第 24112 題：Euler二次剩餘判準

原題與已知條件

odd prime、nonzero class、complete square table與independent repeated-squaring。操作=eulercrit-domain-boundary；資料={"mode":"zero_class","modulus":41,"a":492}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — odd prime、nonzero class、complete square table與independent repeated-squaring。操作=eulercrit-domain-boundary；資料={"mode":"zero_class","modulus":41,"a":492}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-euler-criterion-quadratic-residue

逐步推導

source roles = [eulercrit-domain-boundary]

derived = [[mode, modulus, normalized_class, declared_domain_qualified, boundary]]

source roles = [41]

derived = [[[2, 1], [3, 2], [4, 1], [5, 1], [6, 5]], 是]

Euler ORIGINAL signed quotient times modulus := mul(12, 41)

Euler ORIGINAL signed quotient times modulus = 492

Euler ORIGINAL signed a minus modulus multiple := sub(492, 492)

Euler ORIGINAL signed a minus modulus multiple = 0

source roles = [492, 41, 12]

derived = [0, 是]

source roles = [zero_class, 41, 0, 是]

derived = [否, odd prime AND nonzero modular class required]

逐步反向核對

• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL signed a minus modulus multiple，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Euler ORIGINAL signed quotient times modulus，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(zero_class, 41, 0, 否, Euler_criterion_requires_an_odd_prime_and_a_nonzero_class_and_does_not_define_the_Legendre_symbol)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。