R0054-27766 · q-20261015-advance-20261118-r04-wilson-theorem-0016
n>1、factorial congruence與prime-residue inverse pairing責任。操作=wilson-domain-factorial；資料={"n":17}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。
G001 — n>1、factorial congruence與prime-residue inverse pairing責任。操作=wilson-domain-factorial；資料={"n":17}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [wilson-domain-factorial]
操作後
derived = [[n, prime, running_factorial_residues, factorial_residue, minus_one_residue, Wilson_congruence, instance_equivalence, instance_scope]]
條件：無
直接明列此操作與mode完整欄序，不依JavaScript、不由答案形狀猜角色；布林、字串、null與未作聲稱保持不同。
規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product1 := mul(1, 1)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product1 = 1
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 17, 1, 1, 1]
操作後
derived = [0, 1, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S002
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product2 := mul(1, 2)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product2 = 2
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 17, 2, 1, 2]
操作後
derived = [0, 2, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S004
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product3 := mul(2, 3)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product3 = 6
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 17, 3, 2, 6]
操作後
derived = [0, 6, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S006
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product4 := mul(6, 4)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product4 = 24
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 17, 4, 6, 24]
操作後
derived = [1, 7, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S008
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product5 := mul(7, 5)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product5 = 35
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 17, 5, 7, 35]
操作後
derived = [2, 1, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S010
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product6 := mul(1, 6)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product6 = 6
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 17, 6, 1, 6]
操作後
derived = [0, 6, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S012
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product7 := mul(6, 7)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product7 = 42
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 17, 7, 6, 42]
操作後
derived = [2, 8, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S014
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product8 := mul(8, 8)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product8 = 64
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 17, 8, 8, 64]
操作後
derived = [3, 13, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S016
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product9 := mul(13, 9)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product9 = 117
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 17, 9, 13, 117]
操作後
derived = [6, 15, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S018
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product10 := mul(15, 10)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product10 = 150
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 17, 10, 15, 150]
操作後
derived = [8, 14, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S020
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product11 := mul(14, 11)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product11 = 154
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 17, 11, 14, 154]
操作後
derived = [9, 1, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S022
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product12 := mul(1, 12)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product12 = 12
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 17, 12, 1, 12]
操作後
derived = [0, 12, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S024
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product13 := mul(12, 13)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product13 = 156
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 17, 13, 12, 156]
操作後
derived = [9, 3, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S026
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product14 := mul(3, 14)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product14 = 42
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 17, 14, 3, 42]
操作後
derived = [2, 8, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S028
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product15 := mul(8, 15)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product15 = 120
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 17, 15, 8, 120]
操作後
derived = [7, 1, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S030
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product16 := mul(1, 16)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product16 = 16
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 17, 16, 1, 16]
操作後
derived = [0, 16, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S032
操作前
source roles = [17, [[1, 1], [2, 2], [3, 6], [4, 7], [5, 1], [6, 6], [7, 8], [8, 13], [9, 15], [10, 14], [11, 1], [12, 12], [13, 3], [14, 8], [15, 1], [16, 16]]]
操作後
derived = [是, 16, 16, 是, 是]
條件：無
prime與congruence分別驗；合數時兩者都False也可equivalenceTrue。一般converse另有理由：若合數有proper divisor d>=2，d同除n與(n-1)!；假設後者≡-1 mod n便使d除1，矛盾。此推理不等於一個有限instance或finite cutoff測試。
規則：Wilson_prime_classification_instance_flags_AND_separate_converse_reason · 依賴：G001, S033
S034 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S033 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product16，不以小數近似替代。S031 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product15，不以小數近似替代。S029 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product14，不以小數近似替代。S027 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product13，不以小數近似替代。S025 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product12，不以小數近似替代。S023 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product11，不以小數近似替代。S021 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product10，不以小數近似替代。S019 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product9，不以小數近似替代。S017 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product8，不以小數近似替代。S015 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product7，不以小數近似替代。S013 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product6，不以小數近似替代。S011 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product5，不以小數近似替代。S009 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product4，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product3，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product2，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product1，不以小數近似替代。S001 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。(17, 是, [[1, 1], [2, 2], [3, 6], [4, 7], [5, 1], [6, 6], [7, 8], [8, 13], [9, 15], [10, 14], [11, 1], [12, 12], [13, 3], [14, 8], [15, 1], [16, 16]], 16, 16, 是, 是, Wilson_equivalence_instance)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 7a2fe979415586996d04a454da0ef46ede45fc0198ce0d7e35e1127faaf65844candidate record SHA-256: 23e0edad537ab1fc7d7cf3ca2b27e299d8f514098da66aa361c38cdabc228fddsemantic review receipt SHA-256: 0a76d8e93c08bb16998a0483f3dfc0504f269fc3e1982e6cd868cab0a2856d54question-first witness SHA-256: 09127b736c225714dfa0b7ceb0e6a6e66df27438b480cad8217d3c2f99ce9437Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED