R0054-27777 · q-20261015-advance-20261118-r04-wilson-theorem-0027
n>1、factorial congruence與prime-residue inverse pairing責任。操作=wilson-prime-inverse-pairing；資料={"p":3}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。
G001 — n>1、factorial congruence與prime-residue inverse pairing責任。操作=wilson-prime-inverse-pairing；資料={"p":3}。請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [wilson-prime-inverse-pairing]
操作後
derived = [[p, all_inverse_pairs, self_inverse_residues, distinct_cancelling_pairs, self_inverse_scope, factorial_residue, Wilson_congruence]]
條件：無
直接明列此操作與mode完整欄序，不依JavaScript、不由答案形狀猜角色；布林、字串、null與未作聲稱保持不同。
規則：source_ordered_fields_without_JS · 依賴：G001
操作前
source roles = [3, 1]
操作後
derived = [1, 1]
條件：無
prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。
規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S001
操作前
source roles = [3, 2]
操作後
derived = [2, 1]
條件：無
prime modulus的非零residue均為units，逐a找來源首inverse；若有兩個inverse，乘a的消去性使其相同。
規則：Wilson_EVERY_nonzero_prime_residue_unique_inverse · 依賴：G001, S002
操作前
Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product1 := mul(1, 1)
操作後
Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product1 = 1
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 3, 1, 1, 1]
操作後
derived = [0, 1, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S004
操作前
Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product2 := mul(1, 2)
操作後
Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product2 = 2
條件：無
以原始角色與已證中間量精確代值，不用近似或自洽但換過的操作數；額外教學代數不另縮來源域。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
source roles = [Wilson ORIGINAL prime factorial, 3, 2, 1, 2]
操作後
derived = [0, 2, 是, 是]
條件：無
逐k保前residue與完整乘積，再以唯一Euclidean餘數縮回0..n-1；累積不變量是value≡k! mod n，不把table最後一項當未算的假設。
規則：Wilson_EACH_running_factorial_exact_Euclidean_remainder · 依賴：G001, S006
操作前
source roles = [3, [[1, 1], [2, 2]]]
操作後
derived = [[1, 2], [], 2, 是]
條件：無
非self-inverse成對相乘1；self-inverse解(r-1)(r+1)=0 mod prime，故只±1。p>2相異乘積-1；p2僅1=-1一個。這是一般教學理由，有限表／本程式不冒稱Lean proof。
規則：Wilson_GENERAL_inverse_pairing_and_p2_exception · 依賴：G001, S007
S008 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S007 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product2，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Wilson ORIGINAL prime factorial ORIGINAL running factorial product1，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S002 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。S001 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。(3, [[1, 1], [2, 2]], [1, 2], [], self_inverse_residues_1_and_p_minus_1, 2, 是)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: d12d290327fbe2944f13a8bbb644c3beffcfcd8854001c47c68f97a66b98b2d9candidate record SHA-256: 87e22149c9f07e5f2a5fa2bc1e787e31680671de9eb61ec0b8f330ab18e0faedsemantic review receipt SHA-256: 0a76d8e93c08bb16998a0483f3dfc0504f269fc3e1982e6cd868cab0a2856d54question-first witness SHA-256: 09127b736c225714dfa0b7ceb0e6a6e66df27438b480cad8217d3c2f99ce9437Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED