第 931 題：模n乘法階

原題與已知條件

n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-power-first-return；資料={"n":8,"a":3}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-power-first-return；資料={"n":8,"a":3}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

n≥2 且 a 正規化後與 n 互質；階數是第一個回到 1 的正指數。

• mko-multiplicative-order-mod-n

逐步推導

n=8; a=3

order is defined here only for n≥2 and units modulo n

a=3

normalized residue=3; gcd(3,8)=1

gcd(residue,n)=1; units=[1, 3, 5, 7]

phi(8)=4

power product at k=1 := mul(1, 3)

power product at k=1 = 3

product=3

a^1 mod 8=3

power product at k=2 := mul(3, 3)

power product at k=2 = 9

product=9

a^2 mod 8=1

all positive k<=2: [[1, 3], [2, 1]]

first positive return to1 occurs at k=2

逐步反向核對

• S008 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S007 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=2，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=1，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S002 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S001 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。

結論

([[1, 3], [2, 1]], 2, 是, 是, order_is_the_first_positive_return)

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。