R0051-26241 · q-20261015-advance-20261116-r01-contraction-mapping-theorem-0066
完整metric、total self-map與forall-pairs q<1 contraction責任。操作=contract-fixed-point-bound；資料={"metric":[[0,16,48],[16,0,32],[48,32,0]],"mapping":[0,0,1],"q":[1,2],"start":2,"steps":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。
G001 — 完整metric、total self-map與forall-pairs q<1 contraction責任。操作=contract-fixed-point-bound；資料={"metric":[[0,16,48],[16,0,32],[48,32,0]],"mapping":[0,0,1],"q":[1,2],"start":2,"steps":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [contract-fixed-point-bound]
操作後
derived = [[orbit, fixed_point, actual_error, geometric_bound, bound_holds, certificate]]
條件：無
本頁直接列完整來源欄序，不需JavaScript；contract的6/4/6/6與IVT的8/7/8由原mode選，不補欄也不由答案形狀猜。
規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001
操作前
source roles = [[[0, 16, 48], [16, 0, 32], [48, 32, 0]]]
操作後
derived = [3, 是, 是, 是, [[0, 0, 0, 0, 0, 是], [0, 0, 1, 16, 16, 是], [0, 0, 2, 48, 48, 是], [0, 1, 0, 0, 32, 是], [0, 1, 1, 16, 16, 是], [0, 1, 2, 48, 48, 是], [0, 2, 0, 0, 96, 是], [0, 2, 1, 16, 80, 是], [0, 2, 2, 48, 48, 是], [1, 0, 0, 16, 16, 是], [1, 0, 1, 0, 32, 是], [1, 0, 2, 32, 64, 是], [1, 1, 0, 16, 16, 是], [1, 1, 1, 0, 0, 是], [1, 1, 2, 32, 32, 是], [1, 2, 0, 16, 80, 是], [1, 2, 1, 0, 64, 是], [1, 2, 2, 32, 32, 是], [2, 0, 0, 48, 48, 是], [2, 0, 1, 32, 64, 是], [2, 0, 2, 0, 96, 是], [2, 1, 0, 48, 48, 是], [2, 1, 1, 32, 32, 是], [2, 1, 2, 0, 64, 是], [2, 2, 0, 48, 48, 是], [2, 2, 1, 32, 32, 是], [2, 2, 2, 0, 0, 是]], 是]
條件：無
逐全部三元組核triangle，不由samples推metric。非空有限metric必complete：singleton顯然，否則取最小正距離delta，Cauchy尾段距離<delta便全相同，故極限仍在X。
規則：Contraction_COMPLETE_metric_axioms_ALL_triangles_finite_completeness · 依賴：G001, S001
操作前
Contraction ORIGINAL pair0,0 q times distance := mul(1/2, 0)
操作後
Contraction ORIGINAL pair0,0 q times distance = 0
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
Contraction ORIGINAL pair0,1 q times distance := mul(1/2, 16)
操作後
Contraction ORIGINAL pair0,1 q times distance = 8
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
Contraction ORIGINAL pair0,2 q times distance := mul(1/2, 48)
操作後
Contraction ORIGINAL pair0,2 q times distance = 24
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
Contraction ORIGINAL pair1,0 q times distance := mul(1/2, 16)
操作後
Contraction ORIGINAL pair1,0 q times distance = 8
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
Contraction ORIGINAL pair1,1 q times distance := mul(1/2, 0)
操作後
Contraction ORIGINAL pair1,1 q times distance = 0
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
Contraction ORIGINAL pair1,2 q times distance := mul(1/2, 32)
操作後
Contraction ORIGINAL pair1,2 q times distance = 16
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
Contraction ORIGINAL pair2,0 q times distance := mul(1/2, 48)
操作後
Contraction ORIGINAL pair2,0 q times distance = 24
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
Contraction ORIGINAL pair2,1 q times distance := mul(1/2, 32)
操作後
Contraction ORIGINAL pair2,1 q times distance = 16
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009
操作前
Contraction ORIGINAL pair2,2 q times distance := mul(1/2, 0)
操作後
Contraction ORIGINAL pair2,2 q times distance = 0
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
操作前
source roles = [[0, 0, 1], 1/2, [[0, 16, 48], [16, 0, 32], [48, 32, 0]]]
操作後
derived = [是, 是, [[0, 0, 0, 0, 是], [0, 1, 0, 8, 是], [0, 2, 16, 24, 是], [1, 0, 0, 8, 是], [1, 1, 0, 0, 是], [1, 2, 16, 16, 是], [2, 0, 16, 24, 是], [2, 1, 16, 16, 是], [2, 2, 0, 0, 是]], 是, [0]]
條件：無
self-map、0<=q<1與全部pair inequalities分開。nonself時source pairrows空；q失格但self時仍列實際全pair結果，不由array長度或抽樣判global。
規則：Contraction_selfmap_q_range_ALL_ordered_pairs_separate · 依賴：G001, S011
操作前
source roles = [0, 2, [0, 0, 1]]
操作後
derived = [1, 16]
條件：無
按同一完整map取下一步，保start與每次iterate，不由短prefix猜fixed point。
規則：Contraction_EACH_Picard_iterate_original_total_map · 依賴：G001, S012
操作前
source roles = [1, 1, [0, 0, 1]]
操作後
derived = [0, 0]
條件：無
按同一完整map取下一步，保start與每次iterate，不由短prefix猜fixed point。
規則：Contraction_EACH_Picard_iterate_original_total_map · 依賴：G001, S013
操作前
source roles = [1/2, [0], 2, [2, 1, 0]]
操作後
derived = [[48, 16, 0], d(x_(n+k),x_n)<=q^n*(1-q^k)/(1-q)*d(x1,x0), complete limit fixed;two fixed points obey(1-q)d<=0 hence coincide]
條件：無
相鄰距離逐步<=q次前距，triangle把有限尾和成geometric bound，使Picard為Cauchy；completeness給極限，Lipschitz continuity使極限fixed。任兩fixed距離<=q倍自身，q<1迫距離0，故唯一。這是一般教學理由，不把finite orbit當一般定理形式證明。
規則：Contraction_GENERAL_geometric_tail_complete_limit_and_unique_fixed · 依賴：G001, S014
操作前
(1/2)^2
操作後
Contraction ORIGINAL q powerN = 1/4
條件：無
以非負整數次有限乘積精確計算，零次為多項式中的乘法單位元。
規則：integer_power · 依賴：G001, S015
操作前
Contraction strict one minus q := sub(1, 1/2)
操作後
Contraction strict one minus q = 1/2
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016
操作前
Contraction geometric tail factor := div(1/4, 1/2)
操作後
Contraction geometric tail factor = 1/2
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017
操作前
Contraction factor times ORIGINAL first-step distance := mul(1/2, 32)
操作後
Contraction factor times ORIGINAL first-step distance = 16
條件：無
依原始角色與已證中間量精確代值，不用近似；額外教學恆等式不另縮限原題域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018
操作前
source roles = [2, 1/2, [2, 1, 0], 0, 32]
操作後
derived = [0, 16, 是]
條件：無
取尾長k→infinity得a posteriori界；N0時q^0空乘積1，即使q0。原source先算power／division再乘first distance，不因distance0跳過profile。
規則：Contraction_actual_error_bound_N0_q0_profile_NOT_shortcircuited · 依賴：G001, S019
S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction factor times ORIGINAL first-step distance，不以小數近似替代。S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction geometric tail factor，不以小數近似替代。S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction strict one minus q，不以小數近似替代。S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction ORIGINAL pair2,2 q times distance，不以小數近似替代。S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction ORIGINAL pair2,1 q times distance，不以小數近似替代。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction ORIGINAL pair2,0 q times distance，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction ORIGINAL pair1,2 q times distance，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction ORIGINAL pair1,1 q times distance，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction ORIGINAL pair1,0 q times distance，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction ORIGINAL pair0,2 q times distance，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction ORIGINAL pair0,1 q times distance，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Contraction ORIGINAL pair0,0 q times distance，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。([2, 1, 0], 0, 0, 16, 是, d_xn_fixed_le_qn_over_one_minus_q_times_d_x1_x0)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: d5159c466fcddb4b3f29202def70f4087e2944d1f1c2e5b6ac04ff0f6ba84cf3candidate record SHA-256: 1acb6800907c16020efc2a7d97fbb8a320a05470b31e31b90cc40b3a862644edsemantic review receipt SHA-256: 90df1e889242e9afdf01e068788ee8500ef366ffcfc0496e30a6800de32631c3question-first witness SHA-256: ae1e849608590ca856c9f3b6911ba58e3bf53c608eb7369606192a770f48bd5cLean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED