第 25950 題：最大流最小割定理

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原題與已知條件
定義與適用範圍
逐步推導
逐步反向核對
結論
本題覆核與來源綁定

R0050-25950 · q-20261015-advance-20261115-r05-max-flow-min-cut-theorem-0100

原題與已知條件

完整有限network、全部s–t cuts與forward-edge cut capacity。操作=mfmc-equal-value-optimality；資料={"vertices":["s","a0","a1","t"],"edges":[["s","a0"],["a0","t"],["s","a1"],["a1","t"],["a0","s"]],"source":"s","sink":"t","capacities":[26,26,27,27,31],"flows":[26,26,27,27,0]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

G001 — 完整有限network、全部s–t cuts與forward-edge cut capacity。操作=mfmc-equal-value-optimality；資料={"vertices":["s","a0","a1","t"],"edges":[["s","a0"],["a0","t"],["s","a1"],["a1","t"],["a0","s"]],"source":"s","sink":"t","capacities":[26,26,27,27,31],"flows":[26,26,27,27,0]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

mko-max-flow-min-cut-theorem

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [mfmc-equal-value-optimality]

操作後

derived = [[flow_value, minimum_capacity, equal_value_cuts, minimum_cuts, equal_values, maximum_flow_certificate, minimum_cut_certificate, integrality_or_algorithm_claim, certificate]]

條件：無

直接列完整來源欄序，不需JavaScript。LP weak為13欄、zero與strong為15欄，前提與角色依原operation／mode，不補欄。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source roles = [[s, a0, a1, t], [[s, a0], [a0, t], [s, a1], [a1, t], [a0, s]], [26, 26, 27, 27, 31], [26, 26, 27, 27, 0], s, t]

操作後

derived = [[a0, a1, s, t], [[a0, s], [a0, t], [a1, t], [s, a0], [s, a1]], [31, 26, 27, 26, 27], [0, 26, 27, 26, 27]]

條件：無

2..12個vertices；ordered edges與capacity/flow先按原index配好再排序，反向邊是獨立arc。source/sink不同、loop/duplicate拒絕，zero容量、空edge與isolates合法。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_complete_directed_network_ZIP_before_source_order · 依賴：G001, S001

S003 · calculation

操作前

MFMC cut mask0 OUTWARD capacity := sum(26, 27)

操作後

MFMC cut mask0 OUTWARD capacity = 53

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

source roles = [0, [a0, a1], [s]]

操作後

derived = [[3, 4], [0], [[[s, a0], 26], [[s, a1], 27]], 53]

條件：無

S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S003

S005 · calculation

操作前

MFMC cut mask1 OUTWARD capacity := sum(26, 27)

操作後

MFMC cut mask1 OUTWARD capacity = 53

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source roles = [1, [a0, a1], [a0, s]]

操作後

derived = [[1, 4], [], [[[a0, t], 26], [[s, a1], 27]], 53]

條件：無

S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S005

S007 · calculation

操作前

MFMC cut mask2 OUTWARD capacity := sum(27, 26)

操作後

MFMC cut mask2 OUTWARD capacity = 53

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

source roles = [2, [a0, a1], [a1, s]]

操作後

derived = [[2, 3], [0], [[[a1, t], 27], [[s, a0], 26]], 53]

條件：無

S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S007

S009 · calculation

操作前

MFMC cut mask3 OUTWARD capacity := sum(26, 27)

操作後

MFMC cut mask3 OUTWARD capacity = 53

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

source roles = [3, [a0, a1], [a0, a1, s]]

操作後

derived = [[1, 2], [], [[[a0, t], 26], [[a1, t], 27]], 53]

條件：無

S必含source排除sink；mask逐全部other subsets，S內UTF16排序但outer清單保numeric mask次序。capacity只加OUTWARD，不加incoming；ties也不另按English重排。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_numeric_mask_cut_OUTWARD_edges_only · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

source roles = [[a0, a1, s, t], [a0, a1]]

操作後

derived = [4, 4, 53, [[s], [a0, s], [a1, s], [a0, a1, s]]]

條件：無

每個s–t cut唯一對應other的subset，故已完整比較2^(n−2)個cuts；最小值與全部minimizers由同一完整族取得，保原mask tie次序。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_ALL_cut_family_complete_minimum_and_ALL_ties · 依賴：G001, S010

S012 · calculation

操作前

MFMC vertex a0 ALL incoming := sum(26)

操作後

MFMC vertex a0 ALL incoming = 26

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011

S013 · calculation

操作前

MFMC vertex a0 ALL outgoing := sum(0, 26)

操作後

MFMC vertex a0 ALL outgoing = 26

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012

S014 · calculation

操作前

MFMC vertex a1 ALL incoming := sum(27)

操作後

MFMC vertex a1 ALL incoming = 27

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013

S015 · calculation

操作前

MFMC vertex a1 ALL outgoing := sum(27)

操作後

MFMC vertex a1 ALL outgoing = 27

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014

S016 · calculation

操作前

MFMC vertex s ALL incoming := sum(0)

操作後

MFMC vertex s ALL incoming = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015

S017 · calculation

操作前

MFMC vertex s ALL outgoing := sum(26, 27)

操作後

MFMC vertex s ALL outgoing = 53

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016

S018 · calculation

操作前

MFMC vertex t ALL incoming := sum(26, 27)

操作後

MFMC vertex t ALL incoming = 53

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017

S019 · calculation

操作前

MFMC vertex t ALL outgoing := sum()

操作後

MFMC vertex t ALL outgoing = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018

S020 · calculation

操作前

MFMC SOURCE net out not gross := sub(53, 0)

操作後

MFMC SOURCE net out not gross = 53

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019

S021 · calculation

操作前

MFMC SINK net in not gross := sub(53, 0)

操作後

MFMC SINK net in not gross = 53

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

source roles = [[[a0, s], [a0, t], [a1, t], [s, a0], [s, a1]], [0, 26, 27, 26, 27], [31, 26, 27, 26, 27], s, t]

操作後

derived = [[[[a0, s], 0, 31, 是], [[a0, t], 26, 26, 是], [[a1, t], 27, 27, 是], [[s, a0], 26, 26, 是], [[s, a1], 27, 27, 是]], [[a0, 26, 26, 是], [a1, 27, 27, 是]], 是, 是, 53, 53, 是, 是]

條件：無

feasible要逐edge容量界、逐internal守恆與源匯NET相同。incoming source或outgoing sink不丟棄；合法feasible flow的net可負，不額外要求value>=0。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_capacity_EVERY_internal_balance_source_sink_NET_feasibility · 依賴：G001, S021

S023 · calculation

操作前

MFMC cut mask0 OUTWARD flow := sum(26, 27)

操作後

MFMC cut mask0 OUTWARD flow = 53

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022

S024 · calculation

操作前

MFMC cut mask0 INWARD flow := sum(0)

操作後

MFMC cut mask0 INWARD flow = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023

S025 · calculation

操作前

MFMC cut mask0 NET flow := sub(53, 0)

操作後

MFMC cut mask0 NET flow = 53

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S024

S026 · implies

操作前

source roles = [[s], [3, 4], [0], 53]

操作後

derived = [[[s], 53, 0, 53, 53, 是, 是]]

條件：無

把S內各點net out相加，internal arcs相消且internal點守恆，剩source net。因inward flow非負、每條outward flow<=cap，value=out−in<=out<=cut capacity，對全部cuts皆成立。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_cut_conservation_cancellation_and_weak_upper_bound · 依賴：G001, S025

S027 · calculation

操作前

MFMC cut mask1 OUTWARD flow := sum(26, 27)

操作後

MFMC cut mask1 OUTWARD flow = 53

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S026

S028 · calculation

操作前

MFMC cut mask1 INWARD flow := sum()

操作後

MFMC cut mask1 INWARD flow = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027

S029 · calculation

操作前

MFMC cut mask1 NET flow := sub(53, 0)

操作後

MFMC cut mask1 NET flow = 53

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S028

S030 · implies

操作前

source roles = [[a0, s], [1, 4], [], 53]

操作後

derived = [[[a0, s], 53, 0, 53, 53, 是, 是]]

條件：無

把S內各點net out相加，internal arcs相消且internal點守恆，剩source net。因inward flow非負、每條outward flow<=cap，value=out−in<=out<=cut capacity，對全部cuts皆成立。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_cut_conservation_cancellation_and_weak_upper_bound · 依賴：G001, S029

S031 · calculation

操作前

MFMC cut mask2 OUTWARD flow := sum(27, 26)

操作後

MFMC cut mask2 OUTWARD flow = 53

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S030

S032 · calculation

操作前

MFMC cut mask2 INWARD flow := sum(0)

操作後

MFMC cut mask2 INWARD flow = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031

S033 · calculation

操作前

MFMC cut mask2 NET flow := sub(53, 0)

操作後

MFMC cut mask2 NET flow = 53

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S032

S034 · implies

操作前

source roles = [[a1, s], [2, 3], [0], 53]

操作後

derived = [[[a1, s], 53, 0, 53, 53, 是, 是]]

條件：無

把S內各點net out相加，internal arcs相消且internal點守恆，剩source net。因inward flow非負、每條outward flow<=cap，value=out−in<=out<=cut capacity，對全部cuts皆成立。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_cut_conservation_cancellation_and_weak_upper_bound · 依賴：G001, S033

S035 · calculation

操作前

MFMC cut mask3 OUTWARD flow := sum(26, 27)

操作後

MFMC cut mask3 OUTWARD flow = 53

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S034

S036 · calculation

操作前

MFMC cut mask3 INWARD flow := sum()

操作後

MFMC cut mask3 INWARD flow = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035

S037 · calculation

操作前

MFMC cut mask3 NET flow := sub(53, 0)

操作後

MFMC cut mask3 NET flow = 53

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用浮點近似；額外教學恆等式不另縮限原題數值域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S036

S038 · implies

操作前

source roles = [[a0, a1, s], [1, 2], [], 53]

操作後

derived = [[[a0, a1, s], 53, 0, 53, 53, 是, 是]]

條件：無

把S內各點net out相加，internal arcs相消且internal點守恆，剩source net。因inward flow非負、每條outward flow<=cap，value=out−in<=out<=cut capacity，對全部cuts皆成立。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_EVERY_cut_conservation_cancellation_and_weak_upper_bound · 依賴：G001, S037

S039 · implies

操作前

source roles = [是, 53, 53, [[s], [a0, s], [a1, s], [a0, a1, s]]]

操作後

derived = [[[s], [a0, s], [a1, s], [a0, a1, s]], 是, 是, 是, 否]

條件：無

任意feasible flow不超過這個同值cut，而任意cut不低於此feasible flow，因此當前flow達maximum且同值cuts達minimum。這是弱界的雙向夾住，不由裸數字相等取代feasibility；最後No僅不提供integrality或algorithm證明。

步驟識別與依賴

規則：MFMC_feasible_equal_value_GENERAL_bounds_certify_BOTH_optima · 依賴：G001, S038

逐步反向核對

S039 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S038 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask3 NET flow，不以小數近似替代。
S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask3 INWARD flow，不以小數近似替代。
S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask3 OUTWARD flow，不以小數近似替代。
S034 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask2 NET flow，不以小數近似替代。
S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask2 INWARD flow，不以小數近似替代。
S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask2 OUTWARD flow，不以小數近似替代。
S030 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask1 NET flow，不以小數近似替代。
S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask1 INWARD flow，不以小數近似替代。
S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask1 OUTWARD flow，不以小數近似替代。
S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask0 NET flow，不以小數近似替代。
S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask0 INWARD flow，不以小數近似替代。
S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask0 OUTWARD flow，不以小數近似替代。
S022 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC SINK net in not gross，不以小數近似替代。
S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC SOURCE net out not gross，不以小數近似替代。
S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC vertex t ALL outgoing，不以小數近似替代。
S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC vertex t ALL incoming，不以小數近似替代。
S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC vertex s ALL outgoing，不以小數近似替代。
S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC vertex s ALL incoming，不以小數近似替代。
S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC vertex a1 ALL outgoing，不以小數近似替代。
S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC vertex a1 ALL incoming，不以小數近似替代。
S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC vertex a0 ALL outgoing，不以小數近似替代。
S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC vertex a0 ALL incoming，不以小數近似替代。
S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask3 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。
S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask2 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。
S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask1 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。
S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 MFMC cut mask0 OUTWARD capacity，不以小數近似替代。
S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(53, 53, [[s], [a0, s], [a1, s], [a0, a1, s]], [[s], [a0, s], [a1, s], [a0, a1, s]], 是, 是, 是, 否, equal_feasible_flow_and_cut_values_certify_both_optimal_without_integrality_or_algorithm_claims)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證

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