第 24289 題：實指數函數

原題與已知條件

E(x)=sum_n>=0 x^n/n!的完整coefficient law與exact rational certificate。操作=exp-zero-inverse-positivity；資料={"x":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — E(x)=sum_n>=0 x^n/n!的完整coefficient law與exact rational certificate。操作=exp-zero-inverse-positivity；資料={"x":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-real-exponential-function

逐步推導

source roles = [exp-zero-inverse-positivity]

derived = [[x, zero_identity, inverse_identity, half_inverse_identity, half_nonzero, strict_square_identity, symbolic_positivity_certificate, certificate]]

Exp ORIGINAL real argument half := div(1, 2)

Exp ORIGINAL real argument half = 1/2

source roles = [[1], a_n=1/n! for EVERY n>=0]

derived = [coefficient ratio=1/(n+1), for EVERY fixed real z,term absolute ratio=|z|/(n+1)->0, absolute convergence and real-valued E(z)]

source roles = [[1, 1/2], E(x),E(y) absolutely convergent]

derived = [for EVERY n,sum_k x^k*y^(n-k)/(k!*(n-k)!)=(x+y)^n/n!, E(x)E(y)=E(x+y)]

source roles = [1, 1/2]

derived = [E(0)=1, E(x)E(-x)=1, E(x/2)E(-x/2)=1, E(x/2)!=0, E(x)=E(x/2)^2>0]

逐步反向核對

• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Exp ORIGINAL real argument half，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(1, E(0)=1, E(1)*E(-1)=1, E(1/2)*E(-1/2)=1, E(1/2)!=0, E(1)=E(1/2)^2>0, 是, addition_law_gives_inverse_nonzero_half_value_and_strict_square_positivity_without_claiming_a_rational_exact_value)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。