第 975 題：模n乘法階

原題與已知條件

n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-phi-divisibility；資料={"n":27,"a":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-phi-divisibility；資料={"n":27,"a":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

單位群被等長軌道分割，所以階數整除 phi(n)；不由此推出相等或原根。

• mko-multiplicative-order-mod-n

逐步推導

n=27; a=2

order is defined here only for n≥2 and units modulo n

a=2

normalized residue=2; gcd(2,27)=1

gcd(residue,n)=1; units=[1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 25, 26]

phi(27)=18

power product at k=1 := mul(1, 2)

power product at k=1 = 2

product=2

a^1 mod 27=2

power product at k=2 := mul(2, 2)

power product at k=2 = 4

product=4

a^2 mod 27=4

power product at k=3 := mul(4, 2)

power product at k=3 = 8

product=8

a^3 mod 27=8

power product at k=4 := mul(8, 2)

power product at k=4 = 16

product=16

a^4 mod 27=16

power product at k=5 := mul(16, 2)

power product at k=5 = 32

product=32

a^5 mod 27=5

power product at k=6 := mul(5, 2)

power product at k=6 = 10

product=10

a^6 mod 27=10

power product at k=7 := mul(10, 2)

power product at k=7 = 20

product=20

a^7 mod 27=20

power product at k=8 := mul(20, 2)

power product at k=8 = 40

product=40

a^8 mod 27=13

power product at k=9 := mul(13, 2)

power product at k=9 = 26

product=26

a^9 mod 27=26

power product at k=10 := mul(26, 2)

power product at k=10 = 52

product=52

a^10 mod 27=25

power product at k=11 := mul(25, 2)

power product at k=11 = 50

product=50

a^11 mod 27=23

power product at k=12 := mul(23, 2)

power product at k=12 = 46

product=46

a^12 mod 27=19

power product at k=13 := mul(19, 2)

power product at k=13 = 38

product=38

a^13 mod 27=11

power product at k=14 := mul(11, 2)

power product at k=14 = 22

product=22

a^14 mod 27=22

power product at k=15 := mul(22, 2)

power product at k=15 = 44

product=44

a^15 mod 27=17

power product at k=16 := mul(17, 2)

power product at k=16 = 34

product=34

a^16 mod 27=7

power product at k=17 := mul(7, 2)

power product at k=17 = 14

product=14

a^17 mod 27=14

power product at k=18 := mul(14, 2)

power product at k=18 = 28

product=28

a^18 mod 27=1

all positive k<=18: [[1, 2], [2, 4], [3, 8], [4, 16], [5, 5], [6, 10], [7, 20], [8, 13], [9, 26], [10, 25], [11, 23], [12, 19], [13, 11], [14, 22], [15, 17], [16, 7], [17, 14], [18, 1]]

first positive return to1 occurs at k=18

multiply unit 1 successively by 2

orbit=[1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 13, 26, 25, 23, 19, 11, 22, 17, 7, 14]; length=18

complete disjoint unit orbits=[[1, 2, 4, 8, 16, 5, 10, 20, 13, 26, 25, 23, 19, 11, 22, 17, 7, 14]]

phi=18=1·18; remainder=0

逐步反向核對

• S042 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S041 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S040 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S039 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=18，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=17，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=16，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=15，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=14，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=13，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=12，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=11，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=10，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=9，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=8，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=7，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=6，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=5，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=4，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=3，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=2，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=1，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S002 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S001 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。

結論

(18, 18, 是, [[1, 2], [2, 4], [3, 8], [4, 16], [5, 5], [6, 10], [7, 20], [8, 13], [9, 26], [10, 25], [11, 23], [12, 19], [13, 11], [14, 22], [15, 17], [16, 7], [17, 14], [18, 1]], ord_n_a_divides_phi_n_without_claiming_equality_or_primitive_root)

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。