第 787 題：有向無環圖的拓撲排序

原題與已知條件

finite digraph、完整vertex permutation與all-edge order責任。操作=toposort-all-orders；資料={"vertices":["v0","v1","v2","v3","v4","v5"],"edges":[["v0","v3"],["v0","v4"]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — finite digraph、完整vertex permutation與all-edge order責任。操作=toposort-all-orders；資料={"vertices":["v0","v1","v2","v3","v4","v5"],"edges":[["v0","v3"],["v0","v4"]]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

有限有向圖；合法次序的首點必為零入度點，依首點分支遞迴可不漏不重地列出全部次序。

• mko-topological-ordering-dag

逐步推導

V=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]

all directed edges=[[v0, v3], [v0, v4]]

no vertices remain

one empty completion; C(∅)=1

C(v5) := sum(1)

C(v5) = 1

remaining=[v5]; eligible first vertices=[v5]

complete continuations=1

C(v4) := sum(1)

C(v4) = 1

remaining=[v4]; eligible first vertices=[v4]

complete continuations=1

C(v4,v5) := sum(1, 1)

C(v4,v5) = 2

remaining=[v4, v5]; eligible first vertices=[v4, v5]

complete continuations=2

C(v3) := sum(1)

C(v3) = 1

remaining=[v3]; eligible first vertices=[v3]

complete continuations=1

C(v3,v5) := sum(1, 1)

C(v3,v5) = 2

remaining=[v3, v5]; eligible first vertices=[v3, v5]

complete continuations=2

C(v3,v4) := sum(1, 1)

C(v3,v4) = 2

remaining=[v3, v4]; eligible first vertices=[v3, v4]

complete continuations=2

C(v3,v4,v5) := sum(2, 2, 2)

C(v3,v4,v5) = 6

remaining=[v3, v4, v5]; eligible first vertices=[v3, v4, v5]

complete continuations=6

C(v2) := sum(1)

C(v2) = 1

remaining=[v2]; eligible first vertices=[v2]

complete continuations=1

C(v2,v5) := sum(1, 1)

C(v2,v5) = 2

remaining=[v2, v5]; eligible first vertices=[v2, v5]

complete continuations=2

C(v2,v4) := sum(1, 1)

C(v2,v4) = 2

remaining=[v2, v4]; eligible first vertices=[v2, v4]

complete continuations=2

C(v2,v4,v5) := sum(2, 2, 2)

C(v2,v4,v5) = 6

remaining=[v2, v4, v5]; eligible first vertices=[v2, v4, v5]

complete continuations=6

C(v2,v3) := sum(1, 1)

C(v2,v3) = 2

remaining=[v2, v3]; eligible first vertices=[v2, v3]

complete continuations=2

C(v2,v3,v5) := sum(2, 2, 2)

C(v2,v3,v5) = 6

remaining=[v2, v3, v5]; eligible first vertices=[v2, v3, v5]

complete continuations=6

C(v2,v3,v4) := sum(2, 2, 2)

C(v2,v3,v4) = 6

remaining=[v2, v3, v4]; eligible first vertices=[v2, v3, v4]

complete continuations=6

C(v2,v3,v4,v5) := sum(6, 6, 6, 6)

C(v2,v3,v4,v5) = 24

remaining=[v2, v3, v4, v5]; eligible first vertices=[v2, v3, v4, v5]

complete continuations=24

C(v1) := sum(1)

C(v1) = 1

remaining=[v1]; eligible first vertices=[v1]

complete continuations=1

C(v1,v5) := sum(1, 1)

C(v1,v5) = 2

remaining=[v1, v5]; eligible first vertices=[v1, v5]

complete continuations=2

C(v1,v4) := sum(1, 1)

C(v1,v4) = 2

remaining=[v1, v4]; eligible first vertices=[v1, v4]

complete continuations=2

C(v1,v4,v5) := sum(2, 2, 2)

C(v1,v4,v5) = 6

remaining=[v1, v4, v5]; eligible first vertices=[v1, v4, v5]

complete continuations=6

C(v1,v3) := sum(1, 1)

C(v1,v3) = 2

remaining=[v1, v3]; eligible first vertices=[v1, v3]

complete continuations=2

C(v1,v3,v5) := sum(2, 2, 2)

C(v1,v3,v5) = 6

remaining=[v1, v3, v5]; eligible first vertices=[v1, v3, v5]

complete continuations=6

C(v1,v3,v4) := sum(2, 2, 2)

C(v1,v3,v4) = 6

remaining=[v1, v3, v4]; eligible first vertices=[v1, v3, v4]

complete continuations=6

C(v1,v3,v4,v5) := sum(6, 6, 6, 6)

C(v1,v3,v4,v5) = 24

remaining=[v1, v3, v4, v5]; eligible first vertices=[v1, v3, v4, v5]

complete continuations=24

C(v1,v2) := sum(1, 1)

C(v1,v2) = 2

remaining=[v1, v2]; eligible first vertices=[v1, v2]

complete continuations=2

C(v1,v2,v5) := sum(2, 2, 2)

C(v1,v2,v5) = 6

remaining=[v1, v2, v5]; eligible first vertices=[v1, v2, v5]

complete continuations=6

C(v1,v2,v4) := sum(2, 2, 2)

C(v1,v2,v4) = 6

remaining=[v1, v2, v4]; eligible first vertices=[v1, v2, v4]

complete continuations=6

C(v1,v2,v4,v5) := sum(6, 6, 6, 6)

C(v1,v2,v4,v5) = 24

remaining=[v1, v2, v4, v5]; eligible first vertices=[v1, v2, v4, v5]

complete continuations=24

C(v1,v2,v3) := sum(2, 2, 2)

C(v1,v2,v3) = 6

remaining=[v1, v2, v3]; eligible first vertices=[v1, v2, v3]

complete continuations=6

C(v1,v2,v3,v5) := sum(6, 6, 6, 6)

C(v1,v2,v3,v5) = 24

remaining=[v1, v2, v3, v5]; eligible first vertices=[v1, v2, v3, v5]

complete continuations=24

C(v1,v2,v3,v4) := sum(6, 6, 6, 6)

C(v1,v2,v3,v4) = 24

remaining=[v1, v2, v3, v4]; eligible first vertices=[v1, v2, v3, v4]

complete continuations=24

C(v1,v2,v3,v4,v5) := sum(24, 24, 24, 24, 24)

C(v1,v2,v3,v4,v5) = 120

remaining=[v1, v2, v3, v4, v5]; eligible first vertices=[v1, v2, v3, v4, v5]

complete continuations=120

C(v0,v3,v4) := sum(2)

C(v0,v3,v4) = 2

remaining=[v0, v3, v4]; eligible first vertices=[v0]

complete continuations=2

C(v0,v3,v4,v5) := sum(6, 2)

C(v0,v3,v4,v5) = 8

remaining=[v0, v3, v4, v5]; eligible first vertices=[v0, v5]

complete continuations=8

C(v0,v2,v3,v4) := sum(6, 2)

C(v0,v2,v3,v4) = 8

remaining=[v0, v2, v3, v4]; eligible first vertices=[v0, v2]

complete continuations=8

C(v0,v2,v3,v4,v5) := sum(24, 8, 8)

C(v0,v2,v3,v4,v5) = 40

remaining=[v0, v2, v3, v4, v5]; eligible first vertices=[v0, v2, v5]

complete continuations=40

C(v0,v1,v3,v4) := sum(6, 2)

C(v0,v1,v3,v4) = 8

remaining=[v0, v1, v3, v4]; eligible first vertices=[v0, v1]

complete continuations=8

C(v0,v1,v3,v4,v5) := sum(24, 8, 8)

C(v0,v1,v3,v4,v5) = 40

remaining=[v0, v1, v3, v4, v5]; eligible first vertices=[v0, v1, v5]

complete continuations=40

C(v0,v1,v2,v3,v4) := sum(24, 8, 8)

C(v0,v1,v2,v3,v4) = 40

remaining=[v0, v1, v2, v3, v4]; eligible first vertices=[v0, v1, v2]

complete continuations=40

C(v0,v1,v2,v3,v4,v5) := sum(120, 40, 40, 40)

C(v0,v1,v2,v3,v4,v5) = 240

remaining=[v0, v1, v2, v3, v4, v5]; eligible first vertices=[v0, v1, v2, v5]

complete continuations=240

all root branches; count=240

enumeration contains each legal permutation exactly once

valid order count=240

at least one exists: 是

逐步反向核對

• S082 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S081 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S080 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S079 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v0,v1,v2,v3,v4,v5)，不以小數近似替代。
• S078 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S077 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v0,v1,v2,v3,v4)，不以小數近似替代。
• S076 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S075 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v0,v1,v3,v4,v5)，不以小數近似替代。
• S074 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S073 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v0,v1,v3,v4)，不以小數近似替代。
• S072 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S071 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v0,v2,v3,v4,v5)，不以小數近似替代。
• S070 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S069 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v0,v2,v3,v4)，不以小數近似替代。
• S068 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S067 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v0,v3,v4,v5)，不以小數近似替代。
• S066 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S065 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v0,v3,v4)，不以小數近似替代。
• S064 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S063 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v1,v2,v3,v4,v5)，不以小數近似替代。
• S062 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S061 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v1,v2,v3,v4)，不以小數近似替代。
• S060 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S059 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v1,v2,v3,v5)，不以小數近似替代。
• S058 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S057 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v1,v2,v3)，不以小數近似替代。
• S056 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S055 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v1,v2,v4,v5)，不以小數近似替代。
• S054 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S053 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v1,v2,v4)，不以小數近似替代。
• S052 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v1,v2,v5)，不以小數近似替代。
• S050 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v1,v2)，不以小數近似替代。
• S048 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v1,v3,v4,v5)，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v1,v3,v4)，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v1,v3,v5)，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S041 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v1,v3)，不以小數近似替代。
• S040 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v1,v4,v5)，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v1,v4)，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v1,v5)，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v1)，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S031 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v2,v3,v4,v5)，不以小數近似替代。
• S030 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v2,v3,v4)，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v2,v3,v5)，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v2,v3)，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v2,v4,v5)，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v2,v4)，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v2,v5)，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v2)，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v3,v4,v5)，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v3,v4)，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v3,v5)，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v3)，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v4,v5)，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v4)，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 C(v5)，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。
• S001 · premise_and_result_audit — 核對完整頂點與邊；一個失敗次序不等於有環，全部合法分支不能漏列。

結論

([v0, v1, v2, v3, v4, v5], [[v0, v3], [v0, v4]], [[v0, v1, v2, v3, v4, v5], [v0, v1, v2, v3, v5, v4], [v0, v1, v2, v4, v3, v5], [v0, v1, v2, v4, v5, v3], [v0, v1, v2, v5, v3, v4], [v0, v1, v2, v5, v4, v3], [v0, v1, v3, v2, v4, v5], [v0, v1, v3, v2, v5, v4], [v0, v1, v3, v4, v2, v5], [v0, v1, v3, v4, v5, v2], [v0, v1, v3, v5, v2, v4], [v0, v1, v3, v5, v4, v2], [v0, v1, v4, v2, v3, v5], [v0, v1, v4, v2, v5, v3], [v0, v1, v4, v3, v2, v5], [v0, v1, v4, v3, v5, v2], [v0, v1, v4, v5, v2, v3], [v0, v1, v4, v5, v3, v2], [v0, v1, v5, v2, v3, v4], [v0, v1, v5, v2, v4, v3], [v0, v1, v5, v3, v2, v4], [v0, v1, v5, v3, v4, v2], [v0, v1, v5, v4, v2, v3], [v0, v1, v5, v4, v3, v2], [v0, v2, v1, v3, v4, v5], [v0, v2, v1, v3, v5, v4], [v0, v2, v1, v4, v3, v5], [v0, v2, v1, v4, v5, v3], [v0, v2, v1, v5, v3, v4], [v0, v2, v1, v5, v4, v3], [v0, v2, v3, v1, v4, v5], [v0, v2, v3, v1, v5, v4], [v0, v2, v3, v4, v1, v5], [v0, v2, v3, v4, v5, v1], [v0, v2, v3, v5, v1, v4], [v0, v2, v3, v5, v4, v1], [v0, v2, v4, 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上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。