第 27821 題：梯度下降

原題與已知條件

standard Euclidean coordinate order、正步長與完整gradient update。操作=gd-boundary；明示資料={"mode":"oversized_step","model":{"curvature":1,"point":21,"step_size":3}}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。

• G001 — standard Euclidean coordinate order、正步長與完整gradient update。操作=gd-boundary；明示資料={"mode":"oversized_step","model":{"curvature":1,"point":21,"step_size":3}}；請依 exact_ordered_tuple_declared_by_interface 回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-gradient-descent

逐步推導

source roles = [gd-boundary]

derived = [[mode, curvature, point, step_size, next_point, objective_before, objective_after, automatic_descent_claim, boundary]]

GD boundary ORIGINAL upper2 over curvature := div(2, 1)

GD boundary ORIGINAL upper2 over curvature = 2

GD boundary ORIGINAL gradient := mul(1, 21)

GD boundary ORIGINAL gradient = 21

GD boundary ORIGINAL alpha gradient := mul(3, 21)

GD boundary ORIGINAL alpha gradient = 63

GD boundary ORIGINAL next := sub(21, 63)

GD boundary ORIGINAL next = -42

GD boundary ORIGINAL before SQUARE := mul(21, 21)

GD boundary ORIGINAL before SQUARE = 441

GD boundary ORIGINAL before diagonal := mul(1, 441)

GD boundary ORIGINAL before diagonal = 441

GD boundary ORIGINAL before half := div(441, 2)

GD boundary ORIGINAL before half = 441/2

GD boundary ORIGINAL after SQUARE := mul(-42, -42)

GD boundary ORIGINAL after SQUARE = 1764

GD boundary ORIGINAL after diagonal := mul(1, 1764)

GD boundary ORIGINAL after diagonal = 1764

GD boundary ORIGINAL after half := div(1764, 2)

GD boundary ORIGINAL after half = 882

source roles = [1, 21, 3, 2]

derived = [21, -42, 441/2, 882, 否]

逐步反向核對

• S012 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary ORIGINAL after half，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary ORIGINAL after diagonal，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary ORIGINAL after SQUARE，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary ORIGINAL before half，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary ORIGINAL before diagonal，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary ORIGINAL before SQUARE，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary ORIGINAL next，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary ORIGINAL alpha gradient，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary ORIGINAL gradient，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GD boundary ORIGINAL upper2 over curvature，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回查原始資料、操作數、完整範圍與本步前提；有限見證、條件式定理引用與形式證明分開。

結論

(oversized_step, 1, 21, 3, -42, 441/2, 882, 否, positive_but_oversized_step_can_increase_the_objective)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。