R0050-25601 · q-20261015-advance-20261115-r02-finite-group-center-0076
完整Cayley table上的forall-g commutation與center資格。操作=center-abelian-conjugacy-boundary；資料={"group_table":[[0,1,2,3,4,5],[1,2,0,4,5,3],[2,0,1,5,3,4],[3,5,4,0,2,1],[4,3,5,1,0,2],[5,4,3,2,1,0]],"identity":0,"element":3}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。
G001 — 完整Cayley table上的forall-g commutation與center資格。操作=center-abelian-conjugacy-boundary；資料={"group_table":[[0,1,2,3,4,5],[1,2,0,4,5,3],[2,0,1,5,3,4],[3,5,4,0,2,1],[4,3,5,1,0,2],[5,4,3,2,1,0]],"identity":0,"element":3}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [center-abelian-conjugacy-boundary]
操作後
derived = [[element, central, conjugacy_class, singleton_class, central_singleton_equivalence, center, abelian, center_equals_group, abelian_center_equivalence, noncommuting_element_or_null, boundary]]
條件：無
直接列完整來源欄序，不需JavaScript。LP weak為13欄、zero與strong為15欄，前提與角色依原operation／mode，不補欄。
規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001
操作前
source roles = [Center ORIGINAL group, [[0, 1, 2, 3, 4, 5], [1, 2, 0, 4, 5, 3], [2, 0, 1, 5, 3, 4], [3, 5, 4, 0, 2, 1], [4, 3, 5, 1, 0, 2], [5, 4, 3, 2, 1, 0]], 0]
操作後
derived = [6, [[0, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 1], [2, 2, 2, 2], [3, 3, 3, 3], [4, 4, 4, 4], [5, 5, 5, 5]], 是]
條件：無
完整closed Cayley table與實際identity先資格核對，群階可到64，不假設identity0。
規則：Group_complete_table_actual_identity_bound64 · 依賴：G001, S001
操作前
source roles = [Center ORIGINAL group, 6, 0]
操作後
derived = [[[是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 是, 是, 是]], 216, [0, 2, 1, 3, 4, 5]]
條件：無
每pair格逐全部第三元素核結合律，完整n³而非抽樣；inverse同時左右回實際identity。
規則：Group_ALL_triples_compact_pair_matrix_and_ALL_inverses · 依賴：G001, S002
操作前
source roles = [0, [0, 1, 2, 3, 4, 5]]
操作後
derived = [[0, 1, 2, 3, 4, 5], [0, 1, 2, 3, 4, 5], [是, 是, 是, 是, 是, 是], 是]
條件：無
逐z比較zg與gz的完整row，不以某一g的centralizer代替Z(G)。
規則：Center_EVERY_z_commutes_against_EVERY_g · 依賴：G001, S003
操作前
source roles = [1, [0, 1, 2, 3, 4, 5]]
操作後
derived = [[1, 2, 0, 4, 5, 3], [1, 2, 0, 5, 3, 4], [是, 是, 是, 否, 否, 否], 否]
條件：無
逐z比較zg與gz的完整row，不以某一g的centralizer代替Z(G)。
規則：Center_EVERY_z_commutes_against_EVERY_g · 依賴：G001, S004
操作前
source roles = [2, [0, 1, 2, 3, 4, 5]]
操作後
derived = [[2, 0, 1, 5, 3, 4], [2, 0, 1, 4, 5, 3], [是, 是, 是, 否, 否, 否], 否]
條件：無
逐z比較zg與gz的完整row，不以某一g的centralizer代替Z(G)。
規則：Center_EVERY_z_commutes_against_EVERY_g · 依賴：G001, S005
操作前
source roles = [3, [0, 1, 2, 3, 4, 5]]
操作後
derived = [[3, 5, 4, 0, 2, 1], [3, 4, 5, 0, 1, 2], [是, 否, 否, 是, 否, 否], 否]
條件：無
逐z比較zg與gz的完整row，不以某一g的centralizer代替Z(G)。
規則：Center_EVERY_z_commutes_against_EVERY_g · 依賴：G001, S006
操作前
source roles = [4, [0, 1, 2, 3, 4, 5]]
操作後
derived = [[4, 3, 5, 1, 0, 2], [4, 5, 3, 2, 0, 1], [是, 否, 否, 否, 是, 否], 否]
條件：無
逐z比較zg與gz的完整row，不以某一g的centralizer代替Z(G)。
規則：Center_EVERY_z_commutes_against_EVERY_g · 依賴：G001, S007
操作前
source roles = [5, [0, 1, 2, 3, 4, 5]]
操作後
derived = [[5, 4, 3, 2, 1, 0], [5, 3, 4, 1, 2, 0], [是, 否, 否, 否, 否, 是], 否]
條件：無
逐z比較zg與gz的完整row，不以某一g的centralizer代替Z(G)。
規則：Center_EVERY_z_commutes_against_EVERY_g · 依賴：G001, S008
操作前
source roles = [Center ACTUAL Z, [0], 0]
操作後
derived = [是, [[0, 0, 0, 是]], 是, [[0, 0, 是]], 是, 是, [[0, [0], 是], [1, [0], 是], [2, [0], 是], [3, [0], 是], [4, [0], 是], [5, [0], 是]], 是]
條件：無
含identity、全部product與inverse closure各核，三者合取才成subgroup；再逐全部g驗normal。即使某map失敗，這些實際property仍可分別True，不由定理名稱填旗標。
規則：Subgroup_actual_identity_product_inverse_ALL_conjugates · 依賴：G001, S009
操作前
source roles = [[0], [[是, 是, 是, 是, 是, 是], [是, 是, 是, 否, 否, 否], [是, 是, 是, 否, 否, 否], [是, 否, 否, 是, 否, 否], [是, 否, 否, 否, 是, 否], [是, 否, 否, 否, 否, 是]]]
操作後
derived = [是, 是, central z: g*z*g^-1=z for EVERY g]
條件：無
identity與每個g交換；z,w都與所有g交換則zw亦然，z^-1亦然。gz=zg右乘g^-1得gzg^-1=z，故每個central元素逐點固定而normal。不宣稱characteristic或class equation。
規則：Center_GENERAL_closure_and_pointwise_fixed_conjugation · 依賴：G001, S010
操作前
source roles = [3, [[0, 3], [1, 5], [2, 4], [3, 3], [4, 5], [5, 4]], [0]]
操作後
derived = [否, [3, 4, 5], 否, 是, 否, 否, 是, 1]
條件：無
gxg^-1=x iff gx=xg，故central iff singleton；Z=G iff所有元素兩兩交換。兩條件都False時iff仍True；非central保原index首noncommuter，central給null，不混0／False。
規則：Center_actual_singleton_iff_and_abelian_iff_FLAGS_FIRST_noncommuter · 依賴：G001, S011
S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。(3, 否, [3, 4, 5], 否, 是, [0], 否, 否, 是, 1, center_is_not_a_single_element_centralizer_and_no_class_equation_or_characteristic_claim)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 16fb690d818220248fc0283b97ff04d1156842a5af0fc4242fd35faea0b70a87candidate record SHA-256: efa81c8443c63c0d3165ec3b27bd1b25dc210172086dc0b89d9d7baedee6a192semantic review receipt SHA-256: 74c63a2c12285a3b2073f8d9f102bc2ba5fb7ed890c5b7c3b8afa94f032eda82question-first witness SHA-256: 6d56428610f8e86c45fd00a2ad3b27ad9c052956946f0b91d71a68536f79d95fLean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED