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第 25652 題：有限群中心

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0050-25652 · q-20261015-advance-20261115-r02-finite-group-center-0052

原題與已知條件

完整Cayley table上的forall-g commutation與center資格。操作=center-normality-audit；資料={"group_table":[[0,1,2,3,4,5,6,7],[1,2,3,0,5,6,7,4],[2,3,0,1,6,7,4,5],[3,0,1,2,7,4,5,6],[4,7,6,5,0,3,2,1],[5,4,7,6,1,0,3,2],[6,5,4,7,2,1,0,3],[7,6,5,4,3,2,1,0]],"identity":0}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

  • G001 — 完整Cayley table上的forall-g commutation與center資格。操作=center-normality-audit；資料={"group_table":[[0,1,2,3,4,5,6,7],[1,2,3,0,5,6,7,4],[2,3,0,1,6,7,4,5],[3,0,1,2,7,4,5,6],[4,7,6,5,0,3,2,1],[5,4,7,6,1,0,3,2],[6,5,4,7,2,1,0,3],[7,6,5,4,3,2,1,0]],"identity":0}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [center-normality-audit]

操作後

derived = [[center, conjugate_rows, normal, certificate]]

條件：無

直接列完整來源欄序，不需JavaScript。LP weak為13欄、zero與strong為15欄，前提與角色依原operation／mode，不補欄。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source roles = [Center ORIGINAL group, [[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [1, 2, 3, 0, 5, 6, 7, 4], [2, 3, 0, 1, 6, 7, 4, 5], [3, 0, 1, 2, 7, 4, 5, 6], [4, 7, 6, 5, 0, 3, 2, 1], [5, 4, 7, 6, 1, 0, 3, 2], [6, 5, 4, 7, 2, 1, 0, 3], [7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]], 0]

操作後

derived = [8, [[0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2], [3, 3, 3, 3], [4, 4, 4, 4], [5, 5, 5, 5], [6, 6, 6, 6], [7, 7, 7, 7]], 是]

條件：無

完整closed Cayley table與實際identity先資格核對，群階可到64，不假設identity0。

步驟識別與依賴

規則：Group_complete_table_actual_identity_bound64 · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

source roles = [Center ORIGINAL group, 8, 0]

操作後

derived = [[[是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是]], 512, [0, 3, 2, 1, 4, 5, 6, 7]]

條件：無

每pair格逐全部第三元素核結合律，完整n³而非抽樣；inverse同時左右回實際identity。

步驟識別與依賴

規則：Group_ALL_triples_compact_pair_matrix_and_ALL_inverses · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

source roles = [0, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]]

操作後

derived = [[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], 是]

條件：無

逐z比較zg與gz的完整row，不以某一g的centralizer代替Z(G)。

步驟識別與依賴

規則：Center_EVERY_z_commutes_against_EVERY_g · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

source roles = [1, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]]

操作後

derived = [[1, 2, 3, 0, 5, 6, 7, 4], [1, 2, 3, 0, 7, 4, 5, 6], [是, 是, 是, 是, 否, 否, 否, 否], 否]

條件：無

逐z比較zg與gz的完整row，不以某一g的centralizer代替Z(G)。

步驟識別與依賴

規則：Center_EVERY_z_commutes_against_EVERY_g · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source roles = [2, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]]

操作後

derived = [[2, 3, 0, 1, 6, 7, 4, 5], [2, 3, 0, 1, 6, 7, 4, 5], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], 是]

條件：無

逐z比較zg與gz的完整row，不以某一g的centralizer代替Z(G)。

步驟識別與依賴

規則：Center_EVERY_z_commutes_against_EVERY_g · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

source roles = [3, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]]

操作後

derived = [[3, 0, 1, 2, 7, 4, 5, 6], [3, 0, 1, 2, 5, 6, 7, 4], [是, 是, 是, 是, 否, 否, 否, 否], 否]

條件：無

逐z比較zg與gz的完整row，不以某一g的centralizer代替Z(G)。

步驟識別與依賴

規則：Center_EVERY_z_commutes_against_EVERY_g · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

source roles = [4, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]]

操作後

derived = [[4, 7, 6, 5, 0, 3, 2, 1], [4, 5, 6, 7, 0, 1, 2, 3], [是, 否, 是, 否, 是, 否, 是, 否], 否]

條件：無

逐z比較zg與gz的完整row，不以某一g的centralizer代替Z(G)。

步驟識別與依賴

規則：Center_EVERY_z_commutes_against_EVERY_g · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

source roles = [5, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]]

操作後

derived = [[5, 4, 7, 6, 1, 0, 3, 2], [5, 6, 7, 4, 3, 0, 1, 2], [是, 否, 是, 否, 否, 是, 否, 是], 否]

條件：無

逐z比較zg與gz的完整row，不以某一g的centralizer代替Z(G)。

步驟識別與依賴

規則：Center_EVERY_z_commutes_against_EVERY_g · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

source roles = [6, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]]

操作後

derived = [[6, 5, 4, 7, 2, 1, 0, 3], [6, 7, 4, 5, 2, 3, 0, 1], [是, 否, 是, 否, 是, 否, 是, 否], 否]

條件：無

逐z比較zg與gz的完整row，不以某一g的centralizer代替Z(G)。

步驟識別與依賴

規則：Center_EVERY_z_commutes_against_EVERY_g · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

source roles = [7, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]]

操作後

derived = [[7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0], [7, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 0], [是, 否, 是, 否, 否, 是, 否, 是], 否]

條件：無

逐z比較zg與gz的完整row，不以某一g的centralizer代替Z(G)。

步驟識別與依賴

規則：Center_EVERY_z_commutes_against_EVERY_g · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

source roles = [Center ACTUAL Z, [0, 2], 0]

操作後

derived = [是, [[0, 0, 0, 是], [0, 2, 2, 是], [2, 0, 2, 是], [2, 2, 0, 是]], 是, [[0, 0, 是], [2, 2, 是]], 是, 是, [[0, [0, 2], 是], [1, [0, 2], 是], [2, [0, 2], 是], [3, [0, 2], 是], [4, [0, 2], 是], [5, [0, 2], 是], [6, [0, 2], 是], [7, [0, 2], 是]], 是]

條件：無

含identity、全部product與inverse closure各核，三者合取才成subgroup；再逐全部g驗normal。即使某map失敗，這些實際property仍可分別True，不由定理名稱填旗標。

步驟識別與依賴

規則：Subgroup_actual_identity_product_inverse_ALL_conjugates · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

source roles = [[0, 2], [[是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 否, 否, 否, 否], [是, 是, 是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 否, 否, 否, 否], [是, 否, 是, 否, 是, 否, 是, 否], [是, 否, 是, 否, 否, 是, 否, 是], [是, 否, 是, 否, 是, 否, 是, 否], [是, 否, 是, 否, 否, 是, 否, 是]]]

操作後

derived = [是, 是, central z: g*z*g^-1=z for EVERY g]

條件：無

identity與每個g交換；z,w都與所有g交換則zw亦然，z^-1亦然。gz=zg右乘g^-1得gzg^-1=z，故每個central元素逐點固定而normal。不宣稱characteristic或class equation。

步驟識別與依賴

規則：Center_GENERAL_closure_and_pointwise_fixed_conjugation · 依賴：G001, S012

逐步反向核對

  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([0, 2], [[0, [0, 2], 是], [1, [0, 2], 是], [2, [0, 2], 是], [3, [0, 2], 是], [4, [0, 2], 是], [5, [0, 2], 是], [6, [0, 2], 是], [7, [0, 2], 是]], 是, every_conjugate_of_a_central_element_remains_the_same_central_element)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 743e68ec5449f0f54f0864f8e1111f4d929940b2eb51ee7541ff8cc35a7204a9
  • candidate record SHA-256: d3c75bec45bdb177bb71beccd1dc8d1080dc043dd62e2ea4e21740a0ba14625a
  • semantic review receipt SHA-256: 74c63a2c12285a3b2073f8d9f102bc2ba5fb7ed890c5b7c3b8afa94f032eda82
  • question-first witness SHA-256: 6d56428610f8e86c45fd00a2ad3b27ad9c052956946f0b91d71a68536f79d95f
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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