第 24982 題：有限群同態的核

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原題與已知條件
定義與適用範圍
逐步推導
逐步反向核對
結論
本題覆核與來源綁定

R0048-24982 · q-20261015-advance-20261114-r01-finite-group-homomorphism-kernel-0082

原題與已知條件

完整來源／目標Cayley table與complete total map逐對同態核對。操作=kernel-trivial-injective-boundary；資料={"source_table":[[0,1,2,3,4,5,6,7,8],[1,2,3,4,5,6,7,8,0],[2,3,4,5,6,7,8,0,1],[3,4,5,6,7,8,0,1,2],[4,5,6,7,8,0,1,2,3],[5,6,7,8,0,1,2,3,4],[6,7,8,0,1,2,3,4,5],[7,8,0,1,2,3,4,5,6],[8,0,1,2,3,4,5,6,7]],"source_identity":0,"target_table":[[0,1,2,3,4,5,6,7,8],[1,2,3,4,5,6,7,8,0],[2,3,4,5,6,7,8,0,1],[3,4,5,6,7,8,0,1,2],[4,5,6,7,8,0,1,2,3],[5,6,7,8,0,1,2,3,4],[6,7,8,0,1,2,3,4,5],[7,8,0,1,2,3,4,5,6],[8,0,1,2,3,4,5,6,7]],"target_identity":0,"mapping":[0,1,2,3,4,5,6,7,8]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

G001 — 完整來源／目標Cayley table與complete total map逐對同態核對。操作=kernel-trivial-injective-boundary；資料={"source_table":[[0,1,2,3,4,5,6,7,8],[1,2,3,4,5,6,7,8,0],[2,3,4,5,6,7,8,0,1],[3,4,5,6,7,8,0,1,2],[4,5,6,7,8,0,1,2,3],[5,6,7,8,0,1,2,3,4],[6,7,8,0,1,2,3,4,5],[7,8,0,1,2,3,4,5,6],[8,0,1,2,3,4,5,6,7]],"source_identity":0,"target_table":[[0,1,2,3,4,5,6,7,8],[1,2,3,4,5,6,7,8,0],[2,3,4,5,6,7,8,0,1],[3,4,5,6,7,8,0,1,2],[4,5,6,7,8,0,1,2,3],[5,6,7,8,0,1,2,3,4],[6,7,8,0,1,2,3,4,5],[7,8,0,1,2,3,4,5,6],[8,0,1,2,3,4,5,6,7]],"target_identity":0,"mapping":[0,1,2,3,4,5,6,7,8]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

mko-finite-group-homomorphism-kernel

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [kernel-trivial-injective-boundary]

操作後

derived = [[kernel, injective, trivial_kernel, equivalence_holds, quotient_or_first_isomorphism_claim, boundary]]

條件：無

直接列來源完整欄序，不需JavaScript；原題、布林旗標、數學物件與非聲稱保持分層。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source roles = [Kernel ORIGINAL SOURCE group, 64, [[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0], [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0, 1], [3, 4, 5, 6, 7, 8, 0, 1, 2], [4, 5, 6, 7, 8, 0, 1, 2, 3], [5, 6, 7, 8, 0, 1, 2, 3, 4], [6, 7, 8, 0, 1, 2, 3, 4, 5], [7, 8, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6], [8, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]], 0]

操作後

derived = [9, [[0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2], [3, 3, 3, 3], [4, 4, 4, 4], [5, 5, 5, 5], [6, 6, 6, 6], [7, 7, 7, 7], [8, 8, 8, 8]], 是]

條件：無

先驗完整n×n閉合表與實際identity標籤，非預設0。mod44上限32，mod45上限64；同一carrier不能混入另一表。

步驟識別與依賴

規則：Group_complete_Cayley_signature_actual_identity · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

source roles = [Kernel ORIGINAL SOURCE group, 9, FOR EVERY x,y,z in0..n-1]

操作後

derived = [[[是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是]], 729, 是]

條件：無

矩陣(x,y)逐全部z核(xy)z=x(yz)，故涵蓋全部n³三元組，不是抽樣。表已在前步完整列出，不重印數百萬同義查表項。

步驟識別與依賴

規則：Group_ALL_associativity_triples_compact_complete_pair_matrix · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

source roles = [Kernel ORIGINAL SOURCE group, 0]

操作後

derived = [[0, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1], [[0, 0, 0, 0], [1, 8, 0, 0], [2, 7, 0, 0], [3, 6, 0, 0], [4, 5, 0, 0], [5, 4, 0, 0], [6, 3, 0, 0], [7, 2, 0, 0], [8, 1, 0, 0]], 是]

條件：無

每個元素的左、右逆都要回到同一實際identity；結合律使兩側逆唯一。這才完成群前提。

步驟識別與依賴

規則：Group_ALL_two_sided_inverses · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

source roles = [Kernel ORIGINAL TARGET group, 64, [[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0], [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0, 1], [3, 4, 5, 6, 7, 8, 0, 1, 2], [4, 5, 6, 7, 8, 0, 1, 2, 3], [5, 6, 7, 8, 0, 1, 2, 3, 4], [6, 7, 8, 0, 1, 2, 3, 4, 5], [7, 8, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6], [8, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]], 0]

操作後

derived = [9, [[0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2], [3, 3, 3, 3], [4, 4, 4, 4], [5, 5, 5, 5], [6, 6, 6, 6], [7, 7, 7, 7], [8, 8, 8, 8]], 是]

條件：無

先驗完整n×n閉合表與實際identity標籤，非預設0。mod44上限32，mod45上限64；同一carrier不能混入另一表。

步驟識別與依賴

規則：Group_complete_Cayley_signature_actual_identity · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source roles = [Kernel ORIGINAL TARGET group, 9, FOR EVERY x,y,z in0..n-1]

操作後

derived = [[[是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是]], 729, 是]

條件：無

矩陣(x,y)逐全部z核(xy)z=x(yz)，故涵蓋全部n³三元組，不是抽樣。表已在前步完整列出，不重印數百萬同義查表項。

步驟識別與依賴

規則：Group_ALL_associativity_triples_compact_complete_pair_matrix · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

source roles = [Kernel ORIGINAL TARGET group, 0]

操作後

derived = [[0, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1], [[0, 0, 0, 0], [1, 8, 0, 0], [2, 7, 0, 0], [3, 6, 0, 0], [4, 5, 0, 0], [5, 4, 0, 0], [6, 3, 0, 0], [7, 2, 0, 0], [8, 1, 0, 0]], 是]

條件：無

每個元素的左、右逆都要回到同一實際identity；結合律使兩側逆唯一。這才完成群前提。

步驟識別與依賴

規則：Group_ALL_two_sided_inverses · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

source roles = [[[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0], [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0, 1], [3, 4, 5, 6, 7, 8, 0, 1, 2], [4, 5, 6, 7, 8, 0, 1, 2, 3], [5, 6, 7, 8, 0, 1, 2, 3, 4], [6, 7, 8, 0, 1, 2, 3, 4, 5], [7, 8, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6], [8, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]], [[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0], [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0, 1], [3, 4, 5, 6, 7, 8, 0, 1, 2], [4, 5, 6, 7, 8, 0, 1, 2, 3], [5, 6, 7, 8, 0, 1, 2, 3, 4], [6, 7, 8, 0, 1, 2, 3, 4, 5], [7, 8, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6], [8, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]], [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]]

操作後

derived = [[[0, 0, 0, 0, 是], [0, 1, 1, 1, 是], [0, 2, 2, 2, 是], [0, 3, 3, 3, 是], [0, 4, 4, 4, 是], [0, 5, 5, 5, 是], [0, 6, 6, 6, 是], [0, 7, 7, 7, 是], [0, 8, 8, 8, 是], [1, 0, 1, 1, 是], [1, 1, 2, 2, 是], [1, 2, 3, 3, 是], [1, 3, 4, 4, 是], [1, 4, 5, 5, 是], [1, 5, 6, 6, 是], [1, 6, 7, 7, 是], [1, 7, 8, 8, 是], [1, 8, 0, 0, 是], [2, 0, 2, 2, 是], [2, 1, 3, 3, 是], [2, 2, 4, 4, 是], [2, 3, 5, 5, 是], [2, 4, 6, 6, 是], [2, 5, 7, 7, 是], [2, 6, 8, 8, 是], [2, 7, 0, 0, 是], [2, 8, 1, 1, 是], [3, 0, 3, 3, 是], [3, 1, 4, 4, 是], [3, 2, 5, 5, 是], [3, 3, 6, 6, 是], [3, 4, 7, 7, 是], [3, 5, 8, 8, 是], [3, 6, 0, 0, 是], [3, 7, 1, 1, 是], [3, 8, 2, 2, 是], [4, 0, 4, 4, 是], [4, 1, 5, 5, 是], [4, 2, 6, 6, 是], [4, 3, 7, 7, 是], [4, 4, 8, 8, 是], [4, 5, 0, 0, 是], [4, 6, 1, 1, 是], [4, 7, 2, 2, 是], [4, 8, 3, 3, 是], [5, 0, 5, 5, 是], [5, 1, 6, 6, 是], [5, 2, 7, 7, 是], [5, 3, 8, 8, 是], [5, 4, 0, 0, 是], [5, 5, 1, 1, 是], [5, 6, 2, 2, 是], [5, 7, 3, 3, 是], [5, 8, 4, 4, 是], [6, 0, 6, 6, 是], [6, 1, 7, 7, 是], [6, 2, 8, 8, 是], [6, 3, 0, 0, 是], [6, 4, 1, 1, 是], [6, 5, 2, 2, 是], [6, 6, 3, 3, 是], [6, 7, 4, 4, 是], [6, 8, 5, 5, 是], [7, 0, 7, 7, 是], [7, 1, 8, 8, 是], [7, 2, 0, 0, 是], [7, 3, 1, 1, 是], [7, 4, 2, 2, 是], [7, 5, 3, 3, 是], [7, 6, 4, 4, 是], [7, 7, 5, 5, 是], [7, 8, 6, 6, 是], [8, 0, 8, 8, 是], [8, 1, 0, 0, 是], [8, 2, 1, 1, 是], [8, 3, 2, 2, 是], [8, 4, 3, 3, 是], [8, 5, 4, 4, 是], [8, 6, 5, 5, 是], [8, 7, 6, 6, 是], [8, 8, 7, 7, 是]], 是, null]

條件：無

先對同一source/target每對(x,y)驗f(xy)=f(x)f(y)，保首failed row/null。total map不是homomorphism；失敗即擋所有kernel定理，不把內部fallback當真正identity preimage。

步驟識別與依賴

規則：Kernel_complete_TOTAL_map_ALL_product_pairs_before_theorems · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

source roles = [[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], 0, 0]

操作後

derived = [[0], 0, 0]

條件：無

kernel逐全部source元素取目標實際identity的preimage。f(e)=f(e)^2在target群消去得f(e)=e_target，故真kernel非空；不能假設target identity=0。

步驟識別與依賴

規則：Kernel_actual_TARGET_identity_complete_preimage · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

source roles = [Kernel ACTUAL identity preimage, [0], 0]

操作後

derived = [是, [[0, 0, 0, 是]], 是, [[0, 0, 是]], 是, 是]

條件：無

H非空且無重複；含identity、任兩元素乘積、每個逆元分別核全域，三者合取才可稱subgroup。order divisibility或有限性不足。

步驟識別與依賴

規則：Subgroup_identity_ALL_products_ALL_inverses_separate · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

source roles = [Kernel ACTUAL identity preimage, 0, [0], 0]

操作後

derived = [[[0, 0, 0, 0]], [0], 是]

條件：無

按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。

步驟識別與依賴

規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

source roles = [Kernel ACTUAL identity preimage, 1, [0], 8]

操作後

derived = [[[0, 1, 8, 0]], [0], 是]

條件：無

按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。

步驟識別與依賴

規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

source roles = [Kernel ACTUAL identity preimage, 2, [0], 7]

操作後

derived = [[[0, 2, 7, 0]], [0], 是]

條件：無

按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。

步驟識別與依賴

規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

source roles = [Kernel ACTUAL identity preimage, 3, [0], 6]

操作後

derived = [[[0, 3, 6, 0]], [0], 是]

條件：無

按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。

步驟識別與依賴

規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

source roles = [Kernel ACTUAL identity preimage, 4, [0], 5]

操作後

derived = [[[0, 4, 5, 0]], [0], 是]

條件：無

按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。

步驟識別與依賴

規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

source roles = [Kernel ACTUAL identity preimage, 5, [0], 4]

操作後

derived = [[[0, 5, 4, 0]], [0], 是]

條件：無

按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。

步驟識別與依賴

規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

source roles = [Kernel ACTUAL identity preimage, 6, [0], 3]

操作後

derived = [[[0, 6, 3, 0]], [0], 是]

條件：無

按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。

步驟識別與依賴

規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

source roles = [Kernel ACTUAL identity preimage, 7, [0], 2]

操作後

derived = [[[0, 7, 2, 0]], [0], 是]

條件：無

按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。

步驟識別與依賴

規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

source roles = [Kernel ACTUAL identity preimage, 8, [0], 1]

操作後

derived = [[[0, 8, 1, 0]], [0], 是]

條件：無

按同一表先乘g*h，再乘g的右逆，遍歷全部h；再對全部g核集合等式，不由取樣或生成元猜normal。

步驟識別與依賴

規則：Subgroup_EVERY_g_entire_conjugate_set · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

source roles = [[0], 是, 0]

操作後

derived = [f(kl)=f(k)f(l)=e, f(k^-1)=f(k)^-1=e, f(gkg^-1)=f(g)e*f(g)^-1=e]

條件：無

乘積、逆元與全g共軛的像都回到target identity，這給一般closure/normality理由，和本題完整枚舉互相核對；不宣稱quotient/isomorphism。

步驟識別與依賴

規則：Kernel_GENERAL_closure_normality_from_homomorphism · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

source roles = [0, [0], [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]]

操作後

derived = [[[0, [0]], [1, [1]], [2, [2]], [3, [3]], [4, [4]], [5, [5]], [6, [6]], [7, [7]], [8, [8]]], 是, 是, 是, 否]

條件：無

若f單射，k∈K給f(k)=f(e)故k=e；若K={e}，f(a)=f(b)給a^-1b=e故a=b。固定No只不提供quotient/第一同構定理聲稱，非否定這個iff或單射。

步驟識別與依賴

規則：Kernel_trivial_actual_identity_iff_injective_NO_quotient_claim · 依賴：G001, S020

逐步反向核對

S021 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([0], 是, 是, 是, 否, trivial_kernel_iff_injective_without_quotient_or_first_isomorphism_claim)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證

input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
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