R0066-33816 · q-20261015-advance-20261116-r07-multiplicative-order-mod-n-0016
n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-qualification；資料={"n":18,"a":5}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。
G001 — n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-qualification；資料={"n":18,"a":5}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [qf-mod47-morder-qualification, [a, domain, n, operation]]
操作後
derived = [morder-qualification, Exact_multiplicative_order_mod_n]
條件：無
原bank的operation是LOCAL hyphen，keys與domain各自精確匹配。欄位順序及數字/Boolean/字串角色依來源，所有有理數文字整數省略/1；不改原題與英文、MKO、AST或狀態。
規則：R66_EXACT_source_bank_keys_local_operation_domain · 依賴：G001
操作前
source roles = [ORIGINAL representative, 5, 18]
操作後
derived = [0, 5]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S001
操作前
source roles = [18, 5, 5, 1]
操作後
derived = [[1, 5, 7, 11, 13, 17], 6]
條件：無
先n≥2，正規化到0..n−1並驗gcd=1；完整列所有與n互質的residue得phi(n)，不可拿n−1代替一般phi，也不把nonunit定義為某個數值階。
規則：Order_ALL_residues_UNIT_gcd_and_complete_phi_carrier · 依賴：G001, S002
操作前
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent1 := mul(1, 5)
操作後
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent1 = 5
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
source roles = [first-return exponent1, 5, 18]
操作後
derived = [0, 5]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S004
操作前
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent2 := mul(5, 5)
操作後
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent2 = 25
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
source roles = [first-return exponent2, 25, 18]
操作後
derived = [1, 7]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S006
操作前
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent3 := mul(7, 5)
操作後
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent3 = 35
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
source roles = [first-return exponent3, 35, 18]
操作後
derived = [1, 17]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S008
操作前
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent4 := mul(17, 5)
操作後
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent4 = 85
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009
操作前
source roles = [first-return exponent4, 85, 18]
操作後
derived = [4, 13]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S010
操作前
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent5 := mul(13, 5)
操作後
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent5 = 65
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011
操作前
source roles = [first-return exponent5, 65, 18]
操作後
derived = [3, 11]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S012
操作前
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent6 := mul(11, 5)
操作後
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent6 = 55
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013
操作前
source roles = [first-return exponent6, 55, 18]
操作後
derived = [3, 1]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S014
操作前
source roles = [18, 5, 6]
操作後
derived = [[[1, 5], [2, 7], [3, 17], [4, 13], [5, 11], [6, 1]], 6]
條件：無
來源即使qualification只輸出gcd/phi，也先計first-return完整prefix；保留此unused計算責任。從正指數1開始且之前不回1；不宣稱階必等phi或primitive root/加法階。
規則：Order_SOURCE_UNUSED_qualification_return_table_still_checked · 依賴：G001, S015
S016 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S015 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent6，不以小數近似替代。S013 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent5，不以小數近似替代。S011 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent4，不以小數近似替代。S009 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent3，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent2，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent1，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S002 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S001 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。(18, 5, 5, 1, 6, 是, unit_mod_n_qualified)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: f3d43d9df4c589dd1457dc65c31ae21c093a8efc002980b9ac9cc2ac3903c96fcandidate record SHA-256: 53e4652ba34c4c1fac60b22866f97ea8b1f63a4c83498b7f72385f67688db5e2semantic review receipt SHA-256: 99b4f114b2ec93164b6aa5681e0107033a240e7a3f0a8988633ba65320ede267question-first witness SHA-256: d9bd3a1940da8a73f790ee3fe460c9a8523791bdbe72c8e0304e3740b66710ccLean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED