第 969 題：模n乘法階

原題與已知條件

n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-phi-divisibility；資料={"n":21,"a":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-phi-divisibility；資料={"n":21,"a":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

單位群被等長軌道分割，所以階數整除 phi(n)；不由此推出相等或原根。

• mko-multiplicative-order-mod-n

逐步推導

n=21; a=2

order is defined here only for n≥2 and units modulo n

a=2

normalized residue=2; gcd(2,21)=1

gcd(residue,n)=1; units=[1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20]

phi(21)=12

power product at k=1 := mul(1, 2)

power product at k=1 = 2

product=2

a^1 mod 21=2

power product at k=2 := mul(2, 2)

power product at k=2 = 4

product=4

a^2 mod 21=4

power product at k=3 := mul(4, 2)

power product at k=3 = 8

product=8

a^3 mod 21=8

power product at k=4 := mul(8, 2)

power product at k=4 = 16

product=16

a^4 mod 21=16

power product at k=5 := mul(16, 2)

power product at k=5 = 32

product=32

a^5 mod 21=11

power product at k=6 := mul(11, 2)

power product at k=6 = 22

product=22

a^6 mod 21=1

all positive k<=6: [[1, 2], [2, 4], [3, 8], [4, 16], [5, 11], [6, 1]]

first positive return to1 occurs at k=6

multiply unit 1 successively by 2

orbit=[1, 2, 4, 8, 16, 11]; length=6

multiply unit 5 successively by 2

orbit=[5, 10, 20, 19, 17, 13]; length=6

complete disjoint unit orbits=[[1, 2, 4, 8, 16, 11], [5, 10, 20, 19, 17, 13]]

phi=12=2·6; remainder=0

逐步反向核對

• S019 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S018 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S017 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S016 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S015 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=6，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=5，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=4，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=3，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=2，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=1，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S002 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S001 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。

結論

(6, 12, 是, [[1, 2], [2, 4], [3, 8], [4, 16], [5, 11], [6, 1]], ord_n_a_divides_phi_n_without_claiming_equality_or_primitive_root)

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。