第 978 題：模n乘法階

原題與已知條件

n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-boundary；資料={"mode":"order_one","n":5,"a":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-boundary；資料={"mode":"order_one","n":5,"a":1}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

n<2 或不互質時階數未定義；1 的階數為 1；負代表元先正規化到 [0,n)。

• mko-multiplicative-order-mod-n

逐步推導

n=5; a=1

order is defined here only for n≥2 and units modulo n

a=1

normalized residue=1; gcd(1,5)=1

gcd(residue,n)=1; units=[1, 2, 3, 4]

phi(5)=4

power product at k=1 := mul(1, 1)

power product at k=1 = 1

product=1

a^1 mod 5=1

all positive k<=1: [[1, 1]]

first positive return to1 occurs at k=1

boundary=order_one; residue=1

qualified=true; order=1

逐步反向核對

• S007 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S006 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S005 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 power product at k=1，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S002 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S001 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。

結論

(order_one, 5, 1, 1, 1, 是, [[1, 1]], 1, mode_specific_multiplicative_order_boundary)

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。