 := mul(1, 2)

Exp sum argument factorial step2 = 2

Exp sum argument factorial step3 := mul(2, 3)

Exp sum argument factorial step3 = 6

Exp sum argument coefficient := div(-1/345948408, 6)

Exp sum argument coefficient = -1/2075690448

source roles = [[25/26, -26/27], a_n=1/n! for EVERY n>=0]

derived = [coefficient ratio=1/(n+1), for EVERY fixed real z,term absolute ratio=|z|/(n+1)->0, absolute convergence and real-valued E(z)]

source roles = [[25/26, -26/27, 3], E(x),E(y) absolutely convergent]

derived = [for EVERY n,sum_k x^k*y^(n-k)/(k!*(n-k)!)=(x+y)^n/n!, E(x)E(y)=E(x+y)]

逐步反向核對

• S044 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp sum argument coefficient，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp sum argument factorial step3，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp sum argument factorial step2，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp sum argument factorial step1，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp ORIGINAL arguments sum，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp complete declared-degree convolution，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution coefficient term3，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution denominator3，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution left3 factorial step3，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution left3 factorial step2，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution left3 factorial step1，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution numerator3，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S027 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution coefficient term2，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution denominator2，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution right2 factorial step1，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution left2 factorial step2，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution left2 factorial step1，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution numerator2，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution coefficient term1，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution denominator1，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution right1 factorial step2，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution right1 factorial step1，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution left1 factorial step1，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution numerator1，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution coefficient term0，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution denominator0，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution right0 factorial step3，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution right0 factorial step2，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution right0 factorial step1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp convolution numerator0，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(25/26, -26/27, 3, [[0, -8788/59049], [1, 325/729], [2, -625/1404], [3, 15625/105456]], -1/2075690448, -1/2075690448, 是, binomial_convolution_matches_the_declared_degree;the_general_addition_law_requires_all_degrees_plus_absolute_convergence_for_Cauchy_product_rearrangement)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。