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第 24928 題：有限群同態的核

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0048-24928 · q-20261015-advance-20261114-r01-finite-group-homomorphism-kernel-0003

原題與已知條件

完整來源／目標Cayley table與complete total map逐對同態核對。操作=kernel-homomorphism-qualification；資料={"source_table":[[0,1,2,3,4],[1,2,3,4,0],[2,3,4,0,1],[3,4,0,1,2],[4,0,1,2,3]],"source_identity":0,"target_table":[[0,1,2,3,4],[1,2,3,4,0],[2,3,4,0,1],[3,4,0,1,2],[4,0,1,2,3]],"target_identity":0,"mapping":[0,4,3,2,1]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

  • G001 — 完整來源／目標Cayley table與complete total map逐對同態核對。操作=kernel-homomorphism-qualification；資料={"source_table":[[0,1,2,3,4],[1,2,3,4,0],[2,3,4,0,1],[3,4,0,1,2],[4,0,1,2,3]],"source_identity":0,"target_table":[[0,1,2,3,4],[1,2,3,4,0],[2,3,4,0,1],[3,4,0,1,2],[4,0,1,2,3]],"target_identity":0,"mapping":[0,4,3,2,1]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [kernel-homomorphism-qualification]

操作後

derived = [[source_order, target_order, mapping, product_law_rows, homomorphism, first_failed_pair_or_null, certificate]]

條件：無

直接列來源完整欄序，不需JavaScript；原題、布林旗標、數學物件與非聲稱保持分層。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source roles = [Kernel ORIGINAL SOURCE group, 64, [[0, 1, 2, 3, 4], [1, 2, 3, 4, 0], [2, 3, 4, 0, 1], [3, 4, 0, 1, 2], [4, 0, 1, 2, 3]], 0]

操作後

derived = [5, [[0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2], [3, 3, 3, 3], [4, 4, 4, 4]], 是]

條件：無

先驗完整n×n閉合表與實際identity標籤，非預設0。mod44上限32，mod45上限64；同一carrier不能混入另一表。

步驟識別與依賴

規則：Group_complete_Cayley_signature_actual_identity · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

source roles = [Kernel ORIGINAL SOURCE group, 5, FOR EVERY x,y,z in0..n-1]

操作後

derived = [[[是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是]], 125, 是]

條件：無

矩陣(x,y)逐全部z核(xy)z=x(yz)，故涵蓋全部n³三元組，不是抽樣。表已在前步完整列出，不重印數百萬同義查表項。

步驟識別與依賴

規則：Group_ALL_associativity_triples_compact_complete_pair_matrix · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

source roles = [Kernel ORIGINAL SOURCE group, 0]

操作後

derived = [[0, 4, 3, 2, 1], [[0, 0, 0, 0], [1, 4, 0, 0], [2, 3, 0, 0], [3, 2, 0, 0], [4, 1, 0, 0]], 是]

條件：無

每個元素的左、右逆都要回到同一實際identity；結合律使兩側逆唯一。這才完成群前提。

步驟識別與依賴

規則：Group_ALL_two_sided_inverses · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

source roles = [Kernel ORIGINAL TARGET group, 64, [[0, 1, 2, 3, 4], [1, 2, 3, 4, 0], [2, 3, 4, 0, 1], [3, 4, 0, 1, 2], [4, 0, 1, 2, 3]], 0]

操作後

derived = [5, [[0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2], [3, 3, 3, 3], [4, 4, 4, 4]], 是]

條件：無

先驗完整n×n閉合表與實際identity標籤，非預設0。mod44上限32，mod45上限64；同一carrier不能混入另一表。

步驟識別與依賴

規則：Group_complete_Cayley_signature_actual_identity · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source roles = [Kernel ORIGINAL TARGET group, 5, FOR EVERY x,y,z in0..n-1]

操作後

derived = [[[是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是]], 125, 是]

條件：無

矩陣(x,y)逐全部z核(xy)z=x(yz)，故涵蓋全部n³三元組，不是抽樣。表已在前步完整列出，不重印數百萬同義查表項。

步驟識別與依賴

規則：Group_ALL_associativity_triples_compact_complete_pair_matrix · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

source roles = [Kernel ORIGINAL TARGET group, 0]

操作後

derived = [[0, 4, 3, 2, 1], [[0, 0, 0, 0], [1, 4, 0, 0], [2, 3, 0, 0], [3, 2, 0, 0], [4, 1, 0, 0]], 是]

條件：無

每個元素的左、右逆都要回到同一實際identity；結合律使兩側逆唯一。這才完成群前提。

步驟識別與依賴

規則：Group_ALL_two_sided_inverses · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

source roles = [[[0, 1, 2, 3, 4], [1, 2, 3, 4, 0], [2, 3, 4, 0, 1], [3, 4, 0, 1, 2], [4, 0, 1, 2, 3]], [[0, 1, 2, 3, 4], [1, 2, 3, 4, 0], [2, 3, 4, 0, 1], [3, 4, 0, 1, 2], [4, 0, 1, 2, 3]], [0, 4, 3, 2, 1]]

操作後

derived = [[[0, 0, 0, 0, 是], [0, 1, 4, 4, 是], [0, 2, 3, 3, 是], [0, 3, 2, 2, 是], [0, 4, 1, 1, 是], [1, 0, 4, 4, 是], [1, 1, 3, 3, 是], [1, 2, 2, 2, 是], [1, 3, 1, 1, 是], [1, 4, 0, 0, 是], [2, 0, 3, 3, 是], [2, 1, 2, 2, 是], [2, 2, 1, 1, 是], [2, 3, 0, 0, 是], [2, 4, 4, 4, 是], [3, 0, 2, 2, 是], [3, 1, 1, 1, 是], [3, 2, 0, 0, 是], [3, 3, 4, 4, 是], [3, 4, 3, 3, 是], [4, 0, 1, 1, 是], [4, 1, 0, 0, 是], [4, 2, 4, 4, 是], [4, 3, 3, 3, 是], [4, 4, 2, 2, 是]], 是, null]

條件：無

先對同一source/target每對(x,y)驗f(xy)=f(x)f(y)，保首failed row/null。total map不是homomorphism；失敗即擋所有kernel定理，不把內部fallback當真正identity preimage。

步驟識別與依賴

規則：Kernel_complete_TOTAL_map_ALL_product_pairs_before_theorems · 依賴：G001, S007

逐步反向核對

  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(5, 5, [0, 4, 3, 2, 1], [[0, 0, 0, 0, 是], [0, 1, 4, 4, 是], [0, 2, 3, 3, 是], [0, 3, 2, 2, 是], [0, 4, 1, 1, 是], [1, 0, 4, 4, 是], [1, 1, 3, 3, 是], [1, 2, 2, 2, 是], [1, 3, 1, 1, 是], [1, 4, 0, 0, 是], [2, 0, 3, 3, 是], [2, 1, 2, 2, 是], [2, 2, 1, 1, 是], [2, 3, 0, 0, 是], [2, 4, 4, 4, 是], [3, 0, 2, 2, 是], [3, 1, 1, 1, 是], [3, 2, 0, 0, 是], [3, 3, 4, 4, 是], [3, 4, 3, 3, 是], [4, 0, 1, 1, 是], [4, 1, 0, 0, 是], [4, 2, 4, 4, 是], [4, 3, 3, 3, 是], [4, 4, 2, 2, 是]], 是, null, complete_total_map_satisfies_every_product_pair)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 88ccbbcec88039bbe4f1e6455e64ae84059cabacb8770778d3be6aa3593a8f3a
  • candidate record SHA-256: 90df4c5643a95ae3797ff44653aaa25053be5408ea4e120ac40615aa2defaabf
  • semantic review receipt SHA-256: 049a9e07e69fead88d93b34f0937b9470a06d71c1a8d097058fc83554529bdd0
  • question-first witness SHA-256: 0c71ebb418f3de347d232d159fc25e93036f4ab9166bcfb5ee5b4be86d5c55b9
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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