第 940 題：模n乘法階

原題與已知條件

n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-power-first-return；資料={"n":17,"a":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-power-first-return；資料={"n":17,"a":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

n≥2 且 a 正規化後與 n 互質；階數是第一個回到 1 的正指數。

• mko-multiplicative-order-mod-n

逐步推導

n=17; a=2

order is defined here only for n≥2 and units modulo n

a=2

normalized residue=2; gcd(2,17)=1

gcd(residue,n)=1; units=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16]

phi(17)=16

power product at k=1 := mul(1, 2)

power product at k=1 = 2

product=2

a^1 mod 17=2

power product at k=2 := mul(2, 2)

power product at k=2 = 4

product=4

a^2 mod 17=4

power product at k=3 := mul(4, 2)

power product at k=3 = 8

product=8

a^3 mod 17=8

power product at k=4 := mul(8, 2)

power product at k=4 = 16

product=16

a^4 mod 17=16

power product at k=5 := mul(16, 2)

power product at k=5 = 32

product=32

a^5 mod 17=15

power product at k=6 := mul(15, 2)

power product at k=6 = 30

product=30

a^6 mod 17=13

power product at k=7 := mul(13, 2)

power product at k=7 = 26

product=26

a^7 mod 17=9

power product at k=8 := mul(9, 2)

power product at k=8 = 18

product=18

a^8 mod 17=1

all positive k<=8: [[1, 2], [2, 4], [3, 8], [4, 16], [5, 15], [6, 13], [7, 9], [8, 1]]

first positive return to1 occurs at k=8

逐步反向核對

• S020 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S019 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=8，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=7，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=6，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=5，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=4，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=3，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=2，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=1，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S002 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S001 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。

結論

([[1, 2], [2, 4], [3, 8], [4, 16], [5, 15], [6, 13], [7, 9], [8, 1]], 8, 是, 是, order_is_the_first_positive_return)

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。