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第 25932 題：最大流最小割定理

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0050-25932 · q-20261015-advance-20261115-r05-max-flow-min-cut-theorem-0082

原題與已知條件

完整有限network、全部s–t cuts與forward-edge cut capacity。操作=mfmc-equal-value-optimality；資料={"vertices":["s","a0","a1","a2","a3","t"],"edges":[["s","a0"],["a0","t"],["s","a1"],["a1","t"],["s","a2"],["a2","t"],["s","a3"],["a3","t"],["a0","s"]],"source":"s","sink":"t","capacities":[8,8,9,9,10,10,11,11,13],"flows":[8,8,9,9,10,10,11,11,0]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

  • G001 — 完整有限network、全部s–t cuts與forward-edge cut capacity。操作=mfmc-equal-value-optimality；資料={"vertices":["s","a0","a1","a2","a3","t"],"edges":[["s","a0"],["a0","t"],["s","a1"],["a1","t"],["s","a2"],["a2","t"],["s","a3"],["a3","t"],["a0","s"]],"source":"s","sink":"t","capacities":[8,8,9,9,10,10,11,11,13],"flows":[8,8,9,9,10,10,11,11,0]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [mfmc-equal-value-optimality]

操作後

derived = [[flow_value, minimum_capacity, equal_value_cuts, minimum_cuts, equal_values, maximum_flow_certificate, minimum_cut_certificate, integrality_or_algorithm_claim, certificate]]

條件：無

直接列完整來源欄序，不需JavaScript。LP weak為13欄、zero與strong為15欄，前提與角色依原operation／mode，不補欄。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source roles = [[s, a0, a1, a2, a3, t], [[s, a0], [a0, t], [s, a1], [a1, t], [s, a2], [a2, t], [s, a3], [a3, t], [a0, s]], [8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 13], [8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 0], s, t]

操作後

derived = [[a0, a1, a2, a3, s, t], [[a0, s], [a0, t], [a1, t], [a2, t], [a3, t], [s, a0], [s, a1], [s, a2], [s, a3]], [13, 8, 9, 10, 11, 8, 9, 10, 11], [0, 8, 9, 10, 11, 8, 9, 10, 11]]

條件：無

2..12個vertices；ordered edges與capacity/flow先按原index配好再排序，反向邊是獨立arc。source/sink不同、loop/duplicate拒絕，zero容量、空edge與isolates合法。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_complete_directed_network_ZIP_before_source_order · 依賴：G001, S001

S003 · calculation

操作前

MFMC cut mask0 OUTWARD capacity := sum(8, 9, 10, 11)

操作後

MFMC cut mask0 OUTWARD capacity = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

source roles = [0, [a0, a1, a2, a3], [s]]

操作後

derived = [[5, 6, 7, 8], [0], [[[s, a0], 8], [[s, a1], 9], [[s, a2], 10], [[s, a3], 11]], 38]

條件：無

S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S003

S005 · calculation

操作前

MFMC cut mask1 OUTWARD capacity := sum(8, 9, 10, 11)

操作後

MFMC cut mask1 OUTWARD capacity = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source roles = [1, [a0, a1, a2, a3], [a0, s]]

操作後

derived = [[1, 6, 7, 8], [], [[[a0, t], 8], [[s, a1], 9], [[s, a2], 10], [[s, a3], 11]], 38]

條件：無

S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S005

S007 · calculation

操作前

MFMC cut mask2 OUTWARD capacity := sum(9, 8, 10, 11)

操作後

MFMC cut mask2 OUTWARD capacity = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

source roles = [2, [a0, a1, a2, a3], [a1, s]]

操作後

derived = [[2, 5, 7, 8], [0], [[[a1, t], 9], [[s, a0], 8], [[s, a2], 10], [[s, a3], 11]], 38]

條件：無

S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S007

S009 · calculation

操作前

MFMC cut mask3 OUTWARD capacity := sum(8, 9, 10, 11)

操作後

MFMC cut mask3 OUTWARD capacity = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

source roles = [3, [a0, a1, a2, a3], [a0, a1, s]]

操作後

derived = [[1, 2, 7, 8], [], [[[a0, t], 8], [[a1, t], 9], [[s, a2], 10], [[s, a3], 11]], 38]

條件：無

S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S009

S011 · calculation

操作前

MFMC cut mask4 OUTWARD capacity := sum(10, 8, 9, 11)

操作後

MFMC cut mask4 OUTWARD capacity = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

source roles = [4, [a0, a1, a2, a3], [a2, s]]

操作後

derived = [[3, 5, 6, 8], [0], [[[a2, t], 10], [[s, a0], 8], [[s, a1], 9], [[s, a3], 11]], 38]

條件：無

S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S011

S013 · calculation

操作前

MFMC cut mask5 OUTWARD capacity := sum(8, 10, 9, 11)

操作後

MFMC cut mask5 OUTWARD capacity = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

source roles = [5, [a0, a1, a2, a3], [a0, a2, s]]

操作後

derived = [[1, 3, 6, 8], [], [[[a0, t], 8], [[a2, t], 10], [[s, a1], 9], [[s, a3], 11]], 38]

條件：無

S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S013

S015 · calculation

操作前

MFMC cut mask6 OUTWARD capacity := sum(9, 10, 8, 11)

操作後

MFMC cut mask6 OUTWARD capacity = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

source roles = [6, [a0, a1, a2, a3], [a1, a2, s]]

操作後

derived = [[2, 3, 5, 8], [0], [[[a1, t], 9], [[a2, t], 10], [[s, a0], 8], [[s, a3], 11]], 38]

條件：無

S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S015

S017 · calculation

操作前

MFMC cut mask7 OUTWARD capacity := sum(8, 9, 10, 11)

操作後

MFMC cut mask7 OUTWARD capacity = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

source roles = [7, [a0, a1, a2, a3], [a0, a1, a2, s]]

操作後

derived = [[1, 2, 3, 8], [], [[[a0, t], 8], [[a1, t], 9], [[a2, t], 10], [[s, a3], 11]], 38]

條件：無

S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S017

S019 · calculation

操作前

MFMC cut mask8 OUTWARD capacity := sum(11, 8, 9, 10)

操作後

MFMC cut mask8 OUTWARD capacity = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

source roles = [8, [a0, a1, a2, a3], [a3, s]]

操作後

derived = [[4, 5, 6, 7], [0], [[[a3, t], 11], [[s, a0], 8], [[s, a1], 9], [[s, a2], 10]], 38]

條件：無

S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S019

S021 · calculation

操作前

MFMC cut mask9 OUTWARD capacity := sum(8, 11, 9, 10)

操作後

MFMC cut mask9 OUTWARD capacity = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

source roles = [9, [a0, a1, a2, a3], [a0, a3, s]]

操作後

derived = [[1, 4, 6, 7], [], [[[a0, t], 8], [[a3, t], 11], [[s, a1], 9], [[s, a2], 10]], 38]

條件：無

S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S021

S023 · calculation

操作前

MFMC cut mask10 OUTWARD capacity := sum(9, 11, 8, 10)

操作後

MFMC cut mask10 OUTWARD capacity = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

source roles = [10, [a0, a1, a2, a3], [a1, a3, s]]

操作後

derived = [[2, 4, 5, 7], [0], [[[a1, t], 9], [[a3, t], 11], [[s, a0], 8], [[s, a2], 10]], 38]

條件：無

S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S023

S025 · calculation

操作前

MFMC cut mask11 OUTWARD capacity := sum(8, 9, 11, 10)

操作後

MFMC cut mask11 OUTWARD capacity = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

source roles = [11, [a0, a1, a2, a3], [a0, a1, a3, s]]

操作後

derived = [[1, 2, 4, 7], [], [[[a0, t], 8], [[a1, t], 9], [[a3, t], 11], [[s, a2], 10]], 38]

條件：無

S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S025

S027 · calculation

操作前

MFMC cut mask12 OUTWARD capacity := sum(10, 11, 8, 9)

操作後

MFMC cut mask12 OUTWARD capacity = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026

S028 · implies

操作前

source roles = [12, [a0, a1, a2, a3], [a2, a3, s]]

操作後

derived = [[3, 4, 5, 6], [0], [[[a2, t], 10], [[a3, t], 11], [[s, a0], 8], [[s, a1], 9]], 38]

條件：無

S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S027

S029 · calculation

操作前

MFMC cut mask13 OUTWARD capacity := sum(8, 10, 11, 9)

操作後

MFMC cut mask13 OUTWARD capacity = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

source roles = [13, [a0, a1, a2, a3], [a0, a2, a3, s]]

操作後

derived = [[1, 3, 4, 6], [], [[[a0, t], 8], [[a2, t], 10], [[a3, t], 11], [[s, a1], 9]], 38]

條件：無

S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S029

S031 · calculation

操作前

MFMC cut mask14 OUTWARD capacity := sum(9, 10, 11, 8)

操作後

MFMC cut mask14 OUTWARD capacity = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030

S032 · implies

操作前

source roles = [14, [a0, a1, a2, a3], [a1, a2, a3, s]]

操作後

derived = [[2, 3, 4, 5], [0], [[[a1, t], 9], [[a2, t], 10], [[a3, t], 11], [[s, a0], 8]], 38]

條件：無

S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S031

S033 · calculation

操作前

MFMC cut mask15 OUTWARD capacity := sum(8, 9, 10, 11)

操作後

MFMC cut mask15 OUTWARD capacity = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032

S034 · implies

操作前

source roles = [15, [a0, a1, a2, a3], [a0, a1, a2, a3, s]]

操作後

derived = [[1, 2, 3, 4], [], [[[a0, t], 8], [[a1, t], 9], [[a2, t], 10], [[a3, t], 11]], 38]

條件：無

S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S033

S035 · implies

操作前

source roles = [[a0, a1, a2, a3, s, t], [a0, a1, a2, a3]]

操作後

derived = [16, 16, 38, [[s], [a0, s], [a1, s], [a0, a1, s], [a2, s], [a0, a2, s], [a1, a2, s], [a0, a1, a2, s], [a3, s], [a0, a3, s], [a1, a3, s], [a0, a1, a3, s], [a2, a3, s], [a0, a2, a3, s], [a1, a2, a3, s], [a0, a1, a2, a3, s]]]

條件：無

每個s–t cut唯一對應other的subset，故已完整比較2^(n−2)個cuts；最小值與全部minimizers由同一完整族取得，保原mask tie次序。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_ALL_cut_family_complete_minimum_and_ALL_ties · 依賴：G001, S034

S036 · calculation

操作前

MFMC vertex a0 ALL incoming := sum(8)

操作後

MFMC vertex a0 ALL incoming = 8

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035

S037 · calculation

操作前

MFMC vertex a0 ALL outgoing := sum(0, 8)

操作後

MFMC vertex a0 ALL outgoing = 8

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036

S038 · calculation

操作前

MFMC vertex a1 ALL incoming := sum(9)

操作後

MFMC vertex a1 ALL incoming = 9

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037

S039 · calculation

操作前

MFMC vertex a1 ALL outgoing := sum(9)

操作後

MFMC vertex a1 ALL outgoing = 9

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S038

S040 · calculation

操作前

MFMC vertex a2 ALL incoming := sum(10)

操作後

MFMC vertex a2 ALL incoming = 10

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039

S041 · calculation

操作前

MFMC vertex a2 ALL outgoing := sum(10)

操作後

MFMC vertex a2 ALL outgoing = 10

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S040

S042 · calculation

操作前

MFMC vertex a3 ALL incoming := sum(11)

操作後

MFMC vertex a3 ALL incoming = 11

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041

S043 · calculation

操作前

MFMC vertex a3 ALL outgoing := sum(11)

操作後

MFMC vertex a3 ALL outgoing = 11

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S042

S044 · calculation

操作前

MFMC vertex s ALL incoming := sum(0)

操作後

MFMC vertex s ALL incoming = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S043

S045 · calculation

操作前

MFMC vertex s ALL outgoing := sum(8, 9, 10, 11)

操作後

MFMC vertex s ALL outgoing = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S044

S046 · calculation

操作前

MFMC vertex t ALL incoming := sum(8, 9, 10, 11)

操作後

MFMC vertex t ALL incoming = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S045

S047 · calculation

操作前

MFMC vertex t ALL outgoing := sum()

操作後

MFMC vertex t ALL outgoing = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S046

S048 · calculation

操作前

MFMC SOURCE net out not gross := sub(38, 0)

操作後

MFMC SOURCE net out not gross = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S047

S049 · calculation

操作前

MFMC SINK net in not gross := sub(38, 0)

操作後

MFMC SINK net in not gross = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S048

S050 · implies

操作前

source roles = [[[a0, s], [a0, t], [a1, t], [a2, t], [a3, t], [s, a0], [s, a1], [s, a2], [s, a3]], [0, 8, 9, 10, 11, 8, 9, 10, 11], [13, 8, 9, 10, 11, 8, 9, 10, 11], s, t]

操作後

derived = [[[[a0, s], 0, 13, 是], [[a0, t], 8, 8, 是], [[a1, t], 9, 9, 是], [[a2, t], 10, 10, 是], [[a3, t], 11, 11, 是], [[s, a0], 8, 8, 是], [[s, a1], 9, 9, 是], [[s, a2], 10, 10, 是], [[s, a3], 11, 11, 是]], [[a0, 8, 8, 是], [a1, 9, 9, 是], [a2, 10, 10, 是], [a3, 11, 11, 是]], 是, 是, 38, 38, 是, 是]

條件：無

feasible要逐edge容量界、逐internal守恆與源匯NET相同。incoming source或outgoing sink不丟棄；合法feasible flow的net可負，不額外要求value>=0。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_capacity_EVERY_internal_balance_source_sink_NET_feasibility · 依賴：G001, S049

S051 · calculation

操作前

MFMC cut mask0 OUTWARD flow := sum(8, 9, 10, 11)

操作後

MFMC cut mask0 OUTWARD flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S050

S052 · calculation

操作前

MFMC cut mask0 INWARD flow := sum(0)

操作後

MFMC cut mask0 INWARD flow = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S051

S053 · calculation

操作前

MFMC cut mask0 NET flow := sub(38, 0)

操作後

MFMC cut mask0 NET flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S052

S054 · implies

操作前

source roles = [[s], [5, 6, 7, 8], [0], 38]

操作後

derived = [[[s], 38, 0, 38, 38, 是, 是]]

條件：無

把S內各點net out相加，internal arcs相消且internal點守恆，剩source net。因inward flow非負、每條outward flow<=cap，value=out−in<=out<=cut capacity，對全部cuts皆成立。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_cut_conservation_cancellation_and_weak_upper_bound · 依賴：G001, S053

S055 · calculation

操作前

MFMC cut mask1 OUTWARD flow := sum(8, 9, 10, 11)

操作後

MFMC cut mask1 OUTWARD flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S054

S056 · calculation

操作前

MFMC cut mask1 INWARD flow := sum()

操作後

MFMC cut mask1 INWARD flow = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S055

S057 · calculation

操作前

MFMC cut mask1 NET flow := sub(38, 0)

操作後

MFMC cut mask1 NET flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S056

S058 · implies

操作前

source roles = [[a0, s], [1, 6, 7, 8], [], 38]

操作後

derived = [[[a0, s], 38, 0, 38, 38, 是, 是]]

條件：無

把S內各點net out相加，internal arcs相消且internal點守恆，剩source net。因inward flow非負、每條outward flow<=cap，value=out−in<=out<=cut capacity，對全部cuts皆成立。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_cut_conservation_cancellation_and_weak_upper_bound · 依賴：G001, S057

S059 · calculation

操作前

MFMC cut mask2 OUTWARD flow := sum(9, 8, 10, 11)

操作後

MFMC cut mask2 OUTWARD flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S058

S060 · calculation

操作前

MFMC cut mask2 INWARD flow := sum(0)

操作後

MFMC cut mask2 INWARD flow = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S059

S061 · calculation

操作前

MFMC cut mask2 NET flow := sub(38, 0)

操作後

MFMC cut mask2 NET flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S060

S062 · implies

操作前

source roles = [[a1, s], [2, 5, 7, 8], [0], 38]

操作後

derived = [[[a1, s], 38, 0, 38, 38, 是, 是]]

條件：無

把S內各點net out相加，internal arcs相消且internal點守恆，剩source net。因inward flow非負、每條outward flow<=cap，value=out−in<=out<=cut capacity，對全部cuts皆成立。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_cut_conservation_cancellation_and_weak_upper_bound · 依賴：G001, S061

S063 · calculation

操作前

MFMC cut mask3 OUTWARD flow := sum(8, 9, 10, 11)

操作後

MFMC cut mask3 OUTWARD flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S062

S064 · calculation

操作前

MFMC cut mask3 INWARD flow := sum()

操作後

MFMC cut mask3 INWARD flow = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S063

S065 · calculation

操作前

MFMC cut mask3 NET flow := sub(38, 0)

操作後

MFMC cut mask3 NET flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S064

S066 · implies

操作前

source roles = [[a0, a1, s], [1, 2, 7, 8], [], 38]

操作後

derived = [[[a0, a1, s], 38, 0, 38, 38, 是, 是]]

條件：無

把S內各點net out相加，internal arcs相消且internal點守恆，剩source net。因inward flow非負、每條outward flow<=cap，value=out−in<=out<=cut capacity，對全部cuts皆成立。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_cut_conservation_cancellation_and_weak_upper_bound · 依賴：G001, S065

S067 · calculation

操作前

MFMC cut mask4 OUTWARD flow := sum(10, 8, 9, 11)

操作後

MFMC cut mask4 OUTWARD flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S066

S068 · calculation

操作前

MFMC cut mask4 INWARD flow := sum(0)

操作後

MFMC cut mask4 INWARD flow = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S067

S069 · calculation

操作前

MFMC cut mask4 NET flow := sub(38, 0)

操作後

MFMC cut mask4 NET flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S068

S070 · implies

操作前

source roles = [[a2, s], [3, 5, 6, 8], [0], 38]

操作後

derived = [[[a2, s], 38, 0, 38, 38, 是, 是]]

條件：無

把S內各點net out相加，internal arcs相消且internal點守恆，剩source net。因inward flow非負、每條outward flow<=cap，value=out−in<=out<=cut capacity，對全部cuts皆成立。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_cut_conservation_cancellation_and_weak_upper_bound · 依賴：G001, S069

S071 · calculation

操作前

MFMC cut mask5 OUTWARD flow := sum(8, 10, 9, 11)

操作後

MFMC cut mask5 OUTWARD flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S070

S072 · calculation

操作前

MFMC cut mask5 INWARD flow := sum()

操作後

MFMC cut mask5 INWARD flow = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S071

S073 · calculation

操作前

MFMC cut mask5 NET flow := sub(38, 0)

操作後

MFMC cut mask5 NET flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S072

S074 · implies

操作前

source roles = [[a0, a2, s], [1, 3, 6, 8], [], 38]

操作後

derived = [[[a0, a2, s], 38, 0, 38, 38, 是, 是]]

條件：無

把S內各點net out相加，internal arcs相消且internal點守恆，剩source net。因inward flow非負、每條outward flow<=cap，value=out−in<=out<=cut capacity，對全部cuts皆成立。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_cut_conservation_cancellation_and_weak_upper_bound · 依賴：G001, S073

S075 · calculation

操作前

MFMC cut mask6 OUTWARD flow := sum(9, 10, 8, 11)

操作後

MFMC cut mask6 OUTWARD flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S074

S076 · calculation

操作前

MFMC cut mask6 INWARD flow := sum(0)

操作後

MFMC cut mask6 INWARD flow = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S075

S077 · calculation

操作前

MFMC cut mask6 NET flow := sub(38, 0)

操作後

MFMC cut mask6 NET flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S076

S078 · implies

操作前

source roles = [[a1, a2, s], [2, 3, 5, 8], [0], 38]

操作後

derived = [[[a1, a2, s], 38, 0, 38, 38, 是, 是]]

條件：無

把S內各點net out相加，internal arcs相消且internal點守恆，剩source net。因inward flow非負、每條outward flow<=cap，value=out−in<=out<=cut capacity，對全部cuts皆成立。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_cut_conservation_cancellation_and_weak_upper_bound · 依賴：G001, S077

S079 · calculation

操作前

MFMC cut mask7 OUTWARD flow := sum(8, 9, 10, 11)

操作後

MFMC cut mask7 OUTWARD flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S078

S080 · calculation

操作前

MFMC cut mask7 INWARD flow := sum()

操作後

MFMC cut mask7 INWARD flow = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S079

S081 · calculation

操作前

MFMC cut mask7 NET flow := sub(38, 0)

操作後

MFMC cut mask7 NET flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S080

S082 · implies

操作前

source roles = [[a0, a1, a2, s], [1, 2, 3, 8], [], 38]

操作後

derived = [[[a0, a1, a2, s], 38, 0, 38, 38, 是, 是]]

條件：無

把S內各點net out相加，internal arcs相消且internal點守恆，剩source net。因inward flow非負、每條outward flow<=cap，value=out−in<=out<=cut capacity，對全部cuts皆成立。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_cut_conservation_cancellation_and_weak_upper_bound · 依賴：G001, S081

S083 · calculation

操作前

MFMC cut mask8 OUTWARD flow := sum(11, 8, 9, 10)

操作後

MFMC cut mask8 OUTWARD flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S082

S084 · calculation

操作前

MFMC cut mask8 INWARD flow := sum(0)

操作後

MFMC cut mask8 INWARD flow = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S083

S085 · calculation

操作前

MFMC cut mask8 NET flow := sub(38, 0)

操作後

MFMC cut mask8 NET flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S084

S086 · implies

操作前

source roles = [[a3, s], [4, 5, 6, 7], [0], 38]

操作後

derived = [[[a3, s], 38, 0, 38, 38, 是, 是]]

條件：無

把S內各點net out相加，internal arcs相消且internal點守恆，剩source net。因inward flow非負、每條outward flow<=cap，value=out−in<=out<=cut capacity，對全部cuts皆成立。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_cut_conservation_cancellation_and_weak_upper_bound · 依賴：G001, S085

S087 · calculation

操作前

MFMC cut mask9 OUTWARD flow := sum(8, 11, 9, 10)

操作後

MFMC cut mask9 OUTWARD flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S086

S088 · calculation

操作前

MFMC cut mask9 INWARD flow := sum()

操作後

MFMC cut mask9 INWARD flow = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S087

S089 · calculation

操作前

MFMC cut mask9 NET flow := sub(38, 0)

操作後

MFMC cut mask9 NET flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S088

S090 · implies

操作前

source roles = [[a0, a3, s], [1, 4, 6, 7], [], 38]

操作後

derived = [[[a0, a3, s], 38, 0, 38, 38, 是, 是]]

條件：無

把S內各點net out相加，internal arcs相消且internal點守恆，剩source net。因inward flow非負、每條outward flow<=cap，value=out−in<=out<=cut capacity，對全部cuts皆成立。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_cut_conservation_cancellation_and_weak_upper_bound · 依賴：G001, S089

S091 · calculation

操作前

MFMC cut mask10 OUTWARD flow := sum(9, 11, 8, 10)

操作後

MFMC cut mask10 OUTWARD flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S090

S092 · calculation

操作前

MFMC cut mask10 INWARD flow := sum(0)

操作後

MFMC cut mask10 INWARD flow = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S091

S093 · calculation

操作前

MFMC cut mask10 NET flow := sub(38, 0)

操作後

MFMC cut mask10 NET flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S092

S094 · implies

操作前

source roles = [[a1, a3, s], [2, 4, 5, 7], [0], 38]

操作後

derived = [[[a1, a3, s], 38, 0, 38, 38, 是, 是]]

條件：無

把S內各點net out相加，internal arcs相消且internal點守恆，剩source net。因inward flow非負、每條outward flow<=cap，value=out−in<=out<=cut capacity，對全部cuts皆成立。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_cut_conservation_cancellation_and_weak_upper_bound · 依賴：G001, S093

S095 · calculation

操作前

MFMC cut mask11 OUTWARD flow := sum(8, 9, 11, 10)

操作後

MFMC cut mask11 OUTWARD flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S094

S096 · calculation

操作前

MFMC cut mask11 INWARD flow := sum()

操作後

MFMC cut mask11 INWARD flow = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S095

S097 · calculation

操作前

MFMC cut mask11 NET flow := sub(38, 0)

操作後

MFMC cut mask11 NET flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S096

S098 · implies

操作前

source roles = [[a0, a1, a3, s], [1, 2, 4, 7], [], 38]

操作後

derived = [[[a0, a1, a3, s], 38, 0, 38, 38, 是, 是]]

條件：無

把S內各點net out相加，internal arcs相消且internal點守恆，剩source net。因inward flow非負、每條outward flow<=cap，value=out−in<=out<=cut capacity，對全部cuts皆成立。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_cut_conservation_cancellation_and_weak_upper_bound · 依賴：G001, S097

S099 · calculation

操作前

MFMC cut mask12 OUTWARD flow := sum(10, 11, 8, 9)

操作後

MFMC cut mask12 OUTWARD flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S098

S100 · calculation

操作前

MFMC cut mask12 INWARD flow := sum(0)

操作後

MFMC cut mask12 INWARD flow = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S099

S101 · calculation

操作前

MFMC cut mask12 NET flow := sub(38, 0)

操作後

MFMC cut mask12 NET flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S100

S102 · implies

操作前

source roles = [[a2, a3, s], [3, 4, 5, 6], [0], 38]

操作後

derived = [[[a2, a3, s], 38, 0, 38, 38, 是, 是]]

條件：無

把S內各點net out相加，internal arcs相消且internal點守恆，剩source net。因inward flow非負、每條outward flow<=cap，value=out−in<=out<=cut capacity，對全部cuts皆成立。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_cut_conservation_cancellation_and_weak_upper_bound · 依賴：G001, S101

S103 · calculation

操作前

MFMC cut mask13 OUTWARD flow := sum(8, 10, 11, 9)

操作後

MFMC cut mask13 OUTWARD flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S102

S104 · calculation

操作前

MFMC cut mask13 INWARD flow := sum()

操作後

MFMC cut mask13 INWARD flow = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S103

S105 · calculation

操作前

MFMC cut mask13 NET flow := sub(38, 0)

操作後

MFMC cut mask13 NET flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S104

S106 · implies

操作前

source roles = [[a0, a2, a3, s], [1, 3, 4, 6], [], 38]

操作後

derived = [[[a0, a2, a3, s], 38, 0, 38, 38, 是, 是]]

條件：無

把S內各點net out相加，internal arcs相消且internal點守恆，剩source net。因inward flow非負、每條outward flow<=cap，value=out−in<=out<=cut capacity，對全部cuts皆成立。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_cut_conservation_cancellation_and_weak_upper_bound · 依賴：G001, S105

S107 · calculation

操作前

MFMC cut mask14 OUTWARD flow := sum(9, 10, 11, 8)

操作後

MFMC cut mask14 OUTWARD flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S106

S108 · calculation

操作前

MFMC cut mask14 INWARD flow := sum(0)

操作後

MFMC cut mask14 INWARD flow = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S107

S109 · calculation

操作前

MFMC cut mask14 NET flow := sub(38, 0)

操作後

MFMC cut mask14 NET flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S108

S110 · implies

操作前

source roles = [[a1, a2, a3, s], [2, 3, 4, 5], [0], 38]

操作後

derived = [[[a1, a2, a3, s], 38, 0, 38, 38, 是, 是]]

條件：無

把S內各點net out相加，internal arcs相消且internal點守恆，剩source net。因inward flow非負、每條outward flow<=cap，value=out−in<=out<=cut capacity，對全部cuts皆成立。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_cut_conservation_cancellation_and_weak_upper_bound · 依賴：G001, S109

S111 · calculation

操作前

MFMC cut mask15 OUTWARD flow := sum(8, 9, 10, 11)

操作後

MFMC cut mask15 OUTWARD flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S110

S112 · calculation

操作前

MFMC cut mask15 INWARD flow := sum()

操作後

MFMC cut mask15 INWARD flow = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S111

S113 · calculation

操作前

MFMC cut mask15 NET flow := sub(38, 0)

操作後

MFMC cut mask15 NET flow = 38

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S112

S114 · implies

操作前

source roles = [[a0, a1, a2, a3, s], [1, 2, 3, 4], [], 38]

操作後

derived = [[[a0, a1, a2, a3, s], 38, 0, 38, 38, 是, 是]]

條件：無

把S內各點net out相加，internal arcs相消且internal點守恆，剩source net。因inward flow非負、每條outward flow<=cap，value=out−in<=out<=cut capacity，對全部cuts皆成立。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_cut_conservation_cancellation_and_weak_upper_bound · 依賴：G001, S113

S115 · implies

操作前

source roles = [是, 38, 38, [[s], [a0, s], [a1, s], [a0, a1, s], [a2, s], [a0, a2, s], [a1, a2, s], [a0, a1, a2, s], [a3, s], [a0, a3, s], [a1, a3, s], [a0, a1, a3, s], [a2, a3, s], [a0, a2, a3, s], [a1, a2, a3, s], [a0, a1, a2, a3, s]]]

操作後

derived = [[[s], [a0, s], [a1, s], [a0, a1, s], [a2, s], [a0, a2, s], [a1, a2, s], [a0, a1, a2, s], [a3, s], [a0, a3, s], [a1, a3, s], [a0, a1, a3, s], [a2, a3, s], [a0, a2, a3, s], [a1, a2, a3, s], [a0, a1, a2, a3, s]], 是, 是, 是, 否]

條件：無

任意feasible flow不超過這個同值cut，而任意cut不低於此feasible flow，因此當前flow達maximum且同值cuts達minimum。這是弱界的雙向夾住，不由裸數字相等取代feasibility；最後No僅不提供integrality或algorithm證明。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_feasible_equal_value_GENERAL_bounds_certify_BOTH_optima · 依賴：G001, S114

逐步反向核對

  • S115 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S114 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S113 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask15 NET flow，不以小數近似替代。
  • S112 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask15 INWARD flow，不以小數近似替代。
  • S111 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask15 OUTWARD flow，不以小數近似替代。
  • S110 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S109 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask14 NET flow，不以小數近似替代。
  • S108 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask14 INWARD flow，不以小數近似替代。
  • S107 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask14 OUTWARD flow，不以小數近似替代。
  • S106 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S105 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask13 NET flow，不以小數近似替代。
  • S104 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask13 INWARD flow，不以小數近似替代。
  • S103 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask13 OUTWARD flow，不以小數近似替代。
  • S102 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S101 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask12 NET flow，不以小數近似替代。
  • S100 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask12 INWARD flow，不以小數近似替代。
  • S099 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask12 OUTWARD flow，不以小數近似替代。
  • S098 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S097 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask11 NET flow，不以小數近似替代。
  • S096 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask11 INWARD flow，不以小數近似替代。
  • S095 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask11 OUTWARD flow，不以小數近似替代。
  • S094 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S093 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask10 NET flow，不以小數近似替代。
  • S092 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask10 INWARD flow，不以小數近似替代。
  • S091 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask10 OUTWARD flow，不以小數近似替代。
  • S090 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S089 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask9 NET flow，不以小數近似替代。
  • S088 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask9 INWARD flow，不以小數近似替代。
  • S087 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask9 OUTWARD flow，不以小數近似替代。
  • S086 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S085 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask8 NET flow，不以小數近似替代。
  • S084 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask8 INWARD flow，不以小數近似替代。
  • S083 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask8 OUTWARD flow，不以小數近似替代。
  • S082 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S081 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask7 NET flow，不以小數近似替代。
  • S080 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask7 INWARD flow，不以小數近似替代。
  • S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask7 OUTWARD flow，不以小數近似替代。
  • S078 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask6 NET flow，不以小數近似替代。
  • S076 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask6 INWARD flow，不以小數近似替代。
  • S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask6 OUTWARD flow，不以小數近似替代。
  • S074 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask5 NET flow，不以小數近似替代。
  • S072 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask5 INWARD flow，不以小數近似替代。
  • S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask5 OUTWARD flow，不以小數近似替代。
  • S070 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask4 NET flow，不以小數近似替代。
  • S068 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask4 INWARD flow，不以小數近似替代。
  • S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask4 OUTWARD flow，不以小數近似替代。
  • S066 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask3 NET flow，不以小數近似替代。
  • S064 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask3 INWARD flow，不以小數近似替代。
  • S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask3 OUTWARD flow，不以小數近似替代。
  • S062 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask2 NET flow，不以小數近似替代。
  • S060 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask2 INWARD flow，不以小數近似替代。
  • S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask2 OUTWARD flow，不以小數近似替代。
  • S058 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask1 NET flow，不以小數近似替代。
  • S056 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask1 INWARD flow，不以小數近似替代。
  • S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask1 OUTWARD flow，不以小數近似替代。
  • S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask0 NET flow，不以小數近似替代。
  • S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask0 INWARD flow，不以小數近似替代。
  • S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask0 OUTWARD flow，不以小數近似替代。
  • S050 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC SINK net in not gross，不以小數近似替代。
  • S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC SOURCE net out not gross，不以小數近似替代。
  • S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC vertex t ALL outgoing，不以小數近似替代。
  • S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC vertex t ALL incoming，不以小數近似替代。
  • S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC vertex s ALL outgoing，不以小數近似替代。
  • S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC vertex s ALL incoming，不以小數近似替代。
  • S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC vertex a3 ALL outgoing，不以小數近似替代。
  • S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC vertex a3 ALL incoming，不以小數近似替代。
  • S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC vertex a2 ALL outgoing，不以小數近似替代。
  • S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC vertex a2 ALL incoming，不以小數近似替代。
  • S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC vertex a1 ALL outgoing，不以小數近似替代。
  • S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC vertex a1 ALL incoming，不以小數近似替代。
  • S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC vertex a0 ALL outgoing，不以小數近似替代。
  • S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC vertex a0 ALL incoming，不以小數近似替代。
  • S035 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask15 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。
  • S032 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask14 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。
  • S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask13 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。
  • S028 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask12 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。
  • S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask11 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。
  • S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask10 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。
  • S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask9 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。
  • S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask8 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。
  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask7 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。
  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask6 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。
  • S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask5 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask4 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask3 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask2 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask1 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask0 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(38, 38, [[s], [a0, s], [a1, s], [a0, a1, s], [a2, s], [a0, a2, s], [a1, a2, s], [a0, a1, a2, s], [a3, s], [a0, a3, s], [a1, a3, s], [a0, a1, a3, s], [a2, a3, s], [a0, a2, a3, s], [a1, a2, a3, s], [a0, a1, a2, a3, s]], [[s], [a0, s], [a1, s], [a0, a1, s], [a2, s], [a0, a2, s], [a1, a2, s], [a0, a1, a2, s], [a3, s], [a0, a3, s], [a1, a3, s], [a0, a1, a3, s], [a2, a3, s], [a0, a2, a3, s], [a1, a2, a3, s], [a0, a1, a2, a3, s]], 是, 是, 是, 否, equal_feasible_flow_and_cut_values_certify_both_optimal_without_integrality_or_algorithm_claims)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 3b4aacd0033e9902058fe60496f5fb863d12517da797aaa0d3c0d79416c10c18
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  • semantic review receipt SHA-256: 74c63a2c12285a3b2073f8d9f102bc2ba5fb7ed890c5b7c3b8afa94f032eda82
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  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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