第 1000 題：模n乘法階

原題與已知條件

n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-boundary；資料={"mode":"noncoprime","n":56,"a":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

• G001 — n>=2、normalized coprime residue與first positive power return責任。操作=morder-boundary；資料={"mode":"noncoprime","n":56,"a":2}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

n<2 或不互質時階數未定義；1 的階數為 1；負代表元先正規化到 [0,n)。

• mko-multiplicative-order-mod-n

逐步推導

n=56; a=2

order is defined here only for n≥2 and units modulo n

a=2

normalized residue=2; gcd(2,56)=2

g=2>1 divides both residue and n

no positive power can be congruent to1

not a unit

power table=null; order=undefined

逐步反向核對

• S004 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S003 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S002 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。
• S001 · premise_and_result_audit — 階數必為第一個正指數回到1；先檢查 n≥2 及互質，不宣稱階數等於 phi。

結論

(noncoprime, 56, 2, 2, 2, 否, null, undefined, mode_specific_multiplicative_order_boundary)

上述完整代值與條件核對得到原題答案；欄位次序及真假標記保持原始合約。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。