R0066-33823 · q-20261015-advance-20261116-r07-multiplicative-order-mod-n-0023
n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-qualification；資料={"n":25,"a":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。
G001 — n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-qualification；資料={"n":25,"a":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [qf-mod47-morder-qualification, [a, domain, n, operation]]
操作後
derived = [morder-qualification, Exact_multiplicative_order_mod_n]
條件：無
原bank的operation是LOCAL hyphen，keys與domain各自精確匹配。欄位順序及數字/Boolean/字串角色依來源，所有有理數文字整數省略/1；不改原題與英文、MKO、AST或狀態。
規則：R66_EXACT_source_bank_keys_local_operation_domain · 依賴：G001
操作前
source roles = [ORIGINAL representative, 2, 25]
操作後
derived = [0, 2]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S001
操作前
source roles = [25, 2, 2, 1]
操作後
derived = [[1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24], 20]
條件：無
先n≥2，正規化到0..n−1並驗gcd=1；完整列所有與n互質的residue得phi(n)，不可拿n−1代替一般phi，也不把nonunit定義為某個數值階。
規則：Order_ALL_residues_UNIT_gcd_and_complete_phi_carrier · 依賴：G001, S002
操作前
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent1 := mul(1, 2)
操作後
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent1 = 2
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
source roles = [first-return exponent1, 2, 25]
操作後
derived = [0, 2]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S004
操作前
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent2 := mul(2, 2)
操作後
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent2 = 4
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
source roles = [first-return exponent2, 4, 25]
操作後
derived = [0, 4]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S006
操作前
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent3 := mul(4, 2)
操作後
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent3 = 8
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
source roles = [first-return exponent3, 8, 25]
操作後
derived = [0, 8]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S008
操作前
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent4 := mul(8, 2)
操作後
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent4 = 16
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009
操作前
source roles = [first-return exponent4, 16, 25]
操作後
derived = [0, 16]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S010
操作前
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent5 := mul(16, 2)
操作後
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent5 = 32
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011
操作前
source roles = [first-return exponent5, 32, 25]
操作後
derived = [1, 7]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S012
操作前
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent6 := mul(7, 2)
操作後
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent6 = 14
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013
操作前
source roles = [first-return exponent6, 14, 25]
操作後
derived = [0, 14]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S014
操作前
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent7 := mul(14, 2)
操作後
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent7 = 28
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015
操作前
source roles = [first-return exponent7, 28, 25]
操作後
derived = [1, 3]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S016
操作前
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent8 := mul(3, 2)
操作後
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent8 = 6
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017
操作前
source roles = [first-return exponent8, 6, 25]
操作後
derived = [0, 6]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S018
操作前
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent9 := mul(6, 2)
操作後
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent9 = 12
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019
操作前
source roles = [first-return exponent9, 12, 25]
操作後
derived = [0, 12]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S020
操作前
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent10 := mul(12, 2)
操作後
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent10 = 24
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021
操作前
source roles = [first-return exponent10, 24, 25]
操作後
derived = [0, 24]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S022
操作前
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent11 := mul(24, 2)
操作後
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent11 = 48
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023
操作前
source roles = [first-return exponent11, 48, 25]
操作後
derived = [1, 23]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S024
操作前
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent12 := mul(23, 2)
操作後
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent12 = 46
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025
操作前
source roles = [first-return exponent12, 46, 25]
操作後
derived = [1, 21]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S026
操作前
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent13 := mul(21, 2)
操作後
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent13 = 42
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027
操作前
source roles = [first-return exponent13, 42, 25]
操作後
derived = [1, 17]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S028
操作前
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent14 := mul(17, 2)
操作後
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent14 = 34
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029
操作前
source roles = [first-return exponent14, 34, 25]
操作後
derived = [1, 9]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S030
操作前
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent15 := mul(9, 2)
操作後
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent15 = 18
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031
操作前
source roles = [first-return exponent15, 18, 25]
操作後
derived = [0, 18]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S032
操作前
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent16 := mul(18, 2)
操作後
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent16 = 36
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033
操作前
source roles = [first-return exponent16, 36, 25]
操作後
derived = [1, 11]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S034
操作前
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent17 := mul(11, 2)
操作後
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent17 = 22
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035
操作前
source roles = [first-return exponent17, 22, 25]
操作後
derived = [0, 22]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S036
操作前
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent18 := mul(22, 2)
操作後
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent18 = 44
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S037
操作前
source roles = [first-return exponent18, 44, 25]
操作後
derived = [1, 19]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S038
操作前
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent19 := mul(19, 2)
操作後
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent19 = 38
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S039
操作前
source roles = [first-return exponent19, 38, 25]
操作後
derived = [1, 13]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S040
操作前
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent20 := mul(13, 2)
操作後
Order ORIGINAL previous residue times unit exponent20 = 26
條件：無
按本步原操作數與次序精確運算；來源有理數的pre-reduction界另行保留，不用浮點或偷偷跨bank放寬。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S041
操作前
source roles = [first-return exponent20, 26, 25]
操作後
derived = [1, 1]
條件：無
以整數Euclidean division核value=n*quotient+remainder與0≤remainder<n，負代表元也正規化；不是浮點餘數。
規則：Finite_MOD_euclidean_quotient_remainder · 依賴：G001, S042
操作前
source roles = [25, 2, 20]
操作後
derived = [[[1, 2], [2, 4], [3, 8], [4, 16], [5, 7], [6, 14], [7, 3], [8, 6], [9, 12], [10, 24], [11, 23], [12, 21], [13, 17], [14, 9], [15, 18], [16, 11], [17, 22], [18, 19], [19, 13], [20, 1]], 20]
條件：無
來源即使qualification只輸出gcd/phi，也先計first-return完整prefix；保留此unused計算責任。從正指數1開始且之前不回1；不宣稱階必等phi或primitive root/加法階。
規則：Order_SOURCE_UNUSED_qualification_return_table_still_checked · 依賴：G001, S043
S044 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S043 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent20，不以小數近似替代。S041 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent19，不以小數近似替代。S039 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent18，不以小數近似替代。S037 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent17，不以小數近似替代。S035 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent16，不以小數近似替代。S033 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent15，不以小數近似替代。S031 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent14，不以小數近似替代。S029 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent13，不以小數近似替代。S027 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent12，不以小數近似替代。S025 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent11，不以小數近似替代。S023 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent10，不以小數近似替代。S021 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent9，不以小數近似替代。S019 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent8，不以小數近似替代。S017 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent7，不以小數近似替代。S015 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent6，不以小數近似替代。S013 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent5，不以小數近似替代。S011 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent4，不以小數近似替代。S009 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent3，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent2，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Order ORIGINAL previous residue times unit exponent1，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S002 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。S001 · premise_and_result_audit — 反向核對本步原始角色、完整前提與欄序；只接受這些條件下的結論，不把單向結論還原為唯一前提，也不把有限核對稱一般形式證明。(25, 2, 2, 1, 20, 是, unit_mod_n_qualified)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 3a6bc4050c3b90e1c48ad3d2c81861226f1b5f0ab4e08f930a672d3c8929fe24candidate record SHA-256: 739c101fbf05e9c1309dc2c611a25d8926f11ce15092fa417e4fe75cf80fd314semantic review receipt SHA-256: 99b4f114b2ec93164b6aa5681e0107033a240e7a3f0a8988633ba65320ede267question-first witness SHA-256: d9bd3a1940da8a73f790ee3fe460c9a8523791bdbe72c8e0304e3740b66710ccLean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED