第 24135 題：Euler二次剩餘判準

原題與已知條件

odd prime、nonzero class、complete square table與independent repeated-squaring。操作=eulercrit-domain-qualification；資料={"prime":31,"a":10}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — odd prime、nonzero class、complete square table與independent repeated-squaring。操作=eulercrit-domain-qualification；資料={"prime":31,"a":10}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-euler-criterion-quadratic-residue

逐步推導

source roles = [eulercrit-domain-qualification]

derived = [[prime, a, normalized_class, odd_prime, nonzero_class, certificate]]

source roles = [31]

derived = [[[2, 1], [3, 1], [4, 3], [5, 1]], 是]

Euler ORIGINAL signed quotient times modulus := mul(0, 31)

Euler ORIGINAL signed quotient times modulus = 0

Euler ORIGINAL signed a minus modulus multiple := sub(10, 0)

Euler ORIGINAL signed a minus modulus multiple = 10

source roles = [10, 31, 0]

derived = [10, 是]

source roles = [31, 10, 10]

derived = [是, 是]

Euler square root candidate1 := mul(1, 1)

Euler square root candidate1 = 1

Euler square root candidate2 := mul(2, 2)

Euler square root candidate2 = 4

Euler square root candidate3 := mul(3, 3)

Euler square root candidate3 = 9

Euler square root candidate4 := mul(4, 4)

Euler square root candidate4 = 16

Euler square root candidate5 := mul(5, 5)

Euler square root candidate5 = 25

Euler square root candidate6 := mul(6, 6)

Euler square root candidate6 = 36

Euler square root candidate7 := mul(7, 7)

Euler square root candidate7 = 49

Euler square root candidate8 := mul(8, 8)

Euler square root candidate8 = 64

Euler square root candidate9 := mul(9, 9)

Euler square root candidate9 = 81

Euler square root candidate10 := mul(10, 10)

Euler square root candidate10 = 100

Euler square root candidate11 := mul(11, 11)

Euler square root candidate11 = 121

Euler square root candidate12 := mul(12, 12)

Euler square root candidate12 = 144

Euler square root candidate13 := mul(13, 13)

Euler square root candidate13 = 169

Euler square root candidate14 := mul(14, 14)

Euler square root candidate14 = 196

Euler square root candidate15 := mul(15, 15)

Euler square root candidate15 = 225

Euler square root candidate16 := mul(16, 16)

Euler square root candidate16 = 256

Euler square root candidate17 := mul(17, 17)

Euler square root candidate17 = 289

Euler square root candidate18 := mul(18, 18)

Euler square root candidate18 = 324

Euler square root candidate19 := mul(19, 19)

Euler square root candidate19 = 361

Euler square root candidate20 := mul(20, 20)

Euler square root candidate20 = 400

Euler square root candidate21 := mul(21, 21)

Euler square root candidate21 = 441

Euler square root candidate22 := mul(22, 22)

Euler square root candidate22 = 484

Euler square root candidate23 := mul(23, 23)

Euler square root candidate23 = 529

Euler square root candidate24 := mul(24, 24)

Euler square root candidate24 = 576

Euler square root candidate25 := mul(25, 25)

Euler square root candidate25 = 625

Euler square root candidate26 := mul(26, 26)

Euler square root candidate26 = 676

Euler square root candidate27 := mul(27, 27)

Euler square root candidate27 = 729

Euler square root candidate28 := mul(28, 28)

Euler square root candidate28 = 784

Euler square root candidate29 := mul(29, 29)

Euler square root candidate29 = 841

Euler square root candidate30 := mul(30, 30)

Euler square root candidate30 = 900

source roles = [31, 10]

derived = [[[1, 1], [2, 4], [3, 9], [4, 16], [5, 25], [6, 5], [7, 18], [8, 2], [9, 19], [10, 7], [11, 28], [12, 20], [13, 14], [14, 10], [15, 8], [16, 8], [17, 10], [18, 14], [19, 20], [20, 28], [21, 7], [22, 19], [23, 2], [24, 18], [25, 5], [26, 25], [27, 16], [28, 9], [29, 4], [30, 1]], [14, 17], 1]

Euler binary power accumulate0 := mul(1, 10)

Euler binary power accumulate0 = 10

Euler binary power square0 := mul(10, 10)

Euler binary power square0 = 100

source roles = [0, [1, 10, 15], 31, 10, 15]

derived = [10, 100, 10, 7, 7]

Euler binary power accumulate1 := mul(10, 7)

Euler binary power accumulate1 = 70

Euler binary power square1 := mul(7, 7)

Euler binary power square1 = 49

source roles = [1, [10, 7, 7], 31, 10, 15]

derived = [70, 49, 8, 18, 3]

Euler binary power accumulate2 := mul(8, 18)

Euler binary power accumulate2 = 144

Euler binary power square2 := mul(18, 18)

Euler binary power square2 = 324

source roles = [2, [8, 18, 3], 31, 10, 15]

derived = [144, 324, 20, 14, 1]

Euler binary power accumulate3 := mul(20, 14)

Euler binary power accumulate3 = 280

Euler binary power square3 := mul(14, 14)

Euler binary power square3 = 196

source roles = [3, [20, 14, 1], 31, 10, 15]

derived = [280, 196, 1, 10, 0]

source roles = [31, [14, 17], 1, 1]

derived = [1, 是, one finite instance is not a general theorem proof]

逐步反向核對

• S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S049 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler binary power square3，不以小數近似替代。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler binary power accumulate3，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler binary power square2，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler binary power accumulate2，不以小數近似替代。
• S043 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler binary power square1，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler binary power accumulate1，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler binary power square0，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler binary power accumulate0，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate30，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate29，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate28，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate27，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate26，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate25，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate24，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate23，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate22，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate21，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate20，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate19，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate18，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate17，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate16，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate15，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate14，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate13，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate12，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate11，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate10，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate9，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate8，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate7，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate6，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate5，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate4，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate3，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate2，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate1，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL signed a minus modulus multiple，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL signed quotient times modulus，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(31, 10, 10, 是, 是, odd_prime_and_nonzero_modular_class_qualified)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。