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第 26878 題：商拓撲

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0052-26878 · q-20261015-advance-20261117-r05-quotient-topology-0028

原題與已知條件

finite total surjection、fibers與U open iff q-preimage(U) open責任。操作=quotient-topology-generation；資料={"x_points":[0,1,2,3,4,5],"x_topology":[[],[0,1,2,3,4,5],[0,1,2]],"y_points":["a","b"],"q_map":["a","a","a","b","b","b"]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

  • G001 — finite total surjection、fibers與U open iff q-preimage(U) open責任。操作=quotient-topology-generation；資料={"x_points":[0,1,2,3,4,5],"x_topology":[[],[0,1,2,3,4,5],[0,1,2]],"y_points":["a","b"],"q_map":["a","a","a","b","b","b"]}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [quotient-topology-generation]

操作後

derived = [[fibers, topology, saturated_source_opens, count_correspondence, valid, certificate]]

條件：無

直接列出此操作及mode的完整來源欄序，不需JavaScript；布林、字串與null角色保持區別，不補欄或以答案形狀猜介面。

步驟識別與依賴

規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source roles = [quotient ORIGINAL X, [0, 1, 2, 3, 4, 5], [[], [0, 1, 2, 3, 4, 5], [0, 1, 2]], 否]

操作後

derived = [[0, 1, 2, 3, 4, 5], [[], [0, 1, 2, 3, 4, 5], [0, 1, 2]], [[0, 0, 0, 0, 是, 是], [0, 1, 63, 0, 是, 是], [0, 2, 7, 0, 是, 是], [1, 0, 63, 0, 是, 是], [1, 1, 63, 63, 是, 是], [1, 2, 63, 7, 是, 是], [2, 0, 7, 0, 是, 是], [2, 1, 63, 7, 是, 是], [2, 2, 7, 7, 是, 是]]]

條件：無

保留JSON型別，set與open族依來源English序。逐全部open pair驗union及intersection，含空集與全集；有限族的二元閉包給任意union閉包，不由抽樣認定topology。

步驟識別與依賴

規則：Topology_full_typed_carrier_and_ALL_pair_axioms · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

source roles = [[0, 1, 2, 3, 4, 5], [a, b], [a, a, a, b, b, b]]

操作後

derived = [[[0, a], [1, a], [2, a], [3, b], [4, b], [5, b]], [[a, [0, 1, 2]], [b, [3, 4, 5]]], 是]

條件：無

依原始X次序綁定q再排序，對每個typed Y點取完整fiber。total map保每個x恰屬一fiber；surjective才保每fiber非空。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_ORIGINAL_domain_alignment_ALL_fibers · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

source roles = [[0, 1, 2, 3, 4, 5], [[], [0, 1, 2, 3, 4, 5], [0, 1, 2]], [a, b], [[0, a], [1, a], [2, a], [3, b], [4, b], [5, b]]]

操作後

derived = [[[0, [], [], 是], [1, [a], [0, 1, 2], 是], [2, [b], [3, 4, 5], 否], [3, [a, b], [0, 1, 2, 3, 4, 5], 是]], [[a, b], [a], []]]

條件：無

逐Y的所有subsets，以完整反像在X是否open定義IFF。反像保空、全集、任意union與有限intersection，故生成topology且此IFF逐subset唯一決定它；此唯一性不需要surjection。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_ALL_target_subsets_PREIMAGE_IFF_unique_final_topology · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

source roles = [quotient GENERATED final topology, [a, b], [[a, b], [a], []], 否]

操作後

derived = [[a, b], [[a, b], [a], []], [[0, 0, 3, 3, 是, 是], [0, 1, 3, 1, 是, 是], [0, 2, 3, 0, 是, 是], [1, 0, 3, 1, 是, 是], [1, 1, 1, 1, 是, 是], [1, 2, 1, 0, 是, 是], [2, 0, 3, 0, 是, 是], [2, 1, 1, 0, 是, 是], [2, 2, 0, 0, 是, 是]]]

條件：無

保留JSON型別，set與open族依來源English序。逐全部open pair驗union及intersection，含空集與全集；有限族的二元閉包給任意union閉包，不由抽樣認定topology。

步驟識別與依賴

規則：Topology_full_typed_carrier_and_ALL_pair_axioms · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source roles = [[[], [0, 1, 2, 3, 4, 5], [0, 1, 2]], [[0, a], [1, a], [2, a], [3, b], [4, b], [5, b]]]

操作後

derived = [[[], [0, 1, 2, 3, 4, 5], [0, 1, 2]], 是]

條件：無

source opens依原canonical序逐一核A=q^-1(q(A))；只有saturated opens才對應完整fiber聯集。surjective時q^-1在Y subsets上單射，與這些opens互逆，不能把所有source opens當商開集。

步驟識別與依賴

規則：Quotient_ALL_source_open_saturation_correspondence · 依賴：G001, S005

逐步反向核對

  • S006 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
  • S005 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
  • S004 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
  • S003 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
  • S002 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。
  • S001 · premise_and_result_audit — 反查原題的完整資料、型別、欄序與本步條件；有限核對不升格為無限定理的形式證明。

結論

([[a, [0, 1, 2]], [b, [3, 4, 5]]], [[a, b], [a], []], [[], [0, 1, 2, 3, 4, 5], [0, 1, 2]], 是, 是, U_open_iff_q_preimage_U_open)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: b8f67e19a0100803cb660cd1404213f2034aec986b2ab5315ff57bae4fc0f423
  • candidate record SHA-256: d4ca5fc32e4fe0a6fc7221e68f4d8eaa13c0c603b15d14583dcf343eedd0cd89
  • semantic review receipt SHA-256: 729b25cbf6bf5cb1d07a21a511ae216ec5fdd54a4a7aa2f7c21156b81ff37252
  • question-first witness SHA-256: d1ab788770eaad04f986986e65afb0d55791e8a8c0d747e9a2b499f79fe78df2
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
同源完整 JSON