第 24177 題：Euler二次剩餘判準

原題與已知條件

odd prime、nonzero class、complete square table與independent repeated-squaring。操作=eulercrit-residue-nonresidue-cases；資料={"prime":5,"a":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — odd prime、nonzero class、complete square table與independent repeated-squaring。操作=eulercrit-residue-nonresidue-cases；資料={"prime":5,"a":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-euler-criterion-quadratic-residue

逐步推導

source roles = [eulercrit-residue-nonresidue-cases]

derived = [[prime, normalized_class, classification, nonzero_roots, Legendre_symbol, signed_power, equal, certificate]]

source roles = [5]

derived = [[[2, 1]], 是]

Euler ORIGINAL signed quotient times modulus := mul(0, 5)

Euler ORIGINAL signed quotient times modulus = 0

Euler ORIGINAL signed a minus modulus multiple := sub(2, 0)

Euler ORIGINAL signed a minus modulus multiple = 2

source roles = [2, 5, 0]

derived = [2, 是]

source roles = [5, 2, 2]

derived = [是, 是]

Euler square root candidate1 := mul(1, 1)

Euler square root candidate1 = 1

Euler square root candidate2 := mul(2, 2)

Euler square root candidate2 = 4

Euler square root candidate3 := mul(3, 3)

Euler square root candidate3 = 9

Euler square root candidate4 := mul(4, 4)

Euler square root candidate4 = 16

source roles = [5, 2]

derived = [[[1, 1], [2, 4], [3, 4], [4, 1]], [], -1]

Euler binary power square0 := mul(2, 2)

Euler binary power square0 = 4

source roles = [0, [1, 2, 2], 5, 2, 2]

derived = [null, 4, 1, 4, 1]

Euler binary power accumulate1 := mul(1, 4)

Euler binary power accumulate1 = 4

Euler binary power square1 := mul(4, 4)

Euler binary power square1 = 16

source roles = [1, [1, 4, 1], 5, 2, 2]

derived = [4, 16, 4, 1, 0]

source roles = [5, [], -1, 4]

derived = [-1, 是, one finite instance is not a general theorem proof]

逐步反向核對

• S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler binary power square1，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler binary power accumulate1，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler binary power square0，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate4，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate3，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate2，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate1，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL signed a minus modulus multiple，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL signed quotient times modulus，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(5, 2, quadratic_nonresidue, [], -1, -1, 是, nonresidue_maps_to_minus_one)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。