第 26240 題：壓縮映射定理

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原題與已知條件
定義與適用範圍
逐步推導
逐步反向核對
結論
本題覆核與來源綁定

R0051-26240 · q-20261015-advance-20261116-r01-contraction-mapping-theorem-0065

原題與已知條件

完整metric、total self-map與forall-pairs q<1 contraction責任。操作=contract-fixed-point-bound；資料={"metric":[[0,15,45],[15,0,30],[45,30,0]],"mapping":[0,0,1],"q":[1,2],"start":2,"steps":6}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

G001 — 完整metric、total self-map與forall-pairs q<1 contraction責任。操作=contract-fixed-point-bound；資料={"metric":[[0,15,45],[15,0,30],[45,30,0]],"mapping":[0,0,1],"q":[1,2],"start":2,"steps":6}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

mko-contraction-mapping-theorem

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [contract-fixed-point-bound]

操作後

derived = [[orbit, fixed_point, actual_error, geometric_bound, bound_holds, certificate]]

條件：無

本頁直接列完整來源欄序，不需JavaScript；contract的6/4/6/6與IVT的8/7/8由原mode選，不補欄也不由答案形狀猜。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source roles = [[[0, 15, 45], [15, 0, 30], [45, 30, 0]]]

操作後

derived = [3, 是, 是, 是, [[0, 0, 0, 0, 0, 是], [0, 0, 1, 15, 15, 是], [0, 0, 2, 45, 45, 是], [0, 1, 0, 0, 30, 是], [0, 1, 1, 15, 15, 是], [0, 1, 2, 45, 45, 是], [0, 2, 0, 0, 90, 是], [0, 2, 1, 15, 75, 是], [0, 2, 2, 45, 45, 是], [1, 0, 0, 15, 15, 是], [1, 0, 1, 0, 30, 是], [1, 0, 2, 30, 60, 是], [1, 1, 0, 15, 15, 是], [1, 1, 1, 0, 0, 是], [1, 1, 2, 30, 30, 是], [1, 2, 0, 15, 75, 是], [1, 2, 1, 0, 60, 是], [1, 2, 2, 30, 30, 是], [2, 0, 0, 45, 45, 是], [2, 0, 1, 30, 60, 是], [2, 0, 2, 0, 90, 是], [2, 1, 0, 45, 45, 是], [2, 1, 1, 30, 30, 是], [2, 1, 2, 0, 60, 是], [2, 2, 0, 45, 45, 是], [2, 2, 1, 30, 30, 是], [2, 2, 2, 0, 0, 是]], 是]

條件：無

逐全部三元組核triangle，不由samples推metric。非空有限metric必complete：singleton顯然，否則取最小正距離delta，Cauchy尾段距離<delta便全相同，故極限仍在X。

步驟識別與依賴

規則：Contraction_COMPLETE_metric_axioms_ALL_triangles_finite_completeness · 依賴：G001, S001

S003 · calculation

操作前

Contraction ORIGINAL pair0,0 q times distance := mul(1/2, 0)

操作後

Contraction ORIGINAL pair0,0 q times distance = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002

S004 · calculation

操作前

Contraction ORIGINAL pair0,1 q times distance := mul(1/2, 15)

操作後

Contraction ORIGINAL pair0,1 q times distance = 15/2

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003

S005 · calculation

操作前

Contraction ORIGINAL pair0,2 q times distance := mul(1/2, 45)

操作後

Contraction ORIGINAL pair0,2 q times distance = 45/2

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004

S006 · calculation

操作前

Contraction ORIGINAL pair1,0 q times distance := mul(1/2, 15)

操作後

Contraction ORIGINAL pair1,0 q times distance = 15/2

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005

S007 · calculation

操作前

Contraction ORIGINAL pair1,1 q times distance := mul(1/2, 0)

操作後

Contraction ORIGINAL pair1,1 q times distance = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006

S008 · calculation

操作前

Contraction ORIGINAL pair1,2 q times distance := mul(1/2, 30)

操作後

Contraction ORIGINAL pair1,2 q times distance = 15

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007

S009 · calculation

操作前

Contraction ORIGINAL pair2,0 q times distance := mul(1/2, 45)

操作後

Contraction ORIGINAL pair2,0 q times distance = 45/2

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008

S010 · calculation

操作前

Contraction ORIGINAL pair2,1 q times distance := mul(1/2, 30)

操作後

Contraction ORIGINAL pair2,1 q times distance = 15

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009

S011 · calculation

操作前

Contraction ORIGINAL pair2,2 q times distance := mul(1/2, 0)

操作後

Contraction ORIGINAL pair2,2 q times distance = 0

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

source roles = [[0, 0, 1], 1/2, [[0, 15, 45], [15, 0, 30], [45, 30, 0]]]

操作後

derived = [是, 是, [[0, 0, 0, 0, 是], [0, 1, 0, 15/2, 是], [0, 2, 15, 45/2, 是], [1, 0, 0, 15/2, 是], [1, 1, 0, 0, 是], [1, 2, 15, 15, 是], [2, 0, 15, 45/2, 是], [2, 1, 15, 15, 是], [2, 2, 0, 0, 是]], 是, [0]]

條件：無

self-map、0<=q<1與全部pair inequalities分開。nonself時source pairrows空；q失格但self時仍列實際全pair結果，不由array長度或抽樣判global。

步驟識別與依賴

規則：Contraction_selfmap_q_range_ALL_ordered_pairs_separate · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

source roles = [0, 2, [0, 0, 1]]

操作後

derived = [1, 15]

條件：無

按同一完整map取下一步，保start與每次iterate，不由短prefix猜fixed point。

步驟識別與依賴

規則：Contraction_EACH_Picard_iterate_original_total_map · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

source roles = [1, 1, [0, 0, 1]]

操作後

derived = [0, 0]

條件：無

按同一完整map取下一步，保start與每次iterate，不由短prefix猜fixed point。

步驟識別與依賴

規則：Contraction_EACH_Picard_iterate_original_total_map · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

source roles = [2, 0, [0, 0, 1]]

操作後

derived = [0, 0]

條件：無

按同一完整map取下一步，保start與每次iterate，不由短prefix猜fixed point。

步驟識別與依賴

規則：Contraction_EACH_Picard_iterate_original_total_map · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

source roles = [3, 0, [0, 0, 1]]

操作後

derived = [0, 0]

條件：無

按同一完整map取下一步，保start與每次iterate，不由短prefix猜fixed point。

步驟識別與依賴

規則：Contraction_EACH_Picard_iterate_original_total_map · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

source roles = [4, 0, [0, 0, 1]]

操作後

derived = [0, 0]

條件：無

按同一完整map取下一步，保start與每次iterate，不由短prefix猜fixed point。

步驟識別與依賴

規則：Contraction_EACH_Picard_iterate_original_total_map · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

source roles = [5, 0, [0, 0, 1]]

操作後

derived = [0, 0]

條件：無

按同一完整map取下一步，保start與每次iterate，不由短prefix猜fixed point。

步驟識別與依賴

規則：Contraction_EACH_Picard_iterate_original_total_map · 依賴：G001, S017

S019 · implies

操作前

source roles = [1/2, [0], 2, [2, 1, 0, 0, 0, 0, 0]]

操作後

derived = [[45, 15, 0, 0, 0, 0, 0], d(x_(n+k),x_n)<=q^n*(1-q^k)/(1-q)*d(x1,x0), complete limit fixed;two fixed points obey(1-q)d<=0 hence coincide]

條件：無

相鄰距離逐步<=q次前距，triangle把有限尾和成geometric bound，使Picard為Cauchy；completeness給極限，Lipschitz continuity使極限fixed。任兩fixed距離<=q倍自身，q<1迫距離0，故唯一。這是一般教學理由，不把finite orbit當一般定理形式證明。

步驟識別與依賴

規則：Contraction_GENERAL_geometric_tail_complete_limit_and_unique_fixed · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

(1/2)^6

操作後

Contraction ORIGINAL q powerN = 1/64

條件：無

以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。

步驟識別與依賴

規則：integer_power · 依賴：G001, S019

S021 · calculation

操作前

Contraction strict one minus q := sub(1, 1/2)

操作後

Contraction strict one minus q = 1/2

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S020

S022 · calculation

操作前

Contraction geometric tail factor := div(1/64, 1/2)

操作後

Contraction geometric tail factor = 1/32

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021

S023 · calculation

操作前

Contraction factor times ORIGINAL first-step distance := mul(1/32, 30)

操作後

Contraction factor times ORIGINAL first-step distance = 15/16

條件：無

依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S022

S024 · implies

操作前

source roles = [6, 1/2, [2, 1, 0, 0, 0, 0, 0], 0, 30]

操作後

derived = [0, 15/16, 是]

條件：無

取尾長k→infinity得a posteriori界；N0時q^0空乘積1，即使q0。原source先算power／division再乘first distance，不因distance0跳過profile。

步驟識別與依賴

規則：Contraction_actual_error_bound_N0_q0_profile_NOT_shortcircuited · 依賴：G001, S023

逐步反向核對

S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction factor times ORIGINAL first-step distance，不以小數近似替代。
S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction geometric tail factor，不以小數近似替代。
S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction strict one minus q，不以小數近似替代。
S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S019 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction ORIGINAL pair2,2 q times distance，不以小數近似替代。
S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction ORIGINAL pair2,1 q times distance，不以小數近似替代。
S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction ORIGINAL pair2,0 q times distance，不以小數近似替代。
S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction ORIGINAL pair1,2 q times distance，不以小數近似替代。
S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction ORIGINAL pair1,1 q times distance，不以小數近似替代。
S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction ORIGINAL pair1,0 q times distance，不以小數近似替代。
S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction ORIGINAL pair0,2 q times distance，不以小數近似替代。
S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction ORIGINAL pair0,1 q times distance，不以小數近似替代。
S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction ORIGINAL pair0,0 q times distance，不以小數近似替代。
S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([2, 1, 0, 0, 0, 0, 0], 0, 0, 15/16, 是, d_xn_fixed_le_qn_over_one_minus_q_times_d_x1_x0)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證

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original question SHA-256: cfb86a554f829b9b98429dd2d102103757359a92b9957ce0c6e5ee3b3115b784
candidate record SHA-256: eddf73a70b1aadd8e13bfd94dca9f0c16f562836bc25d1f3b5a209b864db7c8f
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Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

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