第 960 題：模n乘法階

原題與已知條件

n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-phi-divisibility；資料={"n":12,"a":5}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-phi-divisibility；資料={"n":12,"a":5}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

單位群被等長軌道分割，所以階數整除 phi(n)；不由此推出相等或原根。

• mko-multiplicative-order-mod-n

逐步推導

n=12; a=5

order is defined here only for n≥2 and units modulo n

a=5

normalized residue=5; gcd(5,12)=1

gcd(residue,n)=1; units=[1, 5, 7, 11]

phi(12)=4

power product at k=1 := mul(1, 5)

power product at k=1 = 5

product=5

a^1 mod 12=5

power product at k=2 := mul(5, 5)

power product at k=2 = 25

product=25

a^2 mod 12=1

all positive k<=2: [[1, 5], [2, 1]]

first positive return to1 occurs at k=2

multiply unit 1 successively by 5

orbit=[1, 5]; length=2

multiply unit 7 successively by 5

orbit=[7, 11]; length=2

complete disjoint unit orbits=[[1, 5], [7, 11]]

phi=4=2·2; remainder=0

逐步反向核對

• S011 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S010 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S009 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S008 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S007 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=2，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=1，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S002 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S001 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。

結論

(2, 4, 是, [[1, 5], [2, 1]], ord_n_a_divides_phi_n_without_claiming_equality_or_primitive_root)

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。