第 964 題：模n乘法階

原題與已知條件

n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-phi-divisibility；資料={"n":16,"a":3}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-phi-divisibility；資料={"n":16,"a":3}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

單位群被等長軌道分割，所以階數整除 phi(n)；不由此推出相等或原根。

• mko-multiplicative-order-mod-n

逐步推導

n=16; a=3

order is defined here only for n≥2 and units modulo n

a=3

normalized residue=3; gcd(3,16)=1

gcd(residue,n)=1; units=[1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15]

phi(16)=8

power product at k=1 := mul(1, 3)

power product at k=1 = 3

product=3

a^1 mod 16=3

power product at k=2 := mul(3, 3)

power product at k=2 = 9

product=9

a^2 mod 16=9

power product at k=3 := mul(9, 3)

power product at k=3 = 27

product=27

a^3 mod 16=11

power product at k=4 := mul(11, 3)

power product at k=4 = 33

product=33

a^4 mod 16=1

all positive k<=4: [[1, 3], [2, 9], [3, 11], [4, 1]]

first positive return to1 occurs at k=4

multiply unit 1 successively by 3

orbit=[1, 3, 9, 11]; length=4

multiply unit 5 successively by 3

orbit=[5, 15, 13, 7]; length=4

complete disjoint unit orbits=[[1, 3, 9, 11], [5, 15, 13, 7]]

phi=8=2·4; remainder=0

逐步反向核對

• S015 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S014 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S013 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S012 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S011 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=4，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=3，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=2，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=1，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S002 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S001 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。

結論

(4, 8, 是, [[1, 3], [2, 9], [3, 11], [4, 1]], ord_n_a_divides_phi_n_without_claiming_equality_or_primitive_root)

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。