第 25913 題：最大流最小割定理

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原題與已知條件
定義與適用範圍
逐步推導
逐步反向核對
結論
本題覆核與來源綁定

R0050-25913 · q-20261015-advance-20261115-r05-max-flow-min-cut-theorem-0013

原題與已知條件

完整有限network、全部s–t cuts與forward-edge cut capacity。操作=mfmc-complete-cut-enumeration；資料={"vertices":["s","a0","a1","t"],"edges":[["s","a0"],["a0","t"],["s","a1"],["a1","t"],["a0","s"]],"source":"s","sink":"t","capacities":[14,14,15,15,19]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

G001 — 完整有限network、全部s–t cuts與forward-edge cut capacity。操作=mfmc-complete-cut-enumeration；資料={"vertices":["s","a0","a1","t"],"edges":[["s","a0"],["a0","t"],["s","a1"],["a1","t"],["a0","s"]],"source":"s","sink":"t","capacities":[14,14,15,15,19]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

mko-max-flow-min-cut-theorem

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [mfmc-complete-cut-enumeration]

操作後

derived = [[vertices, source, sink, cut_rows, cut_count, required_cut_count, certificate]]

條件：無

直接列完整來源欄序，不需JavaScript。LP weak為13欄、zero與strong為15欄，前提與角色依原operation／mode，不補欄。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source roles = [[s, a0, a1, t], [[s, a0], [a0, t], [s, a1], [a1, t], [a0, s]], [14, 14, 15, 15, 19], null, s, t]

操作後

derived = [[a0, a1, s, t], [[a0, s], [a0, t], [a1, t], [s, a0], [s, a1]], [19, 14, 15, 14, 15], null]

條件：無

2..12個vertices；ordered edges與capacity/flow先按原index配好再排序，反向邊是獨立arc。source/sink不同、loop/duplicate拒絕，zero容量、空edge與isolates合法。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_complete_directed_network_ZIP_before_source_order · 依賴：G001, S001

S003 · calculation

操作前

MFMC cut mask0 OUTWARD capacity := sum(14, 15)

操作後

MFMC cut mask0 OUTWARD capacity = 29

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

source roles = [0, [a0, a1], [s]]

操作後

derived = [[3, 4], [0], [[[s, a0], 14], [[s, a1], 15]], 29]

條件：無

S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S003

S005 · calculation

操作前

MFMC cut mask1 OUTWARD capacity := sum(14, 15)

操作後

MFMC cut mask1 OUTWARD capacity = 29

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source roles = [1, [a0, a1], [a0, s]]

操作後

derived = [[1, 4], [], [[[a0, t], 14], [[s, a1], 15]], 29]

條件：無

S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S005

S007 · calculation

操作前

MFMC cut mask2 OUTWARD capacity := sum(15, 14)

操作後

MFMC cut mask2 OUTWARD capacity = 29

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

source roles = [2, [a0, a1], [a1, s]]

操作後

derived = [[2, 3], [0], [[[a1, t], 15], [[s, a0], 14]], 29]

條件：無

S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S007

S009 · calculation

操作前

MFMC cut mask3 OUTWARD capacity := sum(14, 15)

操作後

MFMC cut mask3 OUTWARD capacity = 29

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

source roles = [3, [a0, a1], [a0, a1, s]]

操作後

derived = [[1, 2], [], [[[a0, t], 14], [[a1, t], 15]], 29]

條件：無

S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

source roles = [[a0, a1, s, t], [a0, a1]]

操作後

derived = [4, 4, 29, [[s], [a0, s], [a1, s], [a0, a1, s]]]

條件：無

每個s–t cut唯一對應other的subset，故已完整比較2^(n−2)個cuts；最小值與全部minimizers由同一完整族取得，保原mask tie次序。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_ALL_cut_family_complete_minimum_and_ALL_ties · 依賴：G001, S010

逐步反向核對

S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask3 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。
S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask2 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。
S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask1 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。
S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask0 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。
S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([a0, a1, s, t], s, t, [[[s], [[[s, a0], 14], [[s, a1], 15]], 29], [[a0, s], [[[a0, t], 14], [[s, a1], 15]], 29], [[a1, s], [[[a1, t], 15], [[s, a0], 14]], 29], [[a0, a1, s], [[[a0, t], 14], [[a1, t], 15]], 29]], 4, 4, every_subset_containing_s_and_excluding_t_is_enumerated_and_only_forward_edges_are_counted)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證

input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
original question SHA-256: 112bc19f4fa4fc07fd314ed1e88462bd70a84649cb34571c0eeb45429c35fd4a
candidate record SHA-256: a71de6f03a996dd3df33fb0131946309abb1758c523f11d787a87c917cdce219
semantic review receipt SHA-256: 74c63a2c12285a3b2073f8d9f102bc2ba5fb7ed890c5b7c3b8afa94f032eda82
question-first witness SHA-256: 6d56428610f8e86c45fd00a2ad3b27ad9c052956946f0b91d71a68536f79d95f
Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

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