第 127 題：有限模型充分統計量

原題與已知條件

total statistic fibers與正質量conditional laws的完整theta-invariance責任。操作=suff-conditional-table；資料={"theta_values":["a1","b1"],"samples":[10,11,12,13],"probability_rows":[[[2,5],[1,10],[2,5],[1,10]],[[1,10],[2,5],[1,10],[2,5]]],"statistic":[0,1,0,1]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — total statistic fibers與正質量conditional laws的完整theta-invariance責任。操作=suff-conditional-table；資料={"theta_values":["a1","b1"],"samples":[10,11,12,13],"probability_rows":[[[2,5],[1,10],[2,5],[1,10]],[[1,10],[2,5],[1,10],[2,5]]],"statistic":[0,1,0,1]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

統計量在完整樣本集合上有定義；逐參數正規化，僅對正質量 fiber 定義條件分布。

• mko-finite-sufficient-statistic

逐步推導

Ω=[10, 11, 12, 13]; T=[0, 1, 0, 1]

fibers=[[0, [10, 12]], [1, [11, 13]]]

[[0, [10, 12]], [1, [11, 13]]]

disjoint union of fibers = [10, 11, 12, 13]

P_a1(Ω) := sum(2/5, 1/10, 2/5, 1/10)

P_a1(Ω) = 1

P_a1(T=0) := sum(2/5, 2/5)

P_a1(T=0) = 4/5

P_a1(X=10|T=0) := div(2/5, 4/5)

P_a1(X=10|T=0) = 1/2

reconstruct P_a1(X=10) := mul(1/2, 4/5)

reconstruct P_a1(X=10) = 2/5

P_a1(X=12|T=0) := div(2/5, 4/5)

P_a1(X=12|T=0) = 1/2

reconstruct P_a1(X=12) := mul(1/2, 4/5)

reconstruct P_a1(X=12) = 2/5

conditional total (a1,0) := sum(1/2, 1/2)

conditional total (a1,0) = 1

P_a1(T=1) := sum(1/10, 1/10)

P_a1(T=1) = 1/5

P_a1(X=11|T=1) := div(1/10, 1/5)

P_a1(X=11|T=1) = 1/2

reconstruct P_a1(X=11) := mul(1/2, 1/5)

reconstruct P_a1(X=11) = 1/10

P_a1(X=13|T=1) := div(1/10, 1/5)

P_a1(X=13|T=1) = 1/2

reconstruct P_a1(X=13) := mul(1/2, 1/5)

reconstruct P_a1(X=13) = 1/10

conditional total (a1,1) := sum(1/2, 1/2)

conditional total (a1,1) = 1

P_b1(Ω) := sum(1/10, 2/5, 1/10, 2/5)

P_b1(Ω) = 1

P_b1(T=0) := sum(1/10, 1/10)

P_b1(T=0) = 1/5

P_b1(X=10|T=0) := div(1/10, 1/5)

P_b1(X=10|T=0) = 1/2

reconstruct P_b1(X=10) := mul(1/2, 1/5)

reconstruct P_b1(X=10) = 1/10

P_b1(X=12|T=0) := div(1/10, 1/5)

P_b1(X=12|T=0) = 1/2

reconstruct P_b1(X=12) := mul(1/2, 1/5)

reconstruct P_b1(X=12) = 1/10

conditional total (b1,0) := sum(1/2, 1/2)

conditional total (b1,0) = 1

P_b1(T=1) := sum(2/5, 2/5)

P_b1(T=1) = 4/5

P_b1(X=11|T=1) := div(2/5, 4/5)

P_b1(X=11|T=1) = 1/2

reconstruct P_b1(X=11) := mul(1/2, 4/5)

reconstruct P_b1(X=11) = 2/5

P_b1(X=13|T=1) := div(2/5, 4/5)

P_b1(X=13|T=1) = 1/2

reconstruct P_b1(X=13) := mul(1/2, 4/5)

reconstruct P_b1(X=13) = 2/5

conditional total (b1,1) := sum(1/2, 1/2)

conditional total (b1,1) = 1

all parameter × fiber cells audited

[[a1, 0, 4/5, [[10, 1/2], [12, 1/2]]], [a1, 1, 1/5, [[11, 1/2], [13, 1/2]]], [b1, 0, 1/5, [[10, 1/2], [12, 1/2]]], [b1, 1, 4/5, [[11, 1/2], [13, 1/2]]]]

逐步反向核對

• S029 · premise_and_result_audit — 本題只求條件分布表；未額外宣稱估計品質或引入 factorization theorem。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 conditional total (b1,1)，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 reconstruct P_b1(X=13)，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P_b1(X=13|T=1)，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 reconstruct P_b1(X=11)，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P_b1(X=11|T=1)，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P_b1(T=1)，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 conditional total (b1,0)，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 reconstruct P_b1(X=12)，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P_b1(X=12|T=0)，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 reconstruct P_b1(X=10)，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P_b1(X=10|T=0)，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P_b1(T=0)，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P_b1(Ω)，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 conditional total (a1,1)，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 reconstruct P_a1(X=13)，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P_a1(X=13|T=1)，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 reconstruct P_a1(X=11)，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P_a1(X=11|T=1)，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P_a1(T=1)，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 conditional total (a1,0)，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 reconstruct P_a1(X=12)，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P_a1(X=12|T=0)，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 reconstruct P_a1(X=10)，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P_a1(X=10|T=0)，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P_a1(T=0)，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P_a1(Ω)，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 即使某個 fiber 在某參數下機率為零，它仍屬於這個 partition。
• S001 · premise_and_result_audit — T 必須對每個樣本點都有且只有一個值。

結論

([[a1, 0, 4/5, [[10, 1/2], [12, 1/2]]], [a1, 1, 1/5, [[11, 1/2], [13, 1/2]]], [b1, 0, 1/5, [[10, 1/2], [12, 1/2]]], [b1, 1, 4/5, [[11, 1/2], [13, 1/2]]]], zero_mass_cells_remain_undefined)

逐 cell 的完整條件分布如表；零質量 cell 必須保留 null。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-24

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。