第 24193 題：Euler二次剩餘判準

原題與已知條件

odd prime、nonzero class、complete square table與independent repeated-squaring。操作=eulercrit-residue-nonresidue-cases；資料={"prime":67,"a":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — odd prime、nonzero class、complete square table與independent repeated-squaring。操作=eulercrit-residue-nonresidue-cases；資料={"prime":67,"a":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-euler-criterion-quadratic-residue

逐步推導

source roles = [eulercrit-residue-nonresidue-cases]

derived = [[prime, normalized_class, classification, nonzero_roots, Legendre_symbol, signed_power, equal, certificate]]

source roles = [67]

derived = [[[2, 1], [3, 1], [4, 3], [5, 2], [6, 1], [7, 4], [8, 3]], 是]

Euler ORIGINAL signed quotient times modulus := mul(0, 67)

Euler ORIGINAL signed quotient times modulus = 0

Euler ORIGINAL signed a minus modulus multiple := sub(2, 0)

Euler ORIGINAL signed a minus modulus multiple = 2

source roles = [2, 67, 0]

derived = [2, 是]

source roles = [67, 2, 2]

derived = [是, 是]

Euler square root candidate1 := mul(1, 1)

Euler square root candidate1 = 1

Euler square root candidate2 := mul(2, 2)

Euler square root candidate2 = 4

Euler square root candidate3 := mul(3, 3)

Euler square root candidate3 = 9

Euler square root candidate4 := mul(4, 4)

Euler square root candidate4 = 16

Euler square root candidate5 := mul(5, 5)

Euler square root candidate5 = 25

Euler square root candidate6 := mul(6, 6)

Euler square root candidate6 = 36

Euler square root candidate7 := mul(7, 7)

Euler square root candidate7 = 49

Euler square root candidate8 := mul(8, 8)

Euler square root candidate8 = 64

Euler square root candidate9 := mul(9, 9)

Euler square root candidate9 = 81

Euler square root candidate10 := mul(10, 10)

Euler square root candidate10 = 100

Euler square root candidate11 := mul(11, 11)

Euler square root candidate11 = 121

Euler square root candidate12 := mul(12, 12)

Euler square root candidate12 = 144

Euler square root candidate13 := mul(13, 13)

Euler square root candidate13 = 169

Euler square root candidate14 := mul(14, 14)

Euler square root candidate14 = 196

Euler square root candidate15 := mul(15, 15)

Euler square root candidate15 = 225

Euler square root candidate16 := mul(16, 16)

Euler square root candidate16 = 256

Euler square root candidate17 := mul(17, 17)

Euler square root candidate17 = 289

Euler square root candidate18 := mul(18, 18)

Euler square root candidate18 = 324

Euler square root candidate19 := mul(19, 19)

Euler square root candidate19 = 361

Euler square root candidate20 := mul(20, 20)

Euler square root candidate20 = 400

Euler square root candidate21 := mul(21, 21)

Euler square root candidate21 = 441

Euler square root candidate22 := mul(22, 22)

Euler square root candidate22 = 484

Euler square root candidate23 := mul(23, 23)

Euler square root candidate23 = 529

Euler square root candidate24 := mul(24, 24)

Euler square root candidate24 = 576

Euler square root candidate25 := mul(25, 25)

Euler square root candidate25 = 625

Euler square root candidate26 := mul(26, 26)

Euler square root candidate26 = 676

Euler square root candidate27 := mul(27, 27)

Euler square root candidate27 = 729

Euler square root candidate28 := mul(28, 28)

Euler square root candidate28 = 784

Euler square root candidate29 := mul(29, 29)

Euler square root candidate29 = 841

Euler square root candidate30 := mul(30, 30)

Euler square root candidate30 = 900

Euler square root candidate31 := mul(31, 31)

Euler square root candidate31 = 961

Euler square root candidate32 := mul(32, 32)

Euler square root candidate32 = 1024

Euler square root candidate33 := mul(33, 33)

Euler square root candidate33 = 1089

Euler square root candidate34 := mul(34, 34)

Euler square root candidate34 = 1156

Euler square root candidate35 := mul(35, 35)

Euler square root candidate35 = 1225

Euler square root candidate36 := mul(36, 36)

Euler square root candidate36 = 1296

Euler square root candidate37 := mul(37, 37)

Euler square root candidate37 = 1369

Euler square root candidate38 := mul(38, 38)

Euler square root candidate38 = 1444

Euler square root candidate39 := mul(39, 39)

Euler square root candidate39 = 1521

Euler square root candidate40 := mul(40, 40)

Euler square root candidate40 = 1600

Euler square root candidate41 := mul(41, 41)

Euler square root candidate41 = 1681

Euler square root candidate42 := mul(42, 42)

Euler square root candidate42 = 1764

Euler square root candidate43 := mul(43, 43)

Euler square root candidate43 = 1849

Euler square root candidate44 := mul(44, 44)

Euler square root candidate44 = 1936

Euler square root candidate45 := mul(45, 45)

Euler square root candidate45 = 2025

Euler square root candidate46 := mul(46, 46)

Euler square root candidate46 = 2116

Euler square root candidate47 := mul(47, 47)

Euler square root candidate47 = 2209

Euler square root candidate48 := mul(48, 48)

Euler square root candidate48 = 2304

Euler square root candidate49 := mul(49, 49)

Euler square root candidate49 = 2401

Euler square root candidate50 := mul(50, 50)

Euler square root candidate50 = 2500

Euler square root candidate51 := mul(51, 51)

Euler square root candidate51 = 2601

Euler square root candidate52 := mul(52, 52)

Euler square root candidate52 = 2704

Euler square root candidate53 := mul(53, 53)

Euler square root candidate53 = 2809

Euler square root candidate54 := mul(54, 54)

Euler square root candidate54 = 2916

Euler square root candidate55 := mul(55, 55)

Euler square root candidate55 = 3025

Euler square root candidate56 := mul(56, 56)

Euler square root candidate56 = 3136

Euler square root candidate57 := mul(57, 57)

Euler square root candidate57 = 3249

Euler square root candidate58 := mul(58, 58)

Euler square root candidate58 = 3364

Euler square root candidate59 := mul(59, 59)

Euler square root candidate59 = 3481

Euler square root candidate60 := mul(60, 60)

Euler square root candidate60 = 3600

Euler square root candidate61 := mul(61, 61)

Euler square root candidate61 = 3721

Euler square root candidate62 := mul(62, 62)

Euler square root candidate62 = 3844

Euler square root candidate63 := mul(63, 63)

Euler square root candidate63 = 3969

Euler square root candidate64 := mul(64, 64)

Euler square root candidate64 = 4096

Euler square root candidate65 := mul(65, 65)

Euler square root candidate65 = 4225

Euler square root candidate66 := mul(66, 66)

Euler square root candidate66 = 4356

source roles = [67, 2]

derived = [[[1, 1], [2, 4], [3, 9], [4, 16], [5, 25], [6, 36], [7, 49], [8, 64], [9, 14], [10, 33], [11, 54], [12, 10], [13, 35], [14, 62], [15, 24], [16, 55], [17, 21], [18, 56], [19, 26], [20, 65], [21, 39], [22, 15], [23, 60], [24, 40], [25, 22], [26, 6], [27, 59], [28, 47], [29, 37], [30, 29], [31, 23], [32, 19], [33, 17], [34, 17], [35, 19], [36, 23], [37, 29], [38, 37], [39, 47], [40, 59], [41, 6], [42, 22], [43, 40], [44, 60], [45, 15], [46, 39], [47, 65], [48, 26], [49, 56], [50, 21], [51, 55], [52, 24], [53, 62], [54, 35], [55, 10], [56, 54], [57, 33], [58, 14], [59, 64], [60, 49], [61, 36], [62, 25], [63, 16], [64, 9], [65, 4], [66, 1]], [], -1]

Euler binary power accumulate0 := mul(1, 2)

Euler binary power accumulate0 = 2

Euler binary power square0 := mul(2, 2)

Euler binary power square0 = 4

source roles = [0, [1, 2, 33], 67, 2, 33]

derived = [2, 4, 2, 4, 16]

Euler binary power square1 := mul(4, 4)

Euler binary power square1 = 16

source roles = [1, [2, 4, 16], 67, 2, 33]

derived = [null, 16, 2, 16, 8]

Euler binary power square2 := mul(16, 16)

Euler binary power square2 = 256

source roles = [2, [2, 16, 8], 67, 2, 33]

derived = [null, 256, 2, 55, 4]

Euler binary power square3 := mul(55, 55)

Euler binary power square3 = 3025

source roles = [3, [2, 55, 4], 67, 2, 33]

derived = [null, 3025, 2, 10, 2]

Euler binary power square4 := mul(10, 10)

Euler binary power square4 = 100

source roles = [4, [2, 10, 2], 67, 2, 33]

derived = [null, 100, 2, 33, 1]

Euler binary power accumulate5 := mul(2, 33)

Euler binary power accumulate5 = 66

Euler binary power square5 := mul(33, 33)

Euler binary power square5 = 1089

source roles = [5, [2, 33, 1], 67, 2, 33]

derived = [66, 1089, 66, 17, 0]

source roles = [67, [], -1, 66]

derived = [-1, 是, one finite instance is not a general theorem proof]

逐步反向核對

• S088 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S087 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S086 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler binary power square5，不以小數近似替代。
• S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler binary power accumulate5，不以小數近似替代。
• S084 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler binary power square4，不以小數近似替代。
• S082 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler binary power square3，不以小數近似替代。
• S080 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler binary power square2，不以小數近似替代。
• S078 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler binary power square1，不以小數近似替代。
• S076 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler binary power square0，不以小數近似替代。
• S074 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler binary power accumulate0，不以小數近似替代。
• S073 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate66，不以小數近似替代。
• S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate65，不以小數近似替代。
• S070 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate64，不以小數近似替代。
• S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate63，不以小數近似替代。
• S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate62，不以小數近似替代。
• S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate61，不以小數近似替代。
• S066 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate60，不以小數近似替代。
• S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate59，不以小數近似替代。
• S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate58，不以小數近似替代。
• S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate57，不以小數近似替代。
• S062 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate56，不以小數近似替代。
• S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate55，不以小數近似替代。
• S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate54，不以小數近似替代。
• S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate53，不以小數近似替代。
• S058 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate52，不以小數近似替代。
• S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate51，不以小數近似替代。
• S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate50，不以小數近似替代。
• S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate49，不以小數近似替代。
• S054 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate48，不以小數近似替代。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate47，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate46，不以小數近似替代。
• S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate45，不以小數近似替代。
• S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate44，不以小數近似替代。
• S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate43，不以小數近似替代。
• S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate42，不以小數近似替代。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate41，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate40，不以小數近似替代。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate39，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate38，不以小數近似替代。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate37，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate36，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate35，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate34，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate33，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate32，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate31，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate30，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate29，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate28，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate27，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate26，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate25，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate24，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate23，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate22，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate21，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate20，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate19，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate18，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate17，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate16，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate15，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate14，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate13，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate12，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate11，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate10，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate9，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate8，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate7，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate6，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate5，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate4，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate3，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate2，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler square root candidate1，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL signed a minus modulus multiple，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL signed quotient times modulus，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(67, 2, quadratic_nonresidue, [], -1, -1, 是, nonresidue_maps_to_minus_one)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。