R0054-27768 · q-20261015-advance-20261118-r04-wilson-theorem-0018
n>1、factorial congruence與prime-residue inverse pairing責任。操作=wilson-domain-factorial；資料={"n":19}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。
G001 — n>1、factorial congruence與prime-residue inverse pairing責任。操作=wilson-domain-factorial；資料={"n":19}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [wilson-domain-factorial]
操作後
derived = [[n, prime, running_factorial_residues, factorial_residue, minus_one_residue, Wilson_congruence, instance_equivalence, instance_scope]]
條件：無
直接明列此操作與mode完整欄序，不依JavaScript、不由答案形狀猜角色；布林、字串、null與未作聲稱保持不同。
規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product1 := mul(1, 1)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product1 = 1
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 19, 1, 1, 1]
操作後
derived = [0, 1, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S002
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product2 := mul(1, 2)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product2 = 2
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 19, 2, 1, 2]
操作後
derived = [0, 2, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S004
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product3 := mul(2, 3)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product3 = 6
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 19, 3, 2, 6]
操作後
derived = [0, 6, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S006
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product4 := mul(6, 4)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product4 = 24
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 19, 4, 6, 24]
操作後
derived = [1, 5, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S008
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product5 := mul(5, 5)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product5 = 25
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 19, 5, 5, 25]
操作後
derived = [1, 6, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S010
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product6 := mul(6, 6)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product6 = 36
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 19, 6, 6, 36]
操作後
derived = [1, 17, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S012
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product7 := mul(17, 7)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product7 = 119
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 19, 7, 17, 119]
操作後
derived = [6, 5, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S014
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product8 := mul(5, 8)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product8 = 40
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 19, 8, 5, 40]
操作後
derived = [2, 2, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S016
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product9 := mul(2, 9)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product9 = 18
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 19, 9, 2, 18]
操作後
derived = [0, 18, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S018
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product10 := mul(18, 10)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product10 = 180
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 19, 10, 18, 180]
操作後
derived = [9, 9, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S020
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product11 := mul(9, 11)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product11 = 99
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S021
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 19, 11, 9, 99]
操作後
derived = [5, 4, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S022
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product12 := mul(4, 12)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product12 = 48
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S023
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 19, 12, 4, 48]
操作後
derived = [2, 10, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S024
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product13 := mul(10, 13)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product13 = 130
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S025
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 19, 13, 10, 130]
操作後
derived = [6, 16, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S026
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product14 := mul(16, 14)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product14 = 224
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S027
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 19, 14, 16, 224]
操作後
derived = [11, 15, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S028
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product15 := mul(15, 15)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product15 = 225
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S029
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 19, 15, 15, 225]
操作後
derived = [11, 16, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S030
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product16 := mul(16, 16)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product16 = 256
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S031
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 19, 16, 16, 256]
操作後
derived = [13, 9, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S032
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product17 := mul(9, 17)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product17 = 153
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S033
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 19, 17, 9, 153]
操作後
derived = [8, 1, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S034
操作前
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product18 := mul(1, 18)
操作後
Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product18 = 18
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S035
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL factorial, 19, 18, 1, 18]
操作後
derived = [0, 18, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S036
操作前
source roles = [19, [[1, 1], [2, 2], [3, 6], [4, 5], [5, 6], [6, 17], [7, 5], [8, 2], [9, 18], [10, 9], [11, 4], [12, 10], [13, 16], [14, 15], [15, 16], [16, 9], [17, 1], [18, 18]]]
操作後
derived = [是, 18, 18, 是, 是]
條件：無
prime與congruence分別驗；合數時兩者都False也可equivalenceTrue。一般converse另有理由：若合數有proper divisor d>=2，d同除n與(n-1)!；假設後者≡-1 mod n便使d除1，矛盾。此推理不等於一個有限instance或finite cutoff測試。
規則：Wilson_prime_classification_instance_flags_AND_separate_converse_reason · 依賴：G001, S037
S038 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S037 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product18，不以小數近似替代。S035 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product17，不以小數近似替代。S033 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product16，不以小數近似替代。S031 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product15，不以小數近似替代。S029 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product14，不以小數近似替代。S027 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product13，不以小數近似替代。S025 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product12，不以小數近似替代。S023 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product11，不以小數近似替代。S021 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product10，不以小數近似替代。S019 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product9，不以小數近似替代。S017 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product8，不以小數近似替代。S015 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product7，不以小數近似替代。S013 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product6，不以小數近似替代。S011 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product5，不以小數近似替代。S009 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product4，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product3，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product2，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL factorial ORIGINAL running factorial product1，不以小數近似替代。S001 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。(19, 是, [[1, 1], [2, 2], [3, 6], [4, 5], [5, 6], [6, 17], [7, 5], [8, 2], [9, 18], [10, 9], [11, 4], [12, 10], [13, 16], [14, 15], [15, 16], [16, 9], [17, 1], [18, 18]], 18, 18, 是, 是, Wilson_equivalence_instance)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 49fa61366e75e171893924b7b6cf45aac6dbcc42d78671570822b4afa01ec2bbcandidate record SHA-256: fe2c3788aeefb7b0efbdc7bdb4c9fd19db689a3ee36e79183eb3138c96861434semantic review receipt SHA-256: 0a76d8e93c08bb16998a0483f3dfc0504f269fc3e1982e6cd868cab0a2856d54question-first witness SHA-256: 09127b736c225714dfa0b7ceb0e6a6e66df27438b480cad8217d3c2f99ce9437Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED